Metoda secantei (coardei)

Metoda secantei (coardei)

1 Prezentarea metodei

Metoda coardei se aplica in capatul in care nu se aplica metoda Newton (unde f si f"au acelasi semn). Sunt posibile doua situatii: 1) f(a) < 0 si 2) f(а) > 0

   

Scriem ecuatia unei drepte ce trece prin punctul mobil (opus celui in care se aplica Newton), de exemplu in cazul (B).

I.            Daca f(a) < 0 avem:

si, pentru x = x₁, urmeaza:

sau in general

, n = 0, 1, 2, .

II.         Daca f(а) > 0 avem:

si, pentru x = x₁, urmeaza:

In general avem:

, n = 0, 1, 2, .

In primul caz sirul iteratiilor este crescator si marginit de b, adica

Avem:

Trecand la limita avem

Cum y = f (x) admite o singura radacina in [a, b], urmeaza .

2 Evaluarea erorii in metoda coardei (secantei).

Fie f : [a, b] → R , , f" si f' au semne constante, iar este marginit, adica

Sa consideram cazul extremitatii mobile b (varf fix a). Avem

Deoarece , urmeaza:

Aplicand Teorema lui Lagrange avem

Deci

Deci egalitatea de mai sus devine

adica

Deoarece avem si

adica

Observatie 1 Daca avem

Exemplu 1 Determinati radacina ecuatiei algebrice

cu o eroare mai mica de 0,001.

Solutie

Avem . Deci R si

iar .

Prin urmare ecuatia are o singura radacina reala si aceasta se afla in intervalul

(- ∞,(0,66666)]. Cum f (0) = -1 retinem intervalul [0, (0,66666)]. Alegem capatul fix a= 0 si x₀ = 0,66666.

Urmeaza

,

Deci radacina aproximativa cu precizia de 10^-3 este 0,43025.

Programul pentru metoda secantei (coardei)

Programul prezentat mai jos determina solutia unei ecuatii de forma (1.1) in urmatoarele ipoteze:

solutia este separata intr-un interval [a, b]:

functia este continua pe intervalul [a, b].

Datele de intrare sunt: capetele intervalului in care se cauta solutia (a, b) si precizia dorita (epsilon). Functia este definita prin procedura de tip functie.

In cadrul programului nu se verifica semnul derivatelor.

Algoritmul care sta la baza programului este urmatorul:

se determina punctul c de intersectie a dreptei determinata de punctele (a, f(a)) si (b, f(b)) cu axa Ox folosind formula

se pastreaza intervalul care contine solutia, ([a, c] sau [b, c]), care reprezinta noul interval [a, b] pentru iteratia urmatoare si se determina modulul diferentei dintre iteratia curenta (c) si iteratia anterioara (a sau b).

Determinarea iteratiilor se opreste atunci cand modulul diferentei a doua iteratii consecutive este mai mic decat eroarea admisa epsilon. De asemenea programul se opreste cand se determina o iteratie care este chiar solutia ecuatiei.

# include <iostream .h>

# include <conio .h>

# include <math .h>

double f (double x)

void main (void)

else

}

if ( t = = 0)

cout<<"Solutia aproximativa este x ="<<c;

else

cout<<"Solutia este x ="<<c;

}

getch ( );

}