Reprezentarea externa a numerelor reale

Reprezentarea externa a numerelor reale

Semnificativa pentru utilizatorul uman este reprezentarea zecimala (in baza b=10) a numerelor reale, cu care suntem obisnuiti. Fata de reprezentarea numerelor intregi, la numerele reale intervine simbolul punct "." care delimiteaza partea intreaga de partea fractionara. Cu alte cuvinte, cu ajutorul numerelor reale putem reprezenta si numere care nu sunt intregi. Forma generala a unui numar real reprezentat intr-o baza oarecare b este:

Valoarea zecimala a numarului de mai sus va fi:

Se observa cum punctul delimiteaza partea intreaga (exprimata printr-o combinatie de puteri pozitive ale bazei b) si partea fractionara (exprimata printr-o combinatie de puteri negative ale bazei b).

Semnificatie pentru programator si pentru producatorii de software sau microprocesoare au bazele de reprezentare si , deoarece baza 10 este naturala pentru reprezentarea externa a numerelor iar baza 2 este naturala pentru reprezentarea binara, interna, a numerelor.

In formulele de mai sus avem o reprezentare a unui numar real cu n cifre pentru partea intreaga si m cifre pentru partea fractionara.

Asa cum in sistemul zecimal reprezentam cu un numar finit de cifre zecimale numerele reale, acelasi lucru se va intampla si in sistemul binar. Punctul binar va avea o semnificatie asemanatoare cu punctul zecimal, care face separarea intre partea intreaga si cea fractionara. Cifrele binare situate dupa punctul binar vor corespunde puterilor negative ale lui 2.

Astfel, in general, un numar real va avea reprezentarea binara:

Spre exemplu, numarul 12.25 va avea reprezentarea binara:

Partea intreaga a unui numar real se reprezinta binar precum numerele intregi (cu sau fara semn). Pentru a determina partea fractionara, se procedeaza in mod invers ca la partea intreaga.

Astfel, daca partea fractionara zecimala se reprezinta binar, atunci aceasta se inmulteste succesiv cu 2. Daca rezultatul depaseste valoarea 1, atunci se inscrie un bit 1. Se continua mai departe cu dublarea valorii care depaseste 1. Daca rezultatul nu depaseste valoarea 1, atunci se inscrie un bit 0 si se continua multiplicarea cu 2. Spre exemplificare, vom vedea cum se obtine reprezentarea binara a lui 12.25. Partea intreaga este 12. Ea se reprezinta binar prin impartiri succesive la 2 si considerarea resturilor. Partea fractionara este 0.25

Obtinem exact rezultatul cautat: 12.25 = 1100.01

Sa mai consideram un alt exemplu. Sa reprezentam numarul 5.37

Partea intreaga are reprezentarea 5₁₀ =101₂

Obtinem:    5.37₁₀ = 101.010111101₂

Cu cat mai multe cifre binare vom retine dupa punctul binar, cu atat vom fi mai aproape de valoarea exacta 5.37.

Obtinem un rezultat foarte important: Desi un numar zecimal poate avea un numar finit de cifre zecimale dupa punctul zecimal, reprezentarea sa binara interna poate avea un numar infinit de cifre binare. Este valabila si reciproca: un numar real zecimal cu un numar infinit de cifre se poate reprezenta intr-o alta baza pe un numar finit de cifre ( ex: ). Cum orice reprezentare binara interna este pe un numar finit de biti, numarul poate sa nu fie reprezentat exact in calculator, ci cu o anumita aproximatie. Acest lucru este decisiv pentru a intelege importanta lungimii reprezentarii numerelor in calculator. Cu cat un numar binar se reprezinta pe un numar mai mare de biti, cu atat precizia de reprezentare creste.