Elemente de teoria matematica a relatiilor

Elemente de teoria matematica a relatiilor

Matematica relationala opereaza cu expresii matematice (operatori), in care operanzii sint exprimati prin relatii, rezultatul obtinut fiind tot o relatie, ce poate fi supusa in continuare unor operatii matematice.

In cadrul matematicii relationale se disting doua clase de operatori:

a) operatori logici;

b) operatori specifici.

a) Operatorii logici: sunt reuniunea (È), intersectia ( ), diferenta (-), cu functiile cunoscute din teoria multimilor.

Pentru realizarea intersectiei sau diferentei, relatiile operand trebuie sa fie compatibile (sa fie de acelasi nivel si sa aiba aceeasi structura).

Reuniunea a doua relatii X cu n - uple si Y cu m - uple are ca rezultat o multime Z = X È Y cu m+n uple.

Exemplu:

Fie relatia X care descrie multimea studentilor bursieri din anul I, in tabelul de mai jos:

Studenti bursieri:

si relatia Y, care descrie multimea studentilor nebursieri din anul I, in tabelul de mai jos:

Studenti nebursieri:

Reuniunea celor doua relatii va fi relatia Z, care descrie multimea studentilor din anul I, conform tabelului de mai jos:

Studenti:

Intersectia a doua relatii X cu n - uple si Y cu m - uple are ca rezultat o multime Z = X Y formata din uplele ce apartin atat relatiei X, cat si relatiei Y.

Exemplu:

Fie relatia X, care descrie multimea studentilor ce fac parte din Cercul de histologie, conform tabelului de mai jos:

Cercul de histologie

si relatia Y, care descrie multimea studentilor care fac parte din Cercul de anatomie, conform tabelului de mai jos:

Cercul de anatomie

Intersectia celor doua relatii va fi relatia Z, a studentilor care fac parte din ambele cercuri, descrisa conform tabelului de mai jos:

Z= X ÙY

Diferenta dintre doua relatii X si Y este data de multimea t - uplelor care apartin lui X, dar nu apartin lui Y, Z = X - Y.

b) Operatorii specifici: se refera la: selectie, proiectie, compunere (jonctiune), recompunere, produs si diviziune.

Selectia aplicata unei relatii X, cu n - uple, are ca rezultat o relatie Y, definita pe aceeasi structura de caracteristici, dar cu m - uple (m < n), functie de satisfacerea unor conditii de catre realizarile unei caracteristici, numita 'selector'. Relatia obtinuta este o submultime pe orizontala a relatiei initiale.

Exemplu: Consideram relatia X ca definind multimea studentilor din anul I, ca in tabelul de mai jos:

Studenti:

Impunem conditia ca relatia caracteristicii MARCA sa fie £ 201. In acest mod se obtine relatia selectata Y, din care nu face parte studentul Cristea - conform tabelului de mai jos:

Proiectia aplicata unei relatii X, cu n uple, are ca rezultat o relatie Y cu m uple (m < n prin eliminarea uplelor duplicate) si cu o structura simplificata de caracteristici (realizata prin retinerea caracteristicilor specificate). Relatia obtinuta este o submultime pe verticala a relatiei initiale (din care sunt scoase si duplicarile de uple).

Exemplu: Consideram relatia X ca definind multimea studentilor din anul I, descrisa conform tabelului de mai jos:

Aplicam relatia MARCA, DATA N. In acest mod se obtine proiectia Y, conform tabelului de mai jos:

Compunerea (jonctiunea) se aplica asupra a doua relatii X si Y, care au in structura lor o caracteristica comuna, ceea ce permite concatenarea uplelor din cele doua relatii dupa caracteristica comuna, formand o structura mai larga.

Exemplu:

Fie relatia X, descrisa conform tabelului de mai jos:

si relatia Y, descrisa conform tabelului de mai jos:

Cele doua relatii au caracteristica comuna MARCA, astfel incat compunerea lor dupa aceasta caracteristica va avea ca rezultat relatia Z, descrisa in tabelul de mai jos:

Recompunerea reprezinta o imbinare a operatorului de compunere cu cel de selectie.

Produsul a doua relatii X si Y se obtine facand corespondenta intre o caracteristica a primei relatii si o caracteristica a celei de-a doua, relatia rezultat construindu-se pe baza combinatiilor obtinute.

Exemplu:

X

Y

Rezultatul Z = XY:

Diviziunea este definita ca relatia inversa produsului. Realizeaza impartirea unei relatii XY de grad x + y, la o relatie Y de grad y, catul fiind o relatie X de grad x (presupunem ca pentru oricare pereche (x, y) din XY corespunde o realizare y in Y).

Exemplu:

Z

Y

Rezultatul X (diviziunea relatiei Z prin relatia Y):

Cercetarile si experienta au aratat ca operatorii relationali, plus sortarea, pot raspunde tuturor solicitarilor din domeniul PAD (al prelucrarii automate a datelor). Calculul relational si limbajele relationale au la baza doua orientari:

calculul pe uplu;

calculul pe domeniu.