Fibra optica - Fibre optice cu salt de indice de refractie

Numarul de moduri (pentru fibre cu V mare

Pentru fibrele cu V mare, functia J_l1(x) are un numar mare de radacini in intervalul 0<X<V. Atunci cand X 1 functia Bessel poate fi aproximata de o functie sinusoidala si radacinile de taiere X_lm sunt aproximate de relatia:

(1.19)

Pentru o valoare l fixata distanta dintre doua radacini consecutive este p astfel incat numarul de radacini M_l satisface relatia (l + 2M_l)π/2 = V de unde M_l ≈ V/π - l/2. Deci M_l descre;te liniar cu l (Figura 1.10) incepand de la valoarea V/π pentru l = 0 si terminand cu M_l = 0 caand l = l_max unde . l = l_max = 2 V/π. Numarul total de moduri este: . Cum numarul de termeni este foarte mare atunci numarul de moduri M se poate determina prin raportul dintre aria triunghiului format de dreapta M_l cu axele. Astfel:

(

(1.20)

unde 4 este datorat starilor de polarizare si solutiilor simetrice.

Figura 1.10 Numarul de moduri intr-o fibra

cu V mare este aproximat de aria triunghiului determinat de legatura intre l, m si parametrul fibrei optice V.

Constantele de propagare fibre optice cu V mare

Constantele de propagare se determina din ecuatta caracteristica (1.18) pentru fiecare solutie X_lm de unde

Pentru V1, cea mai drastica aproximare pentru calculul constantelor de propagare presupune ca X_lm au valori egale cu valorile de taiere a modurilor x_lm. Aceasta este echivalent cu a presupune ca ramurile din Figura 1.7 sunt aproximate de drepte verticale incat X_lm = x_lm. Cum V1, numarul de radacini este mare si se pot folosi aproximatiile deduse pentru x_lm si:

(1.21)

cum: (1.22)

rezulta: (1.23)

Deoarece Δ are o valoare mica se utilizeaza aproximarea (1 + δ)^1/2 ≈ 1 + δ/2 pentru | δ| 1 se obtine relatia aproximativa pentru constantele de propagare:

(1.24)

Cum l+2m variaza intre 2 si ≈ 2V/ = (v. Figura 1.10), variaza aproximativ intre n₁k₀ si n₁k₀ (1-Δ ) (Figura 1.11).

Vitezele de grup (fibre cu V mare)

Pentru a determina viteza de grup v_lm = dω/dβ_lm va exprima constantele de propagare β_lm explicit functie de ω prin substitutia n₁k₀ = ω/c₁ si . De aici si din (1.24) rezulta (se mai tine cont si de faptul ca D1):

(1.25)

Deoarece valorile minime si maxime pentru l+2m sunt 2 si viteza de grup va fi cuprinsa aproximativ intre c₁ si c₁(1- Δ) = c₁(n₂/n₁). Din acest motiv vitezele de grup a modurilor de ordin mic sunt apropiate de viteza de faza din miezul fibrei iar modurile de ordin mare au viteze de grup mai mici. Raportul dintre viteza de grup cea mai mare si cea mai mica este egal cu raportul indicilor de refractie intre miezul fibrei si invelis Δ.

Figura 1.11 (a) Constantele aproximative pnetru β_lm la o fibra cu V mare functie de l, m

(b) Constanta de propagare exacta β₀₁ pentru modurile fundamentale LP₀₁ functie de V

Fibre monomod

Asa cum am mai amintit, o fibra cu raza miezului a si apertura numerica NA functioneaza ca o fibra monomod in modul fundamental LP₀₁ daca V =2π (a/λ )NA <2.405 Altfel spus, fibra este monomod daca are diametrul miezului mic si are o apertura numerica mica (cu n₂ apropiat de n₁). Modul fundamental are o distributie spatiala Gaussiana si este modul care confineaza cel mai mult puterea undei electromagnetice in miezul fibrei. Se pot enumera o serie de avantaje pentru fibrele monomod atunci cand sunt utilizate in comunicatii. Astfel, diferite moduri au viteze de grup diferite si determina aparitia unei intarzieri a semnalului incat pulsurile de lumina au o imprastiere in timp (se largesc). Pe de alta parte, in fibrele optice monomod aceasta imprastiere in timp este mult mai mica decat in cazul fibrelor modale. Un alt dezavantaj al fibrelor multimod consta in interferenta aleatorie a modurilor si se obtine un asa numit zgomot modal. Fenomenul este asemanator pierderii in claritate a semnalului radio datorita cailor multiple de transmisie (interferenta distructiva intre doi transmitatori). In fibra monomod unda se transmite pe o singura cale fara zgomot modal. Datorita marimilor mici si a aperturilor numerice mici fibrele optice monomod sunt excelente pentru integrarea cu tehnologia optoelectronica. Totusi, acelasi lucru face ca fibrele monomod sunt mai fragile mai ales la imbinarile cu partile electronice ale retelelor de comunicatii.

Schimbarea polarizarii in fibrele optice monomod

Intr-o fibra optica cu sectiune transversala circulara, fiecare mod se poate propaga cu doua saari de polarizare distincte cu aceeasi constanta de propagare. Din acest motiv, modul fundamental LP₀₁ intr-o fibra optica monomod pot fi polarizate pe doua directii x si y respectiv perpendiculare cu aceeasi constanta de propagare si aceeasi viteza de grup. In principiu, nu exista un schimb de putere intre cele doua componente polarizate liniar. In practica, datorita anumitor defecte constructive a fibrei se poate intampla ca puterile optice pe cele doua directii de polarizare sa fie cuplate aleator incat lumina isi schimba aleator starea de polarizare dupa propagarea prin fibra (Figura 1.12).

Figura 1.12

(a) Fibra ideala

(b) Cuplajul aleator intre polarizarile undelor

Daca ne intereseaza doar puterea totala transmisa prin fibra acest fenomen de schimbare aleatorie a polarizarii nu pune probleme datorita faptului ca este inregistrata doar puterea totala transmisa prin fibra.

In alte domenii de utilizare a fibrelor optice, de exemplu in comunicatiile optice coerente, dispozitive optice integrate, senzori optici bazati pe tehnici de interferometrie, trebuie mentinuta starea de polarizare a luminii si se va evita folosirea fibrelor optice cu sectiune circulara. In aceste cazuri se utilizeaza de obicei fibre cu sectiune transversala eliptica sau in care au fost induse anizotropii ai indicelui de refractie pentru eliminarea degenerarii starii de polarizare.

1.3 Fibre optice cu gradient de indice de refractie

Obtinerea fibrelor optice cu gradient de indice de refractie a permis reducerea imprastierii pulsului datorita faptului ca diferitelor moduri de propagare prin fibra multimod le corespund viteze de grup diferite. Miezul unei astfel de fibre optice are un indice de refractie care variaza radial fiind maxim in centrul fibrei si descreste pana la o valoare corespunzatoare indicelui de refractie al invelisului. Viteza de faza pentru propagarea undelor luminoase in acest caz este minima in centrul fibrei si creste gradual cu departarea de centru. Razele modului de propagare ce se apropie cel mai mult de axa fibrei se vor propaga pe drumul cel mai scurt cu viteza cea mai mica. Razele modului cel mai oblic se propaga pe distante mai lungi in marea majoritate a timpului intr-un mediu unde viteza de faza este mai mare. Ca o consecinta imediata diferentele intre timpii de propagare

si intre vitezele de grup pentru diferite moduri se reduc. Indicele de refractie al miezului fibrei optice n(r) are o valoare care depinde de pozitia radiala r iar indicele de refractie al invelisului este constant si egal cu n₂ Valoarea maxima pentru n(r) este n(0) = n₁ si pentru r = a rezulta n(a) = n₂. (v. Figura 1.13)

Figura 1.13 Geometria si profilul indicelui de refractie pentru fibra optica cu gradient de indice de refractie

O functie care indeplineste conditiile de marginire de mai sus pentru profilul indicelui de refractie n(r) este functia putere de forma:

(1.26)

unde:

(1.27)

si p o marime numita gradul profilului indicelui de refractie ce defineste forma acestui profil. Astfel: pentru p = 1, n²(r) este o functie liniara de r; pentru p = 2 profilul este patratic etc. Daca p→ ∞ atunci n²(r) se apropie de functia treapta (v. Figura 1.14).

Figura 1.14 Profilul indicelui de refractie pentru o fibra optica pentru care n2(r) variaza ca o functie putere pentru diferite grade p.

Razele meridionale au traiectorii oscilatorii planare iar celelalte raze de lumina se propaga pe traiectorii elicoidale cu puncte de intoarcere ce determina doua suprafete cilindrice (v. Figura 1.15)

Figura 1.15 Raze ghidate in interiorul fibrei optice cu gradient de indice de refractie (a) raze meridionale;

(b) raze insurubate

Unde ghidate

Modurile fibrei cu gradient de indice de refractie pot fi determinate prin rezolvarea ecuatiei Helmholtz (1.3) cu n = n(r) astfel incat se obtin distributiile spatiale ale componentelor campului ce vor trebui sa satisfaca ecuatiile lui Maxwell cu conditiile de marginire in centrul fibrei si la interfata miez-invelis. Aceasta abordare este dificila, desi nu imposibila. Din acest motiv, se va utiliza o teorie aproximativa bazata pe reprezentarea distributiei de camp pentru o unda cuasiplana ce se propaga in miezul fibrei pe traiectoria unei raze optice ghidate. O unda cuasi-plana este o unda caracterizata la un moment dat si intr-un punct dat de aceeasi ecuatie ca si unda plana dar isi schimba directia de propagare si amplitudinea putin pe masura ce se propaga. Aceasta aproximatie ne permite sa utilizam notiuni de optica geometrica pentru determinarea constantelor de propagare pentru modurile ghidate iar metoda de calcul este denumita metoda WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) si se poate aplica doar fibrelor optice cu un numar mare de moduri (cu parametru V mare).

Unde cuasi plane

In modelul undelor cuasiplane se va considera solutia ecuatiei Helmholtz de tipul:

U(r) = a(r) exp [-jk₀S(r)] (1.28)

unde a(r) si S(r) sunt functii reale de pozitie ce variaza putin in comparatie cu lungimea de unda λ₀ = 2π/k₀. In plus marimea S(r) satisface ecuatia eikonal in mod aproximativ: si ca raza se propaga in directia gradientului lui S ( ). Daca se alege k₀S(r) = k₀s(r) + lф + βz, unde s(r) este o functie ce variaza putin cu r. Atunci ecuatia eikonal devine:

(1.29)

Frecventa spatiala locala a undei in directia radiala este data de derivata partiala a fazei k₀S(r) in raport cu r:

k_r = k₀ ds/dr (1.30)

astfel incat (1.28) devine:

si (1.29) permite calculul pentru frecventa spatiala locala:

(1.32)

Pentru a gasi semnificatia fizica a notiunii de unda cuasiplana, in relatiile de mai sus vom defini: k_ф = l/r incat exp(-jlф) = exp(-j k_фrф) si pentru k_z = β gasim ca . Astfel: o unda cuasiplana are un vector de unda local k de marime n(r)k₀ si componente in coordonate cilindrice (k_r, k_ф, k_z). Cum n(r) si k_ф sunt functii de r, k_r depinde si el de r. Directia lui k se schimba incet cu r (v. Figura 1.16) urmand o traiectorie elice similara cu cea a razei insurubate prezentata anterior.

Figura 1.16 (a) Vectorul k=(k_r, k_ф, k_z) in coordonate cilindrice

(b) unda cuasiplana

Pentru a determina regiunea de propagare din miezul fibrei cu gradient de indice de refractie trebuie impusa conditia ca frecventa spatiala radiala k_r sa aiba o valoare reala, altfel spus: > 0. Pentru a afla se va utiliza o metoda grafica (Figura 1.17):

. se reprezinta in functie de r (curba groasa din Figura 1.17a);

. termenul l²/r² este scazut rezultand curba cu linie intrerupta;

. valoarea lui este reprezentata prin linia continua subtire verticala

. este reprezentat de diferenta dintre linia intrerupta si linia subtire continua adica de regiunea hasurata;

. se observa ca regiunea pentru care este pozitiv este cuprinsa intre r_l si R_l pentru care:

(1.33)

Figura 1.17 Determinarea regiunii de propagare a undei cuasiplane in fibrele optice cu gradient de

indice de refractie.

In concluzie: unda cuasiplana care se propaga intr-o fibra optica cu gradient de indice de refractie se propaga intr-o regiune limitata in sectiune transversala de razele r_l si R_l ca si in cazul razei elicoidale.

Rezultatele de mai sus pot fi generalizate si in cazul fibrelor cu salt de indice de refractie in care n(r) = n₁ pentru r < a si n(r) = n₂ pentru r > a. In acest caz o unda cuasiplana este ghidata in miez prin reflexia la interfata invelis-miez, r = a. Regiunea de confinare a razelor este r_l < r < a (Figura 1.17b) unde:

(1.34)

In invelis (r > a) si langa centrul miezului (r < r_l), are valoare negativa si unda se amortizeaza devenind unda evanescenta. Observam ca r_l depinde de β: pentru valori mari ale lui β (sau l mare), r_l ia valori mari, unda fiind confinata intr-un strat cilindric subtire de la marginea miezului.

Modurile de propagare

Modurile de propagare ale fibrei cu gradient de indice de refractie sunt determinate

prin impunerea conditiei de reproducere a undei dupa un pas al elicei intre r_l, R_l si retur. Lungimea traiectoriei pe directia azimutala corespunde unui unghi la centru de 2π Lungimea radiala pentru o propagare pe elicea completa trebuie sa corespunda unei variatii de faza multiplu de 2π:

(1.35)

Aceasta conditie, analoaga conditiei de reproducere a undei pentru ghidurile de unda plane corespunde unei ecuatii caracteristice din care se pot calcula constantele de propagare β_lm pentru diferite moduri de propagare. In Figura 1.18 au fost marcate schematic valorile pentru constantele de propagare si se observa ca pentru modul m = 1 constanta de propagare β are cea mai mare valoare (aproximativ n₁k₀) si pentru m = M_l are cea mai mica valoare (aproximativ n₂k₀).

Figura 1.18 Constantele de propagare si regiunile de confinare a radiatiilor optice pentru diferite

moduri de propagare

Numarul maxim de moduri de propagare

Numarul total de moduri poate fi determinat prin adunarea numarului de moduri M_l pentru l = 0, 1, . . . , l_max. Notaam cu q_β numarul de moduri cu o constanta de propagare mai mare decat o anumita valoare β data. Pentru fiecare valoare l, numarul de moduri M_l(β) cu constante de propagare mai mari ca β este un numar multiplu de 2π din integrala (1.35), adica:

(1.36)

unde r_l si R sunt razele de confinare corespunzatoare constantei de propagare β determinate din (1.33). In acest caz numarul total de moduri avand constanta de propagare mai mare decat β este:

(1.37)

unde l_max(β) este valoarea maxim[ a lui l pentru care se obtine un mod marginit cu constanta de propagare mai mare decat β, adica pentru care valoarea maxima a functiei este mai mare decat β². Numarul total de moduri M este q_β pentru β = n₂k₀ Factorul 4 din (1.37) corespunde pentru 2 polarizari posibile si 2 polaritati pentru unghiul ф, traiectorii elice pozitive si negative (dupa sensul de insurubare al traiectoriei) pentru fiecare (l,m). Daca numarul de moduri este suficient de mare, putem inlocui suma din (1.37) cu o integrala incat:

(1.38)

Pentru fibrele cu un profil al indicelui de refractie de tip functie putere, inlocuim (1.26) iın (1.36) si rezultatul in (1.38) prin evaluarea integralei se obtine:

(1.39)

in care:

(1.40)

Aici este variatia relativa a indicelui de refractie si este parametrul V al fibrei optice. Cum q_β = M la β = n₂k₀, numarul de moduri este iıntr-adevar numarul total de moduri. Pentru fibrele cu salt de indice de refractie p → ∞ rezulta:

(1.41)

Constantele si vitezele de propagare

Constantele de propagare

Constanta de propagare β_q a modului q se poate calcula din (1.39) si prin renotarea marimilor q_β cu q si β cu β_q, se obtine:

(2.42)

Deoarece diferenta relativa a indicilor de refracie Δ are o valoare mica incat Δ 1 se poate folosi formula aproximativa pentru puterea unui binom (1 + δ)^1/2 δ/2 si din formula (1.42) se obtine o formula aproximativa pentru calculul constantei de propagare:

(1.43)

Se observa ca β_q scade de la o valoare de aproximativ n₁k₀ (pentru q = 1) pana la n₂k₀ (pentru q = M) ca si in Figura 1.19. Pentru fibrele optice cu salt de indice de refractie p → ∞ constanta de propagare poate fi calculata dupa formula:

(1.44)

Constanta de propagare βq

expresia relatiei de mai sus este identica cu (1.21) daca q este inlocuit cu (l +2m)² unde l = 0, 1, . . . , si m = 1, 2, . . . , /2 - l/2.

Figura 1.19 Dependenta constantelor de propagare β_q de ordinul modului de propagare q = 1, 2, . . . ,M.

Vitezele de grup

Pentru a determina viteza de grup pentru un anumit mod de propagare se exprima constanta de propagare β_q ca o functie de pulsatia ω prin inlocuirea relatiei (1.40) in (1.42) si tinand cont de relatia . In acest caz se obtine (conform aceleiasi aproximatii (1 + δ)^-1 ≈ 1 - δ) si pentru c₁ si Δ independente de pulsatia ω (se ignora dispersia materialului):

(1.45)

pentru fibra optica cu salt de indice de refractie p → ∞ si viteza de grup se poate calcula astfel:

(1.46)

cand viteza de grup variaza de la c₁ pana la c₁(1 - Δ), rezultat identic cu cel obtinut in relatia (1.25).

Profilul optim pentru indicele de refractie

Din relatia (1.45) se poate deduce ca pentru p = 2 viteza de grup a radiatiilor ce se propaga prin fibra optica este constanta v_q ≈ c₁ oricare ar fi q, cu alte cuvinte toate modurile se propaga cu aceeasi viteza de grup c₁. O astfel de fibra optica s-ar comporta ca o fibra de tip monomod cu o dispersie modala minima. Totusi, pentru determinarea relatiei (1.45) s-au folosit cateva aproximatii incat pentru determinarea vitezei de grup cu mai multa exactitate se mai considera un termen in dezvoltarea Taylor al binomului (1 + δ)^1/2 1 + δ /2 - δ ²/8 si pentru p = 2 se obtine:

(1.47)

si viteza de grup variaza de la c₁ pana la c₁(1 - /2) la q = M. In comparatie cu fibra optica cu salt de indice de refractie, pentru care viteza de grup variaza in intervalul c₁ si c₁(1 - ), fibra cu gradient de indice de refractie de profil parabolic are o variatie relativa a vitezei de grup proportionala cu Δ²/2 (Figura 1.20). In conditii ideale fibra optica cu gradient de indice de refractie reduce diferentele de viteze de grup cu un factor Δ /2 astfel incat dispersia modala fata de fibra cu salt de indice de refractie se micsoreaza simtitor.

Viteza de grup  vq

Viteza de grup  vq

Figura 1. 20 Vitezele de grup pentru o fibra cu salt de indice de refractie

p → ∞ si pentru o fibra cu gradient optim de indice de refractie p = 2

Cum toata analiza de mai sus s-a facut pe baza unor aproximatii factorul Δ /2 nu este atins in practica. Mai mult, pentru p = 2 numarul de moduri M de propagare prin fibra cu gradient de indice de refractie este:

(1.48)

unde V = 2π(a/λ₀)NA. Acest numar este egal doar cu o jumatate din numarul de moduri de propagare pentru o fibra cu salt de indice de refractie cu aceeasi parametr n₁, n₂ si a.

1.4 Atenuarea si dispersia

Atenuarea si dispersia sunt cele doua fenomene fizice care limiteaza performantele fibrelor optice si a canalelor de transmisie de date. Atenuarea limiteaza marimea puterii optice transmise iar dispersia limiteaza rata de transmisie a datelor deoarece determina imprastierea temporala a pulsurilor de date.

Coeficientul de atenuare

Unda luminoasa care se propaga prin fibra optica are o valoare a puterii ce scade exponential cu distanta de propagare datorita absorbtiei si a imprastierii. Coeficientul de atenuare a este de obicei definit in unitati dB/Km:

(1.49)

unde este raportul puterilor transmise pentru o fibra de lungime L (exprimata in Km). Relatia intre a si T este reprezentata in Figura 1.21 pentru L = 1Km. O atenuare de 3dB, de exemplu, corespunde unei valori T = 0, 5; pentru 10dB T = 0, 1 si pentru 20dB T= 0, 01. Pierderile in dB se aduna, in timp ce rapoartele de transmisie se inmultesc. Din aceasta cauza pentru o distanta z in Km pierderea este αz dB si raportul puterilor:

(1.50)

cu α masurat in dB/km.

Figura 1.21 Relatia intre T si

coeficientul de transmisie α

masurat in dB

Daca coeficientul de atenuare α este exprimat in km^-1 atunci:

(1.51)

ce exprima legea clasica a atenuarii. Pentru ca in comunicatiile prin fibra optica α se exprima in dB/Km raporul puterilor este definit de relatia (1.50).

Absorbtia

Coeficientul de absorbtie al sticlei de Si (SiO2) depinde puternic de lungimea de unda. Acest material are doua benzi de absorbtie puternica: in IR mijlociu datorita tranzitiilor de vibratie si in UV datorita tranzitiilor electronice si moleculare. Intre cele doua benzi de absorbtie se formeaza fereastra de transmisie ce ocupa regiunea corespunzatoare IR apropiat

Imprastierea

Imprastierea Rayleigh este un alt efect intrinsec ce contribuie la atenuarea puterii luminoase transmise prin fibra optica. Acest fenomen se datoreaza centrelor de imprastiere din fibra formate prin variatia aleatoare a pozitiei unor atomi in cristalul de oxid de siliciu. Amplitudinea campului imprastiat este proportionala cu ω⁴ sau astfel incat undele cu λ₀ de valoare mica sunt imprastiate mai mult fata de undele cu λ₀ mari (efect similar cu imprastierea luminii solare de moleculele din atmosfera, motiv pentru care cerul pare a fi albastru). Atenuarea data de imprastierea Rayleigh descreste cu : legea Rayleigh. In domeniul vizibil imprastierea Rayleigh este mai semnificativa fata de coada de absorbtie din UV dar devine neglijabila in comparatie cu absorbtia IR pentru lungimi de unda mai mari decat 1, 6μm

Fereastra transparenta a sticlei de siliciu va fi marginita de imprastierea Rayleigh catre lungimile de unda scurte si de absorbtia IR la lungimi de unda mari.

.

Efecte extrinseci

Fata de efectele de limitare prezentate mai sus in fibrele optice folosite in comunicatii se mai manifesta si efecte extrinseci legate de absorbtia moleculelor de impuritati, in special de benzile de vibratie ale radicalului OH asociat cu vaporii de apa si cu impuritatile de ioni metalici. Progresele tehnologice in realizarea fibrelor optice de sticla au facut posibila eliminarea impuritatilor metalice dar impuritatile de OH sunt mai greu de eliminat. Lungimile de unda utilizate in mod curent pentru transmiterea informatiilor prin fibre optice sunt astfel selectate pentru a evita aceste benzi de absorbtie. Pierderile prin imprastierea luminii pot fi accentuate si de materialele dopante introduse pentru realizarea gradientului de indice de refractie, de exemplu.

Coeficientul de atenuare a radiatiei luminoase ghidate in fibrele de sticla depind absorbtia si imprastierea in miezul si invelisul fibrelor. Cum fiecare mod este caracterizat de diferite distante de penetrare in invelis astfel incat razele parcurg diferite distante efective rezulta ca si coeficientul de atenuare este diferit functie de modul de propagare. In general coeficientul de atenuare are o valoare mai mare pentru modurile de ordin mare. Fibrele monomod au coeficienti de atenuare mai mici decat fibrele multimod (v. Figura 1.22). Pierderile sunt introduse deasemenea de variatiile aleatorii in geometria fibrei si de anumite indoiri ale fibrei.

Atenuarea α (dB km

.

Figura 1.22 Variatia coeficientului de atenuare a radiatiei optice in firele de siliciu multimod si

monomod.

Lungimea de unda λ0 (μm)

Dispersia radiatiilor optice prin fibrele optice

Atunci cand un puls scurt de energie luminoasa se propaga printr-o fibra optica energia este "dispersata" in timp astfel incat pulsul se imprastie intr-un interval de timp mai amre. In cazul fibrelor optice dispersia este data de 4 fenomene distincte: dispersia modala; dispersia de material; dispersia de ghid de unda si dispersia neliniara.

Dispersia modala

Dispersia modala se manifesta in cazul fibrelor multimod ca efect al vitezelor de grup diferite pentru diferite moduri. Un puls de lumina ce intra la z = 0 intr-o fibra optica ce suporta M moduri de propagare se imprastie in M pulsuri luminoase ce se propaga intr-un timp τ_q = L/v_q pe o lungime L de fibra cu viteza de grup a modului q, v_q si q = 1, , M

Daca v_min si v_mac sunt vitezele de grup minima si maxima atunci pulsul receptionat se impastie intr-un interval de timp L/v_min - L/v_max. Cum modurile de propagare nu sunt excitate in general in proportii egale, forma finala a pulsului are un profil neted (v. Figura 1.23). O estimare a largimii pulsului este data de abaterea patratica medie denumita in acest caz raspuns temporal al fibrei optice:

Intr-o fibra optica cu salt de indice de refractie si numar mare de moduri: v_min ≈ c₁(1 - δ) si v_max = c₁. Cum in acest caz se poate folosi aproximatia (1 - )^-1 ≈ 1 + timpul de raspuns al fibrei este:

(1.52)

adica este o fractie Δ/2 din timpul de propagare L/c₁.

Figura 1.23 Imprastierea pulsurilor de lumina datorita dispersiei modale prin fibra optica

Dispersia modala este mult mai mica in fibrele optice cu gradient de indice de refractie decat pentru fibrele optice cu salt de indice deoarece vitezele de grup au valori mult mai apropiate. Pentru o fibra optica care are un profil optim de indice de refractie si cu un numar mare de moduri de propagare: v_max = c₁ si v_min = c₁(1 - Δ²/2) incat timpul de raspuns va fi:

(1.53)

Se observa ca aceasta valoare pentru timpul de raspuns este mai mica decat (1.52) cu un factor Δ/2.

Dispersia de material

Materialele din care sunt confectionate fibrele optice, de exemplu sticla, sunt materiale optic dispersive astfel incat un puls luminos ce se propaga intr-un mediu dispersiv de indice de refractie n va avea o viteza de grup v = c₀/N cu . Cum pulsul luminos este format dintr-un pachet de unde cu o anumita compozitie spectrala rezulta o imprastiere a acestuia deoarece fiecare componenta spectrala din puls va avea o viteza de grup proprie. Largimea temporala a unui puls de largime spectrala σ_λ (nm) dupa propagarea pe distanta L este:

de unde raspunsul temporal al fibrei datorita dispersiei de material va fi:

σ_τ = |D_λ| σ_λL (1.54)

unde:

(1.55)

este coeficientul de dispersie al materialului. Acest tip de dispersie se numeste dispersie de material.

Dependenta coeficientului de dispersie de lungimea de unda D_λ pentru o sticla de siliciu este reprezentata in Figura 1.24. Se observa ca la lungimi de unda mai mici decat 1, 3μm coeficientul de dispersie are valori negative astfel incat pachetele de unda cu lungimi de unda mai mari se propaga mai repede decat cele cu lungimi de unda mai mici.

Coeficientul de dispersie Dλ (ps/km - nm)

Figura 1.24 Coeficientul de dispersie al sticlei de siliciu functie de lungimea de unda.

Lungimea de unda λ0 (μm)

Dispersia ghidului de unda

S-a constatat ca vitezele de grup pentru diferite moduri de propagare in fibrele optice depind de lungimea de unda chiar daca dispersia de material este neglijabila. Aceasta dependenta este cunoscuta ca dispersia ghidului de unda si se datoreaza dependentei distributiei de camp in fibra optica de raportul dintre raza miezului fibrei si lungimea de unda (a/λ₀). Daca acest raport este modificat, prin schimbarea lungimii de unda λ₀, se modifica raportul dintre puterile optice din miez si invelis ducand la modificarea vitezei de grup a modului respectiv de propagare. Dispersia ghidului de unda este mai accentuata in fibrele optice monomod, in care nu se manifesta dispersia modala si la lungimi de unda pentru care dispersia de material este mica.

In absenta dispersiei de material V este direct proportional cu ω astfel incat:

(1.56)

Largirea pulsului asociata cu largirea spectrala a sursei σ_λ este data de timpul de propagare L/v prin fibra de lungime L:

unde:

(1.58)

este coeficientul de dispersie in ghidul de unda. Substituind (1.56) in (1.58) se obtine:

(1.59)

Dispersia de material combinata cu dispersia de ghid de unda (Dispersia cromatica)

Dispersia cromatica poate fi determinata prin includerea dependentei de lungimea de unda a indicilor de refractie n₁ si n₂ si de aici pentru NA atunci cand se determina dβ/dω din ecuatia caracteristica. Desi, in general, dispersia de ghid de unda este mai slaba decat dispersia de material aceasta duce la deplasarea lungimii de unda pentru care dispersia totala cromatica este minima. Cum dispersia cromatica limiteaza performantele fibrelor monomod, fibre mai avansate pot reduce acest efect utilizand miezuri cu gradient de indice de refractie selectate astfel incat lungimea de unda λ pentru care dispersia ghidului de unda compenseaza dispersia materialului. Fibre cu dispersie deplasaa au fost realizate cu succes prin utilizarea unui miez cu indice de refractie ce variaza in trepte avand o raza redusa ca in Figura 1.25. Aceasta tehnica poate fi utilizata pentru modificarea lungimii de unda pentru care dispersia cromatica nu se mai manifesta de la 1, 3μm pana la 1, 55μm unde fibra optica are atenuarea ce mai mica. Mai facem observatia ca si procesul de realizare a fibrelor optice cu gradient de indice de refractie introduce pierderi datorita substantelor dopante. Au fost realizate si alte profile de fibre optice cu gradient de indice de refractie pentru care dispersia cromatica este nula la 2 lungimi de unda si este redusa pentru o lungime de unda situata intre cele doua valori. Aceste fibre optice sunt numite fibre cu dispersie plaa si au fost realizate prin utilizarea a 4 straturi cu gradient de indice de refractie (v. Figura 1.25b).

Coeficientul de dispersie

Figura 1.25 Profie de indici de refractie si dependenta de lungimea de unda a coeficientului de dispersie de material (linie plina) si a dispersiei de ghid de unda (linie intrerupta) pentru (a) fibre cu dispersie deplasata si (b) fibre cu dispersie plata.

Dispersia de material combinata cu dispersia modala

Efectul dispersiei de material asupra largirii pulsului in fibrele multimod poate fi determinat prin rezolvarea ecuatiei de dispersie pentru constantele de propagare β_q si determinarea vitezelor de grup a modurilor cu indicii de refractie n₁ si n₂ exprimati functie de pulsatia ω. De exemplu, pentru o fibra optica cu gradient de indice de refractie multimod constantele de propagare sunt date de relatiile (1.39) si (1.43). Desi n₁ si n₂ depinde de ω se poate presupune ca raportul este aproximativ independent de ω. Utilizand aceasta aproximare se evalueaza v_q prin derivarea constantei de propagare functie de pulsatie si se obtine:

(1.60)

unde:

este indicele de de refracte de grup a materialului din care este realizat miezul fibrei. Cu aceasta aproximare expresia (1.45) ramane aceeasi numai ca indicele de refractie n₁ este inlocuit cu indicele de refractie de grup N₁. Pentru o fibra cu salt de indice de refractie (p → ∞) vitezele de grup a modurilor variaza de la c₀/N₁ pana la c₀ (1 - Δ)/N₁ astfel incat timpul de raspuns este:

(1.61)

Dispersia neliniara

Atunci cand intensitatea luminoasa a radiatiei ce se propaga prin fibra optica este foarte mare, indicele de refractie al miezului fibrei depinde de valoarea intensitatii datorita unor efecte optice neliniare. Acest efect produce asa-numita dispersie neliniara a fibrei optice. Componentele undei cu intensitate mai mare determina o deplasare de faza diferita fata de celelalte componente ale pulsului de lumina astfel incat frecventa de oscilatie este modificata. Acest lucru determina o alterare a pulsului care, in anumite conditii, poate compensa dispersia de material si pulsul se poate propaga fara modificarea formei (sub forma unei unde de tip soliton).