Cinematica punctului

Cinematica punctului

a)Traiectoria. Ec de miscare.

-Cinematica- partea mecanicii care stud miscarile sist material fara a tine cont de cauzele care produc aceasta miscare (fara a tine cont de forte si momente).

-Traiectoria- locul geometric al pct successive ocupate de pct in timpul miscarii sale. Poate fi spatiala sau plana.

-Ec de miscare- relatii matematice stabilite intre parametrii de pozitie ai pct si param. timpului. Aceasta rel stabileste o corespondenta biunivoca intre poz pct si timpul t, adica la un anumit mom al miscarii punctual poate fi intr-o anumita poz pe curba, respectiv o anumita poz ce coresp unui anumit timp.

1.sis de vf carteziene OXYZ

Ec de miscare: x=x(t); y=y(t); z=z(t). (1)

r=xī+yĵ+zk;

t) (2) ec vect de miscare a pct.

2.sist de coord cilindrice: Oρυz

A cunoaste miscarea pct inseamna a cunoaste ec de miscare r=r(t); o=o(t); z=z(t) (3)

3.Ec. orara a miscarii:

Daca se ia o baza de masurare Mo a arcelor de curba si este posibila masurarea acelor arce in fiecare moment al misc. atunci se poate stabili o relatie s=s(t) (4) ec. orara a miscarii. In cazul in care (P) este planul ec de miscare sunt constituite primele 2 ec din sistemul (1) si (3) respective poate fie ec (2) si (4). Daca misc pct devine rectilinie cilindrica se orienteaza dupa Ox, ec misc: x=x(t).

b)Viteza medie. Viteza instantanee.

Fie M in miscare pe (P)- spatial si 3 pozitii ale pct pe curba.Poz initiala Mo(to), poz la momentul t definit de vectorul R si o poz M1 la momentul t+tΔ defin de vect .

Se defineste vm=Δŕ/Δt: -pct de aplicatie;

-directie- dupa secanta MM1;

-sensul M M1;

-modulul: om Δr/Δt;

-facand ca Δt sa scada mereu si 0 => vm viteza instantanee.

-Vit instantanee: v=limΔt =Δŕ/Δt=ŕ;

Caract pct de aplicatie: M;

-directie dupa tg in M la (P);

-sesnsul miscarii pct pe curba;

-modul: v=s;

Viteza instantanee este o marime cinematic ace are unitatea m/s, este orientata dupa tangenta la curba, are sensul miscarii, pct pe curba si modulul egal cu derivata in raport cu timpul.

c)Acceleratia medie. Acceleratia instantanee.

ainstant v

-pct de aplicatie M P);

-directie continuta in planul osculator dus in M la (P) osculator=limita planului def de tg la curba si un pct vecin cu tg la curba si normala princ.

-sens- in concavitatea curbei;

-modul: se va stab in fct de sist de referinta in raport cu care se stud sensul;

-unit de masura: m/s;

am Δv/Δt

-pct de aplicatie Mh;

-directie Mh M1h;

-sens: Mh M1h;

Modul: am=Δσ/Δt

Componentele carteziene ale vitezei si acceleratiei:

M (P): x=x(t);

y=y(t);

z=z(t);

ŕ=xī+yĵ+zk;

modulul: v=sqrt(vx+vy+vz

directia: cos α1=vx/v; cos β1=vy/v; cos γ1=vz/v;

2.Acceleratia instantanee:

Componentele carteziene ale acc instantanee: ax=x; ay=y; az z;

Modul: a=sqrt ax+ay+az)

Directie: cos α2=ax/a=cos β 2=ay/a; cos γ2=az a;

Miscarea circulara a punctului-miscarea la care traiectoria este un cerc;

-vit unghiulara medie: ωm=Δo/Δt;

-vit unghiulara instantanee: pt Δt 0 => ωm

ω=limΔt Δo/Δt=Δo/Δt=o => ω=o rad/s;

acceleratia unghiulara medie εm=Δω/Δt;

acc unghiulara instantanee ε: dak Δt 0 => εm

limΔt /Δ= Δω/Δt= ω ε=ω rad/s;

ε=ω=o

1.Viteza instantanee:

v=s τ;

s=s(t)- ecuatia orara a miscarii;

s= R o => s= Δs/Δt= Rdo/Δt= r o; o=ω => s= ωR => v=ωrτ;

Modul: v=ωR

2.Acceleratia instantanee: aτ=v=(ωR)=ωR; ω=ε- acc unghiulara =>aτ=εR;

aγ v/ρ= ωR/R => ωR=aγ;

aτ= acc tangentiala; aγ=acc. normala;

Modul: a=sqrt aτ+aγ)= R sqrt(ε+(ω));

Directie: tg α=aτ/aγ= ε/ > α=arctg ε/ω;

-in concluzie, cunoscand raza cercului si viteza si acc unghiulara instantanee se pot det vit si acc instantanee la miscarea circulara a pct ca modul, directie si sens.

Cinematica solidului rigid;

-studiind miscarile simple de translatie si rotatie in jurul unui ax fix al unui rigid se pot studia in continuare miscarile: de rotatie in jurul unui punct fix, plan paralela, generala a solidului rigid.

Miscarea de translatie a rigidului;

-un rigid efectueaza misc de transl daca un segment de dreapta apartinator lui se deplaseaza parallel cu el insusi. Inseamna ca traiectoriile pct rigidului sunt identice. Se poate dem. ca la un moment dat viteza pct rigidului si acc sunt egale intre ele.

Exista 3 tipuri de miscari de translatie:

1.misc de translatie rectilinie- traiectoria linie dreapta;

Ex: miscarea pistonului in cilindru, saniile masini-unelte;

2.misc de translatie circulara- traiectoriile sunt cercuri;

Ex: sist biela-manivela;

3.misc de translatie curbilinie;

Miscarea de rotatie a solidului rigid in jurul unui ax fix;

DEF: Un rigid efectueaza o rotatie in jurul unui ax fix daca 2 pct O1 si O2 apartinatoare rigidului raman fixe in timpul miscarii;

O1, O2 definesc axul de rotatie;

Rigidul are un grad de libertate 1 rotatie in jurul axului (Δ). A cunoaste miscarea rigidului inseamna a cunoaste ω= t) (1) (legea de miscare);

1.Legea de distributie a vitezelor;

-pe (Δ) se introduce vectorii viteza astfel: un observator culcat pe axul de rotatie avand picioarele in originea vect ω si capul in extremitatea sa sa vada rotatia rigidului in sensul de la dreapta spre stanga;

In M se introd: ωR: -directia perpend pe (ω,r)- coincide cu tg in M la cercul pe care-l descrie M;

-sensul: in sensul de rotatie al rigidului;

-modul: |ωxr|=ω r sinα = ωR;

Cum traiectoriile pct rigidului sunt cercuri continute in planul perpend pe axul (Δ) =>vect. Ωxr are aceleasi caract ca si vect viteza v de la misc circulara a pct. Se poate scrie astfel: v=ωxr- legea de distrib. a vitezei la miscarea de rotatie.

ω- vit unghiulara de rotatie a rigidului;

r- vect de poz al pct M in raport cu O;

vx ωy

vy ωx

vz -componentele carteziene ale vect de rotatie in jurul unui ax fix;

Modul v=sqrt vx+ vy+ vz)= ω sqrt(x+y)= ωR; => v=ωR;

Proprietati: 1.vit pct rigidului sunt cuprinse in planul perpend pe axul de rot (Δ=OZ, vz=0);

2.Pct de pe (Δ) au viteze nule (x=y=0 => Ox, Oy= 0);

3.Pct apartin (Δ1)||(Δ) au vit egale intre ele;

4.Pct apartin (Δ2)┴(Δ) au viteze d.p. cu dist R (v=ωR);

2.Legea de distributie a acceleratiilor;

a=v; v=ωxR;

a=v=

ωxR+ ωxR;

acceleratia unghiulara;

ω= ωk => ε=ω= ωk+ ωk;

ε=εk; k=constanta ca modul=1;

r=v=ωxr => a=εxr+ ω(ωxr)- legea de distributie a acc la miscarea de rotatie;

Proprietati

1.pct de pe axa de rotatie are acc nula.

2.acc pct rigidului apartine unor plane perpend pe (Δ);

3.Pct de pe (Δ1)||(Δ) au acc egale;

Miscarea plan-paralela. Proprietati ale distrib de viteze;

VB=VA+ ωxr- legea de distrib a vit;

1.Distrib de viteza la miscarea plan-paralela contine 2 termeni: VA specific unei misc de translatie si ωxr specific unei misc de rotatie. Se poate spune ca d.p.d.v. al vit placa mobila (Pm) efectueaza la un moment dat o misc de translatie cu vit VA a unui pct A (Pm) si o misc de rotatie cu viteza unghiulara ω in jurul unui ax perpend in A, pe planul placii.

2. Exista in orice moment al miscarii un pct I-centru instantaneu de rotatie care (Pm) a carui vit este nula vI=0;

Locul geometric al pct succesiv ocupate de centrul instantaneu in raport cu sist ref mobil este o curba plana mobile solidara cu placa aflata in misc numita rostogolitoare (R), sau centroida mobila.

Locul geometric al poz succ ocupate de centrul instant in rap cu sist de referinta fix este o curba fixa plana numita baza (B), centroida fixa. In timpul miscarii placii rostogolitoare se rostogoleste fara alunecare peste curba baza pct de tg fiind mereu centrul instant de rotatie.

3. Raportand distrib de viteze la c.i.r. se obtine o distrib specifica unei miscari de rotatie pura.

Proprietatile distrib de acc la miscarea plan-paralela;

aB aA+ωxr-ωr- legea de distrib a acc la misc plan-paralela;

1.Analizand legea de distrib a acc se constata ca acc contine 3 termeni: unul aA(a-vector, A-coeficient) specific unei misc de translatie si ceilalti 2 ωxr si ωxr specif unei misc de rotatie. Se poate spune ca la un moment dat placa executa misc de translatie cu aA si o misc de rot cu viteza unghiulara ω si acc unghiulara in jurul unui ax perpend in A pe planul placii.

2. Exista P Pm) care are la un moment dat acc nula.

P- centru instantaneu al acc (polul acc);

3. Raportand distrib de acc cazul misc plane la polul acc se obtine o distrib specif unei misc de rot pura.