Intervalové odhady a testování hypotéz

Když házíme pětkrát mincí a pětkrát nám padne panna, můžeme tvrdit, že mince je falešná? Otestujte čistým testem významnosti na hladině významnosti 0,05.

Firma TT udává, že 1 jejich rezistorů nesplňuje požadovaná kritéria. V testované dodávce 1000ks bylo nalezeno 15 nevyhovujících rezistorů. Potvrzuje tento výsledek tvrzení TT? Ověřte čistým testem významnosti.

Mlýny Hrušov udávají na balících mouky váhu 1kg. Potravinářská inspekce otestovala 20 balíků mouky a zjistila váhu (0,950,08)kg. Může potravinářská inspekce na základě tohoto testu stíhat Mlýny Hrušov pro nedodržení udávané váhy výrobku? Ověřte čistým testem významnosti.

Výběrovým šetřením bychom chtěli odhadnout průměrnou mzdu pracovníků určitého výrobního odvětví. Z vyčerpávajícího šetření, které probíhalo před několika měsíci, víme, že směrodatná odchylka mezd byla 750,-Kč. Odhad chceme provést s 95 spolehlivosti a jsme ochotni připustit maximální chybu ve výši 50,-Kč. Jak velký musíme provést výběr, abychom zajistili požadovanou přesnost a spolehlivost?

Pro realizaci rozsáhlého šetření o diferenciaci mezd ve velkém průmyslovém podniku musíme velmi rychle získat určitou představu o průměrné odchylce mezd. Z celkového počtu 5.000 zaměstnanců jsme jich náhodně vybrali 30 a určili průměrnou mzdu 9.450,-Kč a směrodatnou odchylku ve výši 1.200,-Kč. V jakém intervalu lze s 95 pravděpodobnosti očekávat směrodatnou odchylku mezd v celém podniku? Předpokládáme, že rozdělení mezd v základním souboru všech pracovníků podniku je normální.

Při kontrole data spotřeby určitého druhu masové konzervy ve skladech produktů masného průmyslu bylo náhodně vybráno 320 konzerv a zjištěno, že 59 z nich má prošlou záruční lhůtu. Stanovte 95% interval spolehlivosti pro odhad procenta konzerv s prošlou záruční lhůtou.

Výrobce garantuje, že jím vyrobené žárovky mají životnost v průměru 1.000 hodin. Aby útvar kontroly zjistil, že tomuto konstatování odpovídá i v daném období vyrobená a expedovaná část produkce, vybral z připravené dodávky náhodně 50 žárovek a došel k závěru, že průměrná doba životnosti je 950 hodin a směrodatná odchylka doby životnosti pak 100 hodin. Je možné zjištěný rozdíl doby životnosti ve výběru připsat náhodě nebo je známkou nekvality produkce?

Představenstvo velké akciové společnosti zvažuje odprodat část akcií zaměstnancům této společnosti. Odhaduje se, že zájem o nákup by mohlo projevit asi 20 z nich. Proto personální útvar připravil předběžný průzkum, v němž oslovil 400 náhodně vybraných pracovníků společnosti, z nichž zájem o nákup akcií projevilo 66 lidí. Je úvaha představenstva reálná?

Ze základního souboru 10.000 automaticky balených sáčků piškotů bylo vybráno 1 sáčků a zjištěna průměrná váha 15,8g a směrodatná odchylka 4,8g. Určete se spolehlivosti 0,99, v jakých mezích lze očekávat průměrnou váhu balíčků piškotů.

Ze základního souboru 10.000 automaticky balených sáčků piškotů bylo vybráno 1 sáčků a zjištěna průměrná váha 15,8g a směrodatná odchylka 4,8g. Šíři intervalu pro odhad střední váhy balíčků piškot považuje vedení podniku za příliš velkou a požaduje při zachování stejné spolehlivosti (0,99), aby šíře intervalu nepřesáhla 1g. Určete, jaký by pro zajištění těchto podmínek musel být rozsah výběrového rozsahu.

Hypermarket Hyper chce pro zkvalitnění služeb poskytovaných zákazníkům zkrátit dobu jejich čekání u pokladen. Náhodně bylo vybráno 10 zákazníků a byla změřena doba jejich čekání u pokladny (předpokládáme normalitu rozdělení dob čekání). Výsledky šetření (v sekundách): 50, 65, 30, 45, 35, 55, 70, 65, 50.

a)      V jakých mezích lze s pravděpodobnosti 0,95 očekávat průměrnou dobu čekání zákazníka na obsluhu?

b)      Jaká je horní hranice průměrné doby čekání, která nebude s pravděpodobností 0,95 překročena?

Agentura provádějící průzkum veřejného mínění plánuje šetření, na základě kterého chce odhadnout, kolik procent voličů podporuje současnou vládní koalici. Předpokládejme (v praxi tomu tak ovšem není), že jsou dotazování vybírání zcela náhodně. Kolik dotazovaných by mělo být do výběru zařazeno, jestliže si vedení agentury přeje, aby se odhad z výběru nelišil od skutečného podílu příznivců koalice o více než 3

Byly testovány polovodičové součástky od dvou výrobců – MM a PP. MM prohlašuje, že její výrobky mají nižší procento vadných. Pro ověření tohoto tvrzení bylo z produkce MM náhodně vybráno 200 součástek, z nichž 14 bylo vadných. Podobný experiment byl proveden u firmy PP s výsledkem 10 vadných ze 100 náhodně vybraných součástek.

a)      Otestujte tvrzení firmy MM čistým testem významnosti.

b)      Nalezněte 95% interval spolehlivosti pro počet vadných součástek firmy MM.

Tabáková firma TAB prohlašuje, že jejich cigarety mají nižší obsah nikotinu než cigarety NIK. Pro ověření tohoto prohlášení bylo náhodně vybráno z  produkce TAB 20 krabiček cigaret (po 20-ti kusech) a v nich bylo zjištěno (42,6 3,7) mg nikotinu (v jediné cigaretě). Ve 25-ti krabičkách cigaret NIK (po 20-ti kusech) bylo zjištěno (48,9 4,3) mg nikotinu na cigaretu.

a)      Ověřte tvrzení firmy TAB čistým testem významnosti.

b)      Nalezněte 95% interval spolehlivosti pro obsah nikotinu v cigaretách TAB.

Agentura STAT udává, že v lednu 1999 byla v populaci České republiky 30 podpora ČSSD (1000 respondentů) a při průzkumu v květnu 1999 (1600 respondentů) zjistili pouze 25 podporu této strany. Lze z těchto výsledků usuzovat na klesající podporu ČSSD?

a)      Ověřte čistým testem významnosti.

b)      Na základě květnového průzkumu učiňte 90 intervalový odhad ohledně procentuálního zastoupení voličů ČSSD v celé populaci.

Byly testovány magnetofony od dvou výrobců – SONIE a PHILL. SONIE prohlašuje, že jejich magnetofony mají nižší procento reklamací. Pro ověření tohoto prohlášení bylo dotazováno několik prodejců magnetofonů a bylo zjištěno, že ze 150 prodaných magnetofonů firmy SONIE bylo v průběhu záruční doby reklamováno 5 výrobků a ze 220 prodaných magnetofonů PHILL bylo v záruční době reklamováno 9 výrobků.

a)      Otestujte pravdivost prohlášení firmy SONIE čistým testem významnosti.

b)      Otestujte pravdivost prohlášení firmy SONIE prostřednictvím intervalového odhadu na hladině významnosti 0,05.

c)      Najděte 95 interval spolehlivosti pro relativní počet reklamovaných magnetofonů firmy SONY.

Společnost EDUCO provádí každoročně srovnávání úrovně studentů různých středních škol. Nás v tuto chvíli zajímá srovnání úrovně studentů gymnázii a SPŚ. Srovnávacím kritériem byl test obecných znalostí. Tento test byl hodnocen (0 – 100) bodů. Pro orientační výsledek byly vyhodnoceny 24 testy studentů gymnázii s výsledky (78 9) bodů a 26 testů studentů SPŠ s výsledky (64 14) bodů.

a)      Potvrzují tyto výsledky předpoklad, že obecné znalostí gymnazistů jsou na vyšší úrovni než obecné znalosti studentů SPŠ? Ověřte čistým testem významnosti.

b)      Potvrzují tyto výsledky předpoklad, že obecné znalostí gymnazistů jsou na vyšší úrovni než obecné znalosti studentů SPŠ? Ověřte prostřednictvím intervalového odhadu na hladině významnosti 0,05.

c)      Najděte 95 interval spolehlivosti pro střední hodnotu počtu bodů studentů SPŠ.

Na základě testu chceme ověřit, zda výkon pracovníků v jistém podniku obuvnického průmyslu je významně vyšší než v jiném, kde se vyrábí stejný typ obuvi. Je znám rozptyl výkonů v obou podnicích s =20 a s =18. K ověření této hypotézy byl proveden náhodný výběr v prvním podniku o rozsahu 60 pracovníků a ve druhém podniku o rozsahu 50 pracovníků a byly vypočteny průměrné výkony v počtu páru za směnu 140 (pro první podnik) a 137 (pro druhý podnik).

Prodejna potravin odebírá uzenářské výrobky od dvou dodavatelů a za důležitou považuje dobu, která uplyne od předání objednávky do okamžiku dodání objednaného zboží. První dodavatel byl testován ve 14 případech: průměrná doba čekání na objednané zboží byla 51,25 hodin při rozptylu 7,47. U druhého dodavatele uzenin bylo provedeno deset pozorování: průměrná doba čekání na zboží byla 49,32 hodin oři výběrovém rozptylu 4,98. Na hladině významnosti 5 ověřte hypotézu, zda mezi oběma dodavateli existuje takový rozdíl v rychlosti dodávek uzenin, který by byl pro vedení prodejny potravin podstatný.

Podnik Čoko vyrábějící čokoládové výrobky se rozhoduje, zda jako nezbytnou podmínku při dodávce prodejcům bude požadovat uchovávání výrobků (konkrétně čokoládových oplatek) před jejich prodejem v temnu. Provedl si proto test kvality oplatek po 30 dnech od jejich výroby. Celkem bylo zkontrolováno 14 balíčků čokoládových oplatek skladovaných v temné místnosti a 7 vystavených světlu. Závadnými se ukázaly po dvou balíčcích z každé skupiny. Ověřte na 5 hladině významnosti hypotézu, že kvalita čokoládových oplatek není ovlivněna skladováním na světle.

Radnice menšího města chce znát názor obyvatel na stavbu podzemního parkoviště v historickém centru. Ve výběrovém šetření odpovídali respondenti jen „ano“ nebo „ne“ na otázku, zda souhlasí se zamýšlenou stavbou. Z 500 dotazovaných jich 280 odpovědělo kladně. Odhadněte s pravděpodobnosti 0,95 podíl obyvatel města, kteří souhlasí se stavbou podzemního parkoviště v centru města.

Ropná společnost chce postavit novou čerpací stanici na severním nebo jižním okraji menšího města. Projekt předpokládá, že bude vybrán ten výjezd z města, kde je vyšší intenzita provozu. Na severním výjezdu z města probíhalo šetření během 50 dní a byl zjištěn počet 4.000 projíždějících vozidel (se směrodatnou odchylkou 70 vozidel). Na jižním výjezdu z města bylo za 45 dní zaznamenáno v průměru 3.900 projíždějících vozidel (směrodatná odchylka 60 vozidel). Lze tento rozdíl považovat za statisticky významný?

Podnik Čoko používá dva typy strojů pro automatické balení sušenek. Vedoucí střediska je přesvědčen, že variabilita vah sáčků sušenek balených na těchto dvou strojích není stejná. Bylo tedy náhodně vybráno 14 balíčků sušenek balených na prvním stroji a 8 balených na druhém stroji. Předpokládáme-li, že váha balíčků sušenek má normální rozdělení, lze potvrdit empirický názor vedoucího střediska?

Podnik uspořádal školení výpočetní techniky na aplikaci Excel MS Office 97, jímž jsou vybaveny všechny počítače pracovníků ekonomického oddělení. Pokuste se prokázat, že školení ovlivnilo podíl pracovníků používajících tuto aplikaci pravidelně ve své práci. Výsledky šetření jsou v tabulce.