Poissonovo rozdělení – manipulace se statistikami

Poissonovo rozdělení – manipulace se statistikami

V případě, uvažujeme-li události, které se stávají zcela náhodně v čase jako např. poruchy přístroje, příchody tel. hovorů na ústřednu atd., je možno rozdělení náhodné veličiny popsat Poissonovým rozdělením. Rozdělení dostalo název podle francouzského matematika z počátku 19. století.

Tato časová náhodnost lze matematicky formulovat takto:

Poissonovo rozdělení (Po(l)) mají náhodné veličiny, jejichž hodnoty vyjadřují počet výskytů v určitém časovém intervalu. Vždy se jedná o náhodný pokus, kdy výsledek (jev A), který pozorujeme, se objevuje zcela náhodně, přičemž okolnost, že jev A jistou dobu nenastal nesnižuje ani nezvyšuje pravděpodobnost jeho výskytu později. Otázka je, kolikrát se jev A vyskytne v určitém časovém intervalu za předpokladu, že můžeme odhadnout (na základě zkušenosti, dlouhodobým pozorováním) jeho průměrný výskyt. Situace lze přesně formulovat takto:

jev A může nastat v kterémkoliv okamžiku

počet výskytů jevu A v intervalu <t_o, t_o+Dt> nezávisí na t_o ani na tom, kolikrát jev A nastal před okamžikem t_o, ale pouze na délce Dt.

je-li Px(Dt) pravděpodobnost toho, že jev A nastane v intervalu
<t_o,t_o+Dt> x-krát, pak

to znamená, čím menší je časový úsek Dt, tím menší je pravděpodobnost, že jev A nastane v takovém intervalu x-krát.

průměrný výskyt jevu A za jednotku času je l

Pak náhodná veličina, jejíž hodnota udává počet výskytů jevu A za jednotku času má rozdělení Po(l

Definice: Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení pravděpodobnosti s parametrem l, právě tehdy když má její pravděpodobnostní funkce tvar

jinak,

přičemž l je očekávaná hodnota a x vyjadřuje počet hledaných jevů. Součet pravděpodobnosti všech náhodných jevů je 1, takže je zřejmé:

Náhodná veličina s rozdělením Po(l) má střední hodnotu a rozptyl:

Z Taylorova rozvoje funkce e^l vyplívá , potom

.

Je-li l přirozené číslo, platí , není-li l přirozené číslo, je rozdělení jednovrcholové. Pro l<1 má rozdělení modus (nejčastější hodnotu) . Následující grafy znázorňují rozdělení Po(l) pro l=0,1, 1 a 2,5.

Poissonovo rozdělení mají nejen náhodné veličiny, které udávají počet jevů v časovém intervalu, ale i veličiny, u nichž jde o počet jevů v intervalu jakéhokoli druhu, např. počet prvků v jednotce objemu, hmotnosti atd. Rozdělení je   v jistých situacích aproximací rozdělení binomického, zde se jedná o dva prvky a to: jev nastal „1“ a jev nenastal „0“, přičemž pravděpodobnost výskytu jevů je relativně malá p<0,1 a počet pokusů velký n>30 (tedy l=np≥3). Jedná se tedy o diskrétní rozdělení náhodné veličiny na množině celých nezáporných číslech.

V případě že se diskretizuje spojité normální rozdělení, lze s jistou chybou aproximovat také Poissonovým rozdělením. Ve zvolených pravidelných intervalech se naleznou střední hodnoty => rozdělení je diskrétní na spočetně veliké množině.

Podmínky vyhovují pro řídké jevy, které jsou pro binomické rozdělení nevhodné, Binomické rozdělení je charakteristické doplňováním jevu a nejevu např. výskyt určitého sledu čísel v ruletě nebo sportce . Mnohé procesy však pomocí binomického rozdělení popsat nelze. Jestliže je na 10m dlouhém nosníku jedno vadné místo - kolik jich vadných není? Narodí-li se v určité době určitý počet dětí - kolik se jich nenarodí?

Příklad – názornost Poissonova rozdělení

Německý statistik Bortkiewitz na počátku 20. století zjišťoval po 10 let ve 20 armádních sborech počet vojenských osob zabitých úderem koňského kopyta. Zjistil, že ve 109 případech nebyl žádný smrtelný úraz, 65krát byl jeden mrtvý, 22krát dva mrtví, 3krát tři mrtví a jedenkrát čtyři mrtví. Hodnoty jsou přehledně uvedeny v tabulce níže. Nyní budeme ověřovat použitelnost a průkaznost Poissonova rozdělení.

Z uvedeného příkladu je zřejmé že při vhodném použití je toto rozdělení naprosto vyhovující. V tomto případě jsou statistická čísla jasná a evidentní, v podstatě v sobě neskrývají žádná zavádějící fakta.

Manipulace se statistikami

Mnohdy však statistické výstupy můžou být při nevhodné interpretaci zavádějící. Jako v následujícím případě:

Podle údajů ČTK za rok 2004 bylo na našich silnicích 196500 automobilových dopravních nehod. Přičemž usmrcených osob za tentýž rok bylo 1215. V případě, že by jsme se ptali po pravděpodobnosti úmrtí při dopravní nehodě a teoreticky uvažovali s neklesající ani nevzrůstající tendencí nehodovosti a použili by jsme Poissonovo rozdělení vyjdou nám následující hodnoty:

Očekávaná hodnota počet usmrcení za dopravní nehodu  l

l

Pravděpodobnost že při dopravní nehodě nebude usmrcena žádná osoba je:

P₀=0,993 - 99,3%

Pravděpodobnost že při dopravní nehodě bude usmrcena jedna osoba je:

P₁=0,006 - 0,6%

Znamená to, že je prakticky nemožné při automobilové nehodě zemřít? Přeci pravděpodobnost že nebude nikdo zraněn je 99,3%. Stále je tu však to nepříjemné číslo 1215 osob za rok… Takový výpočet je však velmi zavádějící. Ve výpočtu jsou zahrnuty jak autonehody při kterých se jen “zmačkaly” plechy, ale i nehody těžké. Chtěl-li by však někdo hovořit o tom, jak jsou naše silnice, nebo naše automobily spolehlivé a bezpečné mohl by toto číslo (99,3% - bezpečné) použít a v podstatě by měl pravdu. Matematicky je tento výpočet zřejmě v pořádku.

V takovém případě není příliš složité se statistickými čísly manipulovat. Jako např. většina kuřáků na dotaz, zda vědí o tom že kouření způsobuje smrtelná onemocnění, odpoví že o tom vědí. Na dotaz proč tedy kouří je častá odpověď, že mnoho lidí kouří a nic se jim nestane a tak je tedy nepravděpodobné že by se v souvislosti z kouřením něco mělo stát jim. A opět zřejmě mají pravdu. Znamená to však, že kouření má minimální negativní dopad na zdraví? V roce 1998 zemřelo v České republice na rakovinu plic 4 298 mužů a 1 135 žen. Přičemž v současnosti kouří dospělé populace (starší 15 let), tj.cca 2,5 milionu osob. Navíc v důsledku pasivního kouření zemře ročně v ČR 120 lidí, a to nemluvíme o nemocech kouřením způsobeným. Na statistická čísla je nutno pohlížet s rozumem a ptát se z jakých zdrojů a jakým způsobem byla získána. Nelze jen slepě věřit názorům které nám mnozí předkládají (koláče sledovanosti na nově atd.). Jak se říká důvěřuj, ale prověřuj.

Použitá literatura:

Pravděpodobnost a matematická statistika doplňkové skriptum, V.Beneš, G. Dohnal, vydavatelství ČVUT Praha 1993

Moderní statistika, H. Swoboda, R. Frische, nakladatelství svoboda praha 1977

Počet pravděpodobnosti, J. Likeš, J. Machek, nakladatelství technické literatury SNTL Praha 1981

Pravděpodobnost a statistika, F. Jaroš a kol., vydavatelství VŠCHT Praha 1998

Web - internet