PRUŽNOST A PEVNOST

PRUŽNOST A PEVNOST

napìtí - fiktivní velièina

- charakterizuje, jak je každý bod prùøezu silovì namáhán

2 typy:  normálové

existují v každé složce prùøezu a jsou rùzné

teèné

pomìrné deformace - deformace vztažené k pùvodnímu stavu kce.

a) pomìrné (relativní) délkové deformace

v každém bodì prùøezu rùzné

b) pomìrné úhlové deformace

pøetvoøení - posuny bodù prùøezu ve smìru jednotl. souø. os

u posunutí ve smìru osy x

v y

w z

+ posunutí ve smìru kladné poloosy a naopak

analýza prutu

prut – kèní. prvek, u kterého 1 rozmìr (délka) výraznì pøevyšuje zbylé 2

rovinný – støednice leží v jedné rovinì

prostorový

promìnný prùøez prutu: spojitì, diskrétnì

konstantní: kruh, obdélník, ètverec, trojúhelník

masivní pruty – prùøez má všechny své rozmìry srovnatelné

tenkostìnné pruty – nìkterý z rozmìrù je øádovì menší (nejèastìji tlouška)

vnitøní síly N_x, V_y, V_z, M_y, M_z, M_x(=K,T – kroutící[torzní] moment)

Bernoulli – Navierova hypotéza

prùøez je ve své rovinì nedeformovatelný

prùøez zùstává rovinný pøed i po deformaci kce.

prùøez je vždy kolmý ke støednici a to jak pøed, tak i po deformaci

- u reálných kcí. vìtšinou B.-N. hypotéza neplatí

pøípady namáhání prutu - podle toho jaké specifické vnitøní síly vznikají

jednoduchý – v prùøezu vzniká pouze 1 nenulová složka vnitøních sil

složené – vzniká více než 1 složka vnitøních sil

ad 1) ad 2)

a)      prostý tah a tlak  a) pøíèný ohyb = ohyb smyk

b)      prostý smyk b) mimostøedný tah a tlak

c)      prostý ohyb c) šikmý a prostorový ohyb

d)      prosté kroucení  d) pøíèný a podélný ohyb

e) pøíèný ohyb s kroucením

PROSTÝ TAH A TLAK - prut je osovì zatížen osamìlým bøemenem

- pùsobí pouze N_x v tìžišti prùøezu prutu

- v tìžišti vznikají pouze normálová napìtí

teèná jsou rovna nule

- vzniká buï pomìrné prodloužení nebo zkrácení

E … modul pružnosti materiálu v tahu a tlaku (každý mat. ho má jiný)

1/EA … tuhost prùøezu v tahu a tlaku

l … pùvodní délka prutu ∆l … prodloužení èi zkrácení

zmìna N_x, E, A probíhá diskrétnì (skokem) - ne plynule!

pomìrné deformace v pøíèném smìru:

… Poissonùv souè.

0<<0,5 beton (0,1-0,2)

kovy (0,3)

zeminy (>0,3)

korek (0)

extrémní napìtí

dimenzaèní podmínka – zda daná kce. je schopna pøenést dané zatížení

splnìnoàkce. vyhoví

…mezní hodnota napìtí, kterou pøipouští normy (pevnost materiálu)

vliv zmìny teploty – ohøeje à zvìtšení objemu a naopak

jiné chování u SU a SN kcí.

SU: … zmìna teploty

l … délka kce.

α … souè. teplotní roztažnosti materiálu [1/^oC]

pro klasické materiály α = 1.10^-6

nevznikají žádná napìtí ani vnitøní síly u SU kcí. pøi vlivu zmìny teploty

SN: = 0

= 0

PROSTÝ OHYB - pùsobí pouze ohybový moment M

buï M_y nebo M_z vs. pokud souèasnì, nejedná se o prostý ohyb

M_y – prostý ohyb v rovinì xz

M_z – prostý ohyb v rovinì xy

ohyb v rovinì xz

- èím vìtší je prùhyb, tím vìtší je posunutí

- nejvìtší posunutí vykazují nejkrajnìjší body prùøezu (nejvzdálenìjší od tìžištì)

- èím vìtší prùhyb, tím vìtší napìtí

- èím tužší materiál, tím vìtší napìtí

odvození vztahu pro výpoèet napìtí:

M_y … ohybový moment v daném prùøezu

I_y … moment setrvaènosti

z … z-ová poøadnice

prùbìh napìtí po výšce prùøezu:

extrémní hodnoty napìtí:

W … modul prùøezu

dimenzaèní podmínka: - vždy stejná u všech pøípadù namáhání

R_DIM … mezní pøípustná hodnota napìtí podle norem

pro beton dosazuji do dimenzaèní podmínky 2x (odlišné pevnosti v tahu a tlaku)

ohyb v rovinì xy (ve vodorovné rovinì)

i dimenzaèní podmínka stejné jak u ohybu v rovinì xz

MIMOSTØEDNÝ TAH A TLAK – vznikají pouze M, N

3 varianty: 1) N_x, M_y – vznikají v prùøezu à mimostøedný tah a tlak v rovinì xz

2) N_x, M_z – v rovinì xy

3) N_x, M_y, M_z – obecný pøípad

1) mimostøedný tah a tlak v rovinì xz

- vznikají pouze v libovolném bodì prùøezu

- teèná napìtí nevznikají

prùbìh napìtí po výšce prùøezu:

dimenzaèní podmínka:

neutrálná osa – množina bodù, ve kterých je normálové napìtí rovno nule

- vždy mimo osu x

z_n … z-ová poøadnice od osy x (vždy nenulové)

i_y … polomìr setrvaènosti

z_c … z-ová poøadnice tahového tlakového centra – hypotetický bod, kde pùsobí vnìjší zatížení

2) mimostøedný tah a tlak v rovinì xy

3) obecný pøípad – N_x, M_y, M_z

- pokud je C mimo osu x, y, z , jedná se o mimostø. t. a t. obecný

normálové napìtí v lib. bodì prùøezu:

… vznikají v bodech nejvzdálenìjších od neutrálné osy

poloha neutrálné osy: protíná protilehlý kvadrant, než je kvadrant, ve kterém leží tahové-tlakové centrum C

dim. podm.:

jak spoèítat N_x, M_y, M_z, když známe P_x: kladný moment proti smìru hodinových ruèièek

souvislost mezi polohou tah.-tlak. centra (C) a neutrálné osy (N.O.):

pokud se C blíží k tìžišti, N.O. se od tìžištì vzdaluje

pokud C splyne s tìžištìm, N.O. se nachází v ∞

èím blíže bude N.O. tìžišti, tím dále bude C

pokud bude C v ∞, N.O. = tìžišti

jádro prùøezu – oblast okolo tìžištì prùøezu, ve které pùsobící vnìjší síla v prùøezu vyvolá napìtí pouze jednoho znaménka (celý prùøez buï tlaèen, nebo tažen)

!polohy neutrálných os volím tak, aby se dotkly obrysu prùøezu, ale neprotly ho!

bude-li v jádøe prùøezu pùsobit pouze tahová síla, celý prùøez bude tažen a naopak

prùbìh napìtí po ploše prùøezu:

ŠIKMÝ A PROSTOROVÝ OHYB – vznikají M_y, M_z

- vnìjší zatížení musí pùsobit v rovinì, která prochází tìžištìm a neprochází ani osou y, ani z

- pokud bude více rovin zatížení, jedná se o prostorový ohyb

- z hlediska prùøezu mezi nimi rozdíl není

vznikají pouze normálová napìtí a teèná napìtí

napìtí v libovolném bodì prùøezu:

neutrálná osa vždy prochází tìžištìm prùøezu v pøípadì šikmého nebo prost. ohybu

extrémní hodnoty napìtí: - vznikají v nejvzdálenìjších bodech od neutárlné osy

- leží na obrysu prùøezu

dim. podm. :

pokud je zadán moment v rovinì zatížení:

M: tento výsledek nerozhoduje o znaménku

SMYK ZA OHYBU – asi 95% pøípadù namáhání na prutové kci.

- pøíèný ohyb, kombinace ohybu se smykem

vzniká V, M:

1) V_z, M_y – smyk za ohybu v rovinì xz

2) V_y, M_z – smyk za ohybu v rovinì xy

- vzniká jak normálové, tak teèné napìtí

deplanace prùøezu = snaha prùøezu zprohýbat se ve vlastní rovinì

à neplatí dokonale Ber.-Nav. hyp.

1) smyk za ohybu v rovinì xz

prùbìh : stejný jako u prostého ohybu

prùbìh : musíme urèit, zda se jedná o masivní nebo tenkostìnný prùøez

a) masivní prùøezy – všechny rozmìry øádovì srovnatelné s celkovými rozmìry prùøezu

Grashofova hypotéza - se rozdìlují rovnomìrnì podél úseèky rovnobìžné s osou y (= po šíøce prùøezu mají všechny body stejnou hodnotu )

[Mpa]

b(z) … šíøka prùøezu v bodì, kde poèítám

… stat. moment plochy k ose y (je jedno, kterou plochu vezmeme – buï pod nebo nad øezem )

extrémní napìtí:

_min – obvykle na okraji (horní èi dolní) prùøezu

_max – obvykle v okolí tìžištì

pro masivní ètvercový resp. obdelníkový prùøez

b) tenkostìnné prùøezy – z dílèích èástí, které mohou být menší než celkové rozmìry prùøezu (I, T, U, …)

- po tloušce dílèích èástí je hodnota konstantní !!!

t … tlouška prùøezu v místì, kde poèítám

… stat. moment plochy k ose y (vždy bereme menší plochu!)

_min jinak u stojiny a jinak u pøíruby

_max

pøíruba: _min = 0 (protože = 0)

_max 0 (v bodì pøíruby, který je nejvíce vzdálen od okraje)

lineární prùbìh

stojina: _min 0 (nejdále od osy y)

_max 0 (v místì tìžištì)

nelineární prùbìh

_max na pøírubì = _min na stojinì

STØED SMYKU - smyk+ohyb, ale èasto ještì kroucení

- malé kroucení vyvolá u tenkostìnných prùøezù velká teèná napìtí

= bod prùøezu, kterým musí procházet výslednice posouvajících sil, aby nedocházelo v prùøezu ke kroucení

nalezení støedu smyku:

A) 1) symetrický prùøez – leží na ose symetrie

2) 2-ose symetrický – støed smyku leží v tìžišti

3) 1-ose symetrický – s.s. leží na ose symetrie, ale na opaèné polorovinì než tìžištì

- u jednoose sym. profilù musím zajistit, aby nedocházelo ke kroucení

B) tabulky

pro U profil h₀ … celk. výška tenkost. prùøezu

C) pomocí výseèových souøadnic

y_A, z_A … y-ová a z-ová souø. polù výseèových souø.

, … výseèové deviaèní momenty

D) statické podmínky rovnováhy

M … prùseèík stojiny a osy y

_max v pøírubì u U-profilu:

PROSTÝ SMYK - vzniká pouze V

(= støih) a) V_z – prostý smyk v rovinì xz

b) V_y – v rovinì xy

v bodech prùøezu vznikají pouze ()

ve všech bodech prùøezu jsou konstantní

pomìrné pootoèení gamma]:

G … modul pružnosti materiálu ve smyku

pro isotropní materiály:

- prùøezy stavebních kcí. nejsou na prostý smyk namáhány!

síly nemusí pùsobit na 1 pøímce, ale musí být blízko sebe

ale:

u šroubových a nýtových spojù se posuzuje dle teorie prostého smyku

dimenzaèní podmínka:

R_DIM … mezní namáhání šroubu nebo nýtu ve støihu

A … prùøezová plocha nýtu nebo šroubu

i … poèet støihù – závisí na kèním. uspoøádání

VÝSEÈOVÉ SOUØADNICE

použití: 1) støed smyku

2) kroucení tenkostìnných kcí.

[omega]… poloha bodu zachycena pouze 1 velièinou

r … kolmá vzdálenost od pólu výseèové souøadnice k pøímce

s … souøadnice mìøená od poèátku ètení k vyšetøovanému bodu O

(s) pól vyseè. souø. = støed smyku

malá èást tenkostìnného prùøezu:

KROUCENÍ - složitý pøípad namáhání – jak teoreticky, tak výpoètovì

- dochází tehdy, pokud výslednice posouv. sil neprochází støedem smyku

- není èasté u stav. kcí.

- øada teorií – nejèastìji násl. 2:

1) teorie volného kroucení (VOLNÉ KROUCENÍ)

liší se v pohledu na deplanaci

2) teorie vázaného kroucení (VÁZANÉ KROUCENÍ)

- pøesnìjší teorie, ale složitìjší

kroucení - dochází k vzájemnému pootáèení prùøezù + deplanace (snaha prùžezu zprohýbat se ve vlastní rovinì)

- neplatí B. – N. hypotéza

ad 1) nebere v potaz deplanaci prùžezu

ad 2) jak pootoèení prùøezu, tak deplanaci

bránìní deplanace - 3 skupiny

1. - kèní. uspoøádání prutu

- upevnìní prutu (podepøení) – vetknutí à brání deplanaci

- ztužidla – pøíèná – u ocelových kcí.

- pokud se po délce prutu mìní M_K

- zmìna tvaru èi rozmìru prutu po délce

- pokud deplanaci není bránìno à je výstižnìjší volné kroucení a naopak

- u vìtšiny stav. kcí je bránìno deplanaci à pøesnìjší vázané kroucení

- kroucení se výraznì projevuje u tenkostìnných prùøezù (T, I, U, …)

VOLNÉ KROUCENÍ

pøedpoklady: prùøezy nedeplanují a není jim bránìno

- jednotl. prùøezy se vzájemnì pootáèí

- v jednotl. bodech prùøezu vznikají - teèná napìtí

- vzniká pouze M_x = K = T (torzní, kroutící m.)

kruhové, mezikruhové

masivní pr.

ostatní

uzavøené

tenkostìnné pr.

otevøené

nejlépe vzdorují kroucení masivní kruhové a mezikruhové !!!

nejhùøe tenkostìnné otevøené!!!

masivní mezikruhový a kruhový prùøez:

- nedochází k deplanaci

- výstižná teorie volného kroucení

… úhel zkosení

r … vzd. bodu od tìžištì pr.

… [téta] – relativní úhel zkosení

Hookùv z. ve smyku

G … mod. pružnosti mat. ve smyku

isotropní materiály

r … vzd. bodu od poè. souø. syst.

v tìžišti prùøezu (r=0)

v libovolném bodì na obrysu

- èím tužší mat., tím vìtší

- èím vìtší M_K, tím vìtší

r vzd. b. od poè. s.s.

- pùsobí kolmo k danému prùvodièi

… tuhost prùøezu v kroucení

- jak pr. vzdoruje úèinkùm kroucení

W_K mod. pr. v kroucení (tuhost v tahu a tlaku =EA

tuhost v ohybu = EI)

torzní konstanta – moment tuhosti pr. v kroucení

- èím vìtší , tím lépe pr. vzdoruje kroucení

kruh. a mezikruh. pr.: = I_P (polární m. setrv.)

z, y souø. bodu

vzájemné pootoèení koncových prùøezù:

- po celé délce pùsobí stejný M_K, prut je z 1 materiálu a má po celé délce stejný prùøez

pokud nesplnìno à

masivní ostatní prùøezy:

- dochází k deplanaci à rychle vymizí bránìní à pøesná teorie volného kroucení

platí pro ètvrce a obd.

b … menší z tìch 2 rozmìrù

h … vìtší

h/b = 1 β = 0,141

1,5 0,196

∞ 0,333

v rozích a tìžišti

ve støedu delší strany na okraji prùøezu

h/b = 1 α = 0,208

1,5 0,231

∞ 0,333

tenkostìnné uzavøené prùøezy:

- prùøezy se pootáèí a deplanují (znaènì)

- úèinky deplanace po celé délce prutu

- po tloušce prutu je konst.

Q … smykový tok

t … tl. v místì, kde poèítám

A₀ … plocha pr. ohranièená støednicí prutu

max. t

(Q = konst.)

min. t

pro krabicové prùøezy: