PRUŽNOST A PEVNOST

PRUŽNOST A PEVNOST

napětí - fiktivní veličina

- charakterizuje, jak je každý bod průřezu silově namáhán

2 typy:  normálové

existují v každé složce průřezu a jsou různé

tečné

poměrné deformace - deformace vztažené k původnímu stavu kce.

a) poměrné (relativní) délkové deformace

v každém bodě průřezu různé

b) poměrné úhlové deformace

přetvoření - posuny bodů průřezu ve směru jednotl. souř. os

u posunutí ve směru osy x

v y

w z

+ posunutí ve směru kladné poloosy a naopak

analýza prutu

prut – kční. prvek, u kterého 1 rozměr (délka) výrazně převyšuje zbylé 2

rovinný – střednice leží v jedné rovině

prostorový

proměnný průřez prutu: spojitě, diskrétně

konstantní: kruh, obdélník, čtverec, trojúhelník

masivní pruty – průřez má všechny své rozměry srovnatelné

tenkostěnné pruty – některý z rozměrů je řádově menší (nejčastěji tloušťka)

vnitřní síly N_x, V_y, V_z, M_y, M_z, M_x(=K,T – kroutící[torzní] moment)

Bernoulli – Navierova hypotéza

průřez je ve své rovině nedeformovatelný

průřez zůstává rovinný před i po deformaci kce.

průřez je vždy kolmý ke střednici a to jak před, tak i po deformaci

- u reálných kcí. většinou B.-N. hypotéza neplatí

případy namáhání prutu - podle toho jaké specifické vnitřní síly vznikají

jednoduchý – v průřezu vzniká pouze 1 nenulová složka vnitřních sil

složené – vzniká více než 1 složka vnitřních sil

ad 1) ad 2)

a)      prostý tah a tlak  a) příčný ohyb = ohyb smyk

b)      prostý smyk b) mimostředný tah a tlak

c)      prostý ohyb c) šikmý a prostorový ohyb

d)      prosté kroucení  d) příčný a podélný ohyb

e) příčný ohyb s kroucením

PROSTÝ TAH A TLAK - prut je osově zatížen osamělým břemenem

- působí pouze N_x v těžišti průřezu prutu

- v těžišti vznikají pouze normálová napětí

tečná jsou rovna nule

- vzniká buď poměrné prodloužení nebo zkrácení

E … modul pružnosti materiálu v tahu a tlaku (každý mat. ho má jiný)

1/EA … tuhost průřezu v tahu a tlaku

l … původní délka prutu ∆l … prodloužení či zkrácení

změna N_x, E, A probíhá diskrétně (skokem) - ne plynule!

poměrné deformace v příčném směru:

… Poissonův souč.

0<<0,5 beton (0,1-0,2)

kovy (0,3)

zeminy (>0,3)

korek (0)

extrémní napětí

dimenzační podmínka – zda daná kce. je schopna přenést dané zatížení

splněnoàkce. vyhoví

…mezní hodnota napětí, kterou připouští normy (pevnost materiálu)

vliv změny teploty – ohřeje à zvětšení objemu a naopak

jiné chování u SU a SN kcí.

SU: … změna teploty

l … délka kce.

α … souč. teplotní roztažnosti materiálu [1/^oC]

pro klasické materiály α = 1.10^-6

nevznikají žádná napětí ani vnitřní síly u SU kcí. při vlivu změny teploty

SN: = 0

= 0

PROSTÝ OHYB - působí pouze ohybový moment M

buď M_y nebo M_z vs. pokud současně, nejedná se o prostý ohyb

M_y – prostý ohyb v rovině xz

M_z – prostý ohyb v rovině xy

ohyb v rovině xz

- čím větší je průhyb, tím větší je posunutí

- největší posunutí vykazují nejkrajnější body průřezu (nejvzdálenější od těžiště)

- čím větší průhyb, tím větší napětí

- čím tužší materiál, tím větší napětí

odvození vztahu pro výpočet napětí:

M_y … ohybový moment v daném průřezu

I_y … moment setrvačnosti

z … z-ová pořadnice

průběh napětí po výšce průřezu:

extrémní hodnoty napětí:

W … modul průřezu

dimenzační podmínka: - vždy stejná u všech případů namáhání

R_DIM … mezní přípustná hodnota napětí podle norem

pro beton dosazuji do dimenzační podmínky 2x (odlišné pevnosti v tahu a tlaku)

ohyb v rovině xy (ve vodorovné rovině)

i dimenzační podmínka stejné jak u ohybu v rovině xz

MIMOSTŘEDNÝ TAH A TLAK – vznikají pouze M, N

3 varianty: 1) N_x, M_y – vznikají v průřezu à mimostředný tah a tlak v rovině xz

2) N_x, M_z – v rovině xy

3) N_x, M_y, M_z – obecný případ

1) mimostředný tah a tlak v rovině xz

- vznikají pouze v libovolném bodě průřezu

- tečná napětí nevznikají

průběh napětí po výšce průřezu:

dimenzační podmínka:

neutrálná osa – množina bodů, ve kterých je normálové napětí rovno nule

- vždy mimo osu x

z_n … z-ová pořadnice od osy x (vždy nenulové)

i_y … poloměr setrvačnosti

z_c … z-ová pořadnice tahového tlakového centra – hypotetický bod, kde působí vnější zatížení

2) mimostředný tah a tlak v rovině xy

3) obecný případ – N_x, M_y, M_z

- pokud je C mimo osu x, y, z , jedná se o mimostř. t. a t. obecný

normálové napětí v lib. bodě průřezu:

… vznikají v bodech nejvzdálenějších od neutrálné osy

poloha neutrálné osy: protíná protilehlý kvadrant, než je kvadrant, ve kterém leží tahové-tlakové centrum C

dim. podm.:

jak spočítat N_x, M_y, M_z, když známe P_x: kladný moment proti směru hodinových ručiček

souvislost mezi polohou tah.-tlak. centra (C) a neutrálné osy (N.O.):

pokud se C blíží k těžišti, N.O. se od těžiště vzdaluje

pokud C splyne s těžištěm, N.O. se nachází v ∞

čím blíže bude N.O. těžišti, tím dále bude C

pokud bude C v ∞, N.O. = těžišti

jádro průřezu – oblast okolo těžiště průřezu, ve které působící vnější síla v průřezu vyvolá napětí pouze jednoho znaménka (celý průřez buď tlačen, nebo tažen)

!polohy neutrálných os volím tak, aby se dotkly obrysu průřezu, ale neprotly ho!

bude-li v jádře průřezu působit pouze tahová síla, celý průřez bude tažen a naopak

průběh napětí po ploše průřezu:

ŠIKMÝ A PROSTOROVÝ OHYB – vznikají M_y, M_z

- vnější zatížení musí působit v rovině, která prochází těžištěm a neprochází ani osou y, ani z

- pokud bude více rovin zatížení, jedná se o prostorový ohyb

- z hlediska průřezu mezi nimi rozdíl není

vznikají pouze normálová napětí a tečná napětí

napětí v libovolném bodě průřezu:

neutrálná osa vždy prochází těžištěm průřezu v případě šikmého nebo prost. ohybu

extrémní hodnoty napětí: - vznikají v nejvzdálenějších bodech od neutárlné osy

- leží na obrysu průřezu

dim. podm. :

pokud je zadán moment v rovině zatížení:

M: tento výsledek nerozhoduje o znaménku

SMYK ZA OHYBU – asi 95% případů namáhání na prutové kci.

- příčný ohyb, kombinace ohybu se smykem

vzniká V, M:

1) V_z, M_y – smyk za ohybu v rovině xz

2) V_y, M_z – smyk za ohybu v rovině xy

- vzniká jak normálové, tak tečné napětí

deplanace průřezu = snaha průřezu zprohýbat se ve vlastní rovině

à neplatí dokonale Ber.-Nav. hyp.

1) smyk za ohybu v rovině xz

průběh : stejný jako u prostého ohybu

průběh : musíme určit, zda se jedná o masivní nebo tenkostěnný průřez

a) masivní průřezy – všechny rozměry řádově srovnatelné s celkovými rozměry průřezu

Grashofova hypotéza - se rozdělují rovnoměrně podél úsečky rovnoběžné s osou y (= po šířce průřezu mají všechny body stejnou hodnotu )

[Mpa]

b(z) … šířka průřezu v bodě, kde počítám

… stat. moment plochy k ose y (je jedno, kterou plochu vezmeme – buď pod nebo nad řezem )

extrémní napětí:

_min – obvykle na okraji (horní či dolní) průřezu

_max – obvykle v okolí těžiště

pro masivní čtvercový resp. obdelníkový průřez

b) tenkostěnné průřezy – z dílčích částí, které mohou být menší než celkové rozměry průřezu (I, T, U, …)

- po tloušťce dílčích částí je hodnota konstantní !!!

t … tloušťka průřezu v místě, kde počítám

… stat. moment plochy k ose y (vždy bereme menší plochu!)

_min jinak u stojiny a jinak u příruby

_max

příruba: _min = 0 (protože = 0)

_max 0 (v bodě příruby, který je nejvíce vzdálen od okraje)

lineární průběh

stojina: _min 0 (nejdále od osy y)

_max 0 (v místě těžiště)

nelineární průběh

_max na přírubě = _min na stojině

STŘED SMYKU - smyk+ohyb, ale často ještě kroucení

- malé kroucení vyvolá u tenkostěnných průřezů velká tečná napětí

= bod průřezu, kterým musí procházet výslednice posouvajících sil, aby nedocházelo v průřezu ke kroucení

nalezení středu smyku:

A) 1) symetrický průřez – leží na ose symetrie

2) 2-ose symetrický – střed smyku leží v těžišti

3) 1-ose symetrický – s.s. leží na ose symetrie, ale na opačné polorovině než těžiště

- u jednoose sym. profilů musím zajistit, aby nedocházelo ke kroucení

B) tabulky

pro U profil h₀ … celk. výška tenkost. průřezu

C) pomocí výsečových souřadnic

y_A, z_A … y-ová a z-ová souř. polů výsečových souř.

, … výsečové deviační momenty

D) statické podmínky rovnováhy

M … průsečík stojiny a osy y

_max v přírubě u U-profilu:

PROSTÝ SMYK - vzniká pouze V

(= střih) a) V_z – prostý smyk v rovině xz

b) V_y – v rovině xy

v bodech průřezu vznikají pouze ()

ve všech bodech průřezu jsou konstantní

poměrné pootočení gamma]:

G … modul pružnosti materiálu ve smyku

pro isotropní materiály:

- průřezy stavebních kcí. nejsou na prostý smyk namáhány!

síly nemusí působit na 1 přímce, ale musí být blízko sebe

ale:

u šroubových a nýtových spojů se posuzuje dle teorie prostého smyku

dimenzační podmínka:

R_DIM … mezní namáhání šroubu nebo nýtu ve střihu

A … průřezová plocha nýtu nebo šroubu

i … počet střihů – závisí na kčním. uspořádání

VÝSEČOVÉ SOUŘADNICE

použití: 1) střed smyku

2) kroucení tenkostěnných kcí.

[omega]… poloha bodu zachycena pouze 1 veličinou

r … kolmá vzdálenost od pólu výsečové souřadnice k přímce

s … souřadnice měřená od počátku čtení k vyšetřovanému bodu O

(s) pól vyseč. souř. = střed smyku

malá část tenkostěnného průřezu:

KROUCENÍ - složitý případ namáhání – jak teoreticky, tak výpočtově

- dochází tehdy, pokud výslednice posouv. sil neprochází středem smyku

- není časté u stav. kcí.

- řada teorií – nejčastěji násl. 2:

1) teorie volného kroucení (VOLNÉ KROUCENÍ)

liší se v pohledu na deplanaci

2) teorie vázaného kroucení (VÁZANÉ KROUCENÍ)

- přesnější teorie, ale složitější

kroucení - dochází k vzájemnému pootáčení průřezů + deplanace (snaha průžezu zprohýbat se ve vlastní rovině)

- neplatí B. – N. hypotéza

ad 1) nebere v potaz deplanaci průžezu

ad 2) jak pootočení průřezu, tak deplanaci

bránění deplanace - 3 skupiny

1. - kční. uspořádání prutu

- upevnění prutu (podepření) – vetknutí à brání deplanaci

- ztužidla – příčná – u ocelových kcí.

- pokud se po délce prutu mění M_K

- změna tvaru či rozměru prutu po délce

- pokud deplanaci není bráněno à je výstižnější volné kroucení a naopak

- u většiny stav. kcí je bráněno deplanaci à přesnější vázané kroucení

- kroucení se výrazně projevuje u tenkostěnných průřezů (T, I, U, …)

VOLNÉ KROUCENÍ

předpoklady: průřezy nedeplanují a není jim bráněno

- jednotl. průřezy se vzájemně pootáčí

- v jednotl. bodech průřezu vznikají - tečná napětí

- vzniká pouze M_x = K = T (torzní, kroutící m.)

kruhové, mezikruhové

masivní pr.

ostatní

uzavřené

tenkostěnné pr.

otevřené

nejlépe vzdorují kroucení masivní kruhové a mezikruhové !!!

nejhůře tenkostěnné otevřené!!!

masivní mezikruhový a kruhový průřez:

- nedochází k deplanaci

- výstižná teorie volného kroucení

… úhel zkosení

r … vzd. bodu od těžiště pr.

… [téta] – relativní úhel zkosení

Hookův z. ve smyku

G … mod. pružnosti mat. ve smyku

isotropní materiály

r … vzd. bodu od poč. souř. syst.

v těžišti průřezu (r=0)

v libovolném bodě na obrysu

- čím tužší mat., tím větší

- čím větší M_K, tím větší

r vzd. b. od poč. s.s.

- působí kolmo k danému průvodiči

… tuhost průřezu v kroucení

- jak pr. vzdoruje účinkům kroucení

W_K mod. pr. v kroucení (tuhost v tahu a tlaku =EA

tuhost v ohybu = EI)

torzní konstanta – moment tuhosti pr. v kroucení

- čím větší , tím lépe pr. vzdoruje kroucení

kruh. a mezikruh. pr.: = I_P (polární m. setrv.)

z, y souř. bodu

vzájemné pootočení koncových průřezů:

- po celé délce působí stejný M_K, prut je z 1 materiálu a má po celé délce stejný průřez

pokud nesplněno à

masivní ostatní průřezy:

- dochází k deplanaci à rychle vymizí bránění à přesná teorie volného kroucení

platí pro čtvrce a obd.

b … menší z těch 2 rozměrů

h … větší

h/b = 1 β = 0,141

1,5 0,196

∞ 0,333

v rozích a těžišti

ve středu delší strany na okraji průřezu

h/b = 1 α = 0,208

1,5 0,231

∞ 0,333

tenkostěnné uzavřené průřezy:

- průřezy se pootáčí a deplanují (značně)

- účinky deplanace po celé délce prutu

- po tloušťce prutu je konst.

Q … smykový tok

t … tl. v místě, kde počítám

A₀ … plocha pr. ohraničená střednicí prutu

max. t

(Q = konst.)

min. t

pro krabicové průřezy: