První matematická formulace prvního zákona termodynamiky

První matematická formulace prvního zákona termodynamiky

Matematická formulace 1. zákona termodynamiky pro statiku plynù vychází z následujících pøedpokladù :

- Vnìjší kinetická energie a potenciální energie pracovní látky jsou zanedbatelné

- Neprojevuje se vliv chemické, jaderné, záøivé, magnetické a elektrické energie

Vnitøní energie

Pøi sdílení tepla dq pro 1 kg plynu se zmìní jeho teplota o dT a objem o dv

* Zmìna teploty souvisí se zmìnou vnitøní kinetické energie molekul - du_k ( jedná se o energii translaèní, vibraèní, rotaèní )

* Pøi zmìnì objemu dochází ke zmìnì energie související s pùsobením kohézních sil mezi molekulami - oznaèujeme ji vnitøní potenciální energie - du_p

Celková zmìna vnitøní energie plynu :

du = du_k + du_p

Pøi zmìnì objemu koná plyn vnìjší tzv. jednorázovou (absolutní, objemovou) práci da.

V technické termomechanice se píše 1.zákon pro statiku plynù ve tvaru :

dq = du + da

dQ = dU + dA

Poznámka: V technické termodynamice se uvažuje práce vykonaná sledovanou soustavou jako kladná, aèkoliv byla ze soustavy odvedena. Tato zvyklost vyplývá z hlavního zamìøení termodynamiky v dob jejího vzniku, kterým byla pøedevším snaha o teoretický rozbor podmínek hospodárné pøemìny tepelné energie v mechanickou práci. Jindy, napø. v chemii se píše ve tvaru :du = dq + da

Obr.1-2. Znázornìní kladné a záporné energie a) jak ji udává termomechanika, b) chemie

Jednorázová práce

Ve válci nad pístem je stlaèená vzdušina. Protože tlak uvnitø válce musí být neustále v rovnováze s vnìjšími silami posouvá se píst a stlaèená látka nabývá na objemu. Zmìnou svého objemu vykonává soustava práci. Tuto práci nazýváme jednorázovou, nebo objemovou. Práce vykonaná pøi posuvu pístu :

dA = F.dl = p.S.dl = p.dv

Jednorázová práce vykonaná mezi stavy 1 a 2:

/ J /

Obr.1-3 Jednorázová práce v p-v diagramu

Vnitøní energie - nezávisí na prùbìhu termodynamického dìje, ale pouze na stavu, pøi kterém ji urèujeme :

Du = u₂ - u₁ = Du_1a2 = Du_1b2 = Du_1c2

Poznámka :

Vnitøní energie na rozdíl napø. od práce má totální diferenciál. Absolutní hodnotu vnitøní energie je obtížné zjistit, v praxi nás však zajímají jen její zmìny od zvoleného (referenèního ) stavu. Ponìvadž je vnitøní energie funkcí stavu, platí obecnì :

u = f(p,v,T)

Stav plynu je jednoznaènì urèen dvìma na sobì nezávislými urèujícími stavovými velièinami. Tøetí stav.velièina bude urèena tìmito dvìma velièinami a pracovní látkou. Platí napø. u = f(T,v). Z matematiky je známo, že totální diferenciál funkce mùžeme vyjádøit jako souèet parciálních derivací tété funkce.Potom totální diferenciál vnitøní energie mùžeme psát :

Podobnì : u = f(T,p) ; u = f(p,v)

Pøi pøívodu tepla za stálého objemu platí podle 1.zákona termodynamiky :

Zmìna vnitøní energie je dána teplem sdìleným pøi zmìnì za stálého objemu:

du = c_v.dT

První zákon termodynamiky pro statiku plynù mùžeme psát ve tvaru:

Druhá matematická formulace prvního zákona termodynamiky

Vyjadøuje vztah mezi sdìleným teplem, entalpií a prací technickou.

Uvedený obrázek vysvìtluje princip 2.formulace prvního zákona termodynamiky. Soustava je realizována dvìma zásobníky s rùznými (konstantními) tlaky p₁ > p₂ a pracovním válcem. Pracovní válec je naplnìn ze 1.zásobníku vzdušinou o tlaku p₁ po otevøení plnícího ventilu. Energie která je pøedána pístu odpovídá vnitøní energii vzdušiny a energii dané tlakem a objemem této vzdušiny.

Obr.1-5. Znázornìní druhé formulace zákona termodynamiky

Celková energie pøedaná soustavou 1 pracovnímu válci se nazývá entalpie.

i₁ = u₁ + p₁ .v₁

Po uzavøení plnícího ventilu nastává expanze, pøi níž se vykoná absolutní práce. Po expanzi dojde k otevøení vypouštìcího ventilu. Pracovní válec-motor odevzdá energii (entalpii i₂) 2.zásobníku (následuje výtlak).

Z rozdílu tìchto energií se koná v tepelnì izolované soustavì práce technická :

a_t = u₁+ p₁.v₁ - u₂+ p₂.v₂

i₁ i₂

Jak už bylo uvedeno souèet vnitøní energie (tepelné) a mechanické energie (vnìjší) dané tlakem a objemem pracovní látky se nazývá entalpie. Entalpie nám tedy udává celkovou energii plynu.

Platí : i = u + p.v

di = du + d(p.v) = du + p.dv + v.dp

dosazením výrazu :  du = di - p.dv - v.dp

do první formulace 1. zákona termodynamiky obdržíme :

dq = di - p.dv - v.dp + p.dv = di - v.dp

mìrná technická práce :   +da_t = -v.dp , a_t = - v.dp

Celková technická práce :  A_t = - V.dp

Technická práce

Nazývá se tak proto, že ji mùžeme mìøit na høídeli u rotaèních strojù (sníženou o úèinnost pøevodù).

Zmìnu entalpie mùžeme vyjádøit pomocí dvou na sobì nezávislých urèovacích velièin stavu :

i = f(T,p)

Pro pøívod tepla za stálého tlaku platí podle 1.zákona termodynamiky :

Zmìna entalpie je dána teplem pøivedeným za stálého tlaku :

di = c_p .dT ; i₂ - i₁ = - c_p .dT

Druhou formulaci 1.zákona termomechaniky mùžeme psát ve tvaru :