První matematická formulace prvního zákona termodynamiky

První matematická formulace prvního zákona termodynamiky

Matematická formulace 1. zákona termodynamiky pro statiku plynů vychází z následujících předpokladů :

- Vnější kinetická energie a potenciální energie pracovní látky jsou zanedbatelné

- Neprojevuje se vliv chemické, jaderné, zářivé, magnetické a elektrické energie

Vnitřní energie

Při sdílení tepla dq pro 1 kg plynu se změní jeho teplota o dT a objem o dv

* Změna teploty souvisí se změnou vnitřní kinetické energie molekul - du_k ( jedná se o energii translační, vibrační, rotační )

* Při změně objemu dochází ke změně energie související s působením kohézních sil mezi molekulami - označujeme ji vnitřní potenciální energie - du_p

Celková změna vnitřní energie plynu :

du = du_k + du_p

Při změně objemu koná plyn vnější tzv. jednorázovou (absolutní, objemovou) práci da.

V technické termomechanice se píše 1.zákon pro statiku plynů ve tvaru :

dq = du + da

dQ = dU + dA

Poznámka: V technické termodynamice se uvažuje práce vykonaná sledovanou soustavou jako kladná, ačkoliv byla ze soustavy odvedena. Tato zvyklost vyplývá z hlavního zaměření termodynamiky v dob jejího vzniku, kterým byla především snaha o teoretický rozbor podmínek hospodárné přeměny tepelné energie v mechanickou práci. Jindy, např. v chemii se píše ve tvaru :du = dq + da

Obr.1-2. Znázornění kladné a záporné energie a) jak ji udává termomechanika, b) chemie

Jednorázová práce

Ve válci nad pístem je stlačená vzdušina. Protože tlak uvnitř válce musí být neustále v rovnováze s vnějšími silami posouvá se píst a stlačená látka nabývá na objemu. Změnou svého objemu vykonává soustava práci. Tuto práci nazýváme jednorázovou, nebo objemovou. Práce vykonaná při posuvu pístu :

dA = F.dl = p.S.dl = p.dv

Jednorázová práce vykonaná mezi stavy 1 a 2:

/ J /

Obr.1-3 Jednorázová práce v p-v diagramu

Vnitřní energie - nezávisí na průběhu termodynamického děje, ale pouze na stavu, při kterém ji určujeme :

Du = u₂ - u₁ = Du_1a2 = Du_1b2 = Du_1c2

Poznámka :

Vnitřní energie na rozdíl např. od práce má totální diferenciál. Absolutní hodnotu vnitřní energie je obtížné zjistit, v praxi nás však zajímají jen její změny od zvoleného (referenčního ) stavu. Poněvadž je vnitřní energie funkcí stavu, platí obecně :

u = f(p,v,T)

Stav plynu je jednoznačně určen dvěma na sobě nezávislými určujícími stavovými veličinami. Třetí stav.veličina bude určena těmito dvěma veličinami a pracovní látkou. Platí např. u = f(T,v). Z matematiky je známo, že totální diferenciál funkce můžeme vyjádřit jako součet parciálních derivací tété funkce.Potom totální diferenciál vnitřní energie můžeme psát :

Podobně : u = f(T,p) ; u = f(p,v)

Při přívodu tepla za stálého objemu platí podle 1.zákona termodynamiky :

Změna vnitřní energie je dána teplem sděleným při změně za stálého objemu:

du = c_v.dT

První zákon termodynamiky pro statiku plynů můžeme psát ve tvaru:

Druhá matematická formulace prvního zákona termodynamiky

Vyjadřuje vztah mezi sděleným teplem, entalpií a prací technickou.

Uvedený obrázek vysvětluje princip 2.formulace prvního zákona termodynamiky. Soustava je realizována dvěma zásobníky s různými (konstantními) tlaky p₁ > p₂ a pracovním válcem. Pracovní válec je naplněn ze 1.zásobníku vzdušinou o tlaku p₁ po otevření plnícího ventilu. Energie která je předána pístu odpovídá vnitřní energii vzdušiny a energii dané tlakem a objemem této vzdušiny.

Obr.1-5. Znázornění druhé formulace zákona termodynamiky

Celková energie předaná soustavou 1 pracovnímu válci se nazývá entalpie.

i₁ = u₁ + p₁ .v₁

Po uzavření plnícího ventilu nastává expanze, při níž se vykoná absolutní práce. Po expanzi dojde k otevření vypouštěcího ventilu. Pracovní válec-motor odevzdá energii (entalpii i₂) 2.zásobníku (následuje výtlak).

Z rozdílu těchto energií se koná v tepelně izolované soustavě práce technická :

a_t = u₁+ p₁.v₁ - u₂+ p₂.v₂

i₁ i₂

Jak už bylo uvedeno součet vnitřní energie (tepelné) a mechanické energie (vnější) dané tlakem a objemem pracovní látky se nazývá entalpie. Entalpie nám tedy udává celkovou energii plynu.

Platí : i = u + p.v

di = du + d(p.v) = du + p.dv + v.dp

dosazením výrazu :  du = di - p.dv - v.dp

do první formulace 1. zákona termodynamiky obdržíme :

dq = di - p.dv - v.dp + p.dv = di - v.dp

měrná technická práce :   +da_t = -v.dp , a_t = - v.dp

Celková technická práce :  A_t = - V.dp

Technická práce

Nazývá se tak proto, že ji můžeme měřit na hřídeli u rotačních strojů (sníženou o účinnost převodů).

Změnu entalpie můžeme vyjádřit pomocí dvou na sobě nezávislých určovacích veličin stavu :

i = f(T,p)

Pro přívod tepla za stálého tlaku platí podle 1.zákona termodynamiky :

Změna entalpie je dána teplem přivedeným za stálého tlaku :

di = c_p .dT ; i₂ - i₁ = - c_p .dT

Druhou formulaci 1.zákona termomechaniky můžeme psát ve tvaru :