Rychlost světla v pohybujících se soustavách

1.1 Soustavy souřadnic

Pohyb ve fyzice musíme vždy posuzovat vzhledem k určité vztažné soustavě souřadnic. Tuto vztažnou soustavu považujeme za nehybnou a těleso, které se pohybuje vůči této soustavě nazýváme soustavou, pohybující se vůči této „nehybné“ soustavě rychlostí v. Protože však zatím nepodařilo určit absolutně nehybnou soustavu, musíme pohyb určovat jako relativní vůči nějaké „klidné“ soustavě.*

Inerciální (Inercie = latinsky setrvačnost) soustavou rozumíme takovou soustavu, která se pohybuje bez působení vnějších, ani soustavou produkovaných sil, tedy setrvačně, tj. rovnoměrně přímočaře.  V dalším textu budeme předpokládat, že je i mimo dosah silových polí. Pod pojmem soustava souřadnic budeme rozumět soubor tří prostorových souřadnic (x,y,z), určující polohu tělesa v prostoru, a časovou souřadnici (t), popisující časovou posloupnost popisovaných událostí. V našem textu vystačíme se známou soustavou kartézskou vytvořenou ze tří vzájemně kolmých os (x,y,z), kterou pevně spojíme s nějakým „nehybným“ tělesem. Do počátku O této soustavy umístíme hodiny pro odečítání času. Pro usnadnění můžeme tyto hodiny v libovolný okamžik vynulovat. Souřadnicemi částice (hmotného bodu) budeme rozumět soubor čtyř veličin x,y,z,t které nám budou plně popisovat polohu částice v prostoru a čase. Tuto pevnou a nehybnou soustavu nazveme S . Vytvořme si ještě jednu vztažnou soustavu S ´ s osami x´,y´,z´ a časem t´, (soustava S ´ má svoje vlastní nezávislé hodiny) pohybující se vůči soustavě S rovnoměrně a přímočaře ve směru osy x. Nechť osy x a x´ splývají, osy y a y´ jsou souhlasně rovnoběžné a v okamžiku splynutí i zbývajících os se vynulují hodiny v obou soustavách. Potom bude vzdálenost počátků obou soustav rovna součinu vzájemné relativní rychlosti v a času t uplynulého od vynulování hodin. Situace je znázorněna na obrázku 1.1.

1.2 Galileiův princip relativity

Podle tohoto principu jsou z hlediska Newtonových pohybových zákonů všechny inerciální soustavy

*) Víme z dějepisu, že kvůli určení absolutně klidné soustavy byly vedeny spory už ve středověku. Například Země byla považována nejenom za nehybnou, ale i za střed vesmíru. Kdo se toto pokusil vyvrátit, mohl počítat s relativně tvrdým trestem od absolutní moci.

rovnocenné. Galileo jinými slovy tvrdí, že zákony mechaniky jsou stejné ve všech inerciálních vztažných soustavách. A i pozdější experimenty s elektrickými, magnetickými a optickými jevy ukázaly, že ve všech inerciálních soustavách mají všechny fyzikální zákony tentýž tvar a že všechny fyzikální děje v nich probíhají stejně. Nelze je tedy od sebe odlišit pouhým měřením fyzikálních dějů v těchto soustavách.

Galileiova transformace

Obr. 1.1

Budeme zatím v souladu s Galileovým tvrzením předpokládat, že jak v relativně klidné soustavě, tak i v soustavě pohybující se relativní rychlostí v vůči ní, plyne čas stejně rychle. Pokud bude prostorové uspořádání soustav takové, jako jsme si uvedli v odstavci 1.1 a jaké je naznačeno i na obrázku 1.1*, můžeme hledaný převod souřadnic hmotného bodu m mezi inerciálními soustavami S(x,y,z,t) a S´(x´,y´,z´,t´), zapsat jako:

x´=x - vt, y´=y, z´=z, t´=t (1.1)

a obrácenou transformaci:

x=x´ + vt´, y=y´, z=z´, t=t´ (1.2)

Vidíme, že rovnice (1.1.) a (1.2.) se od sebe liší pouze záměnou čárkovaných a ______________

*) Obvykle se 3-rozměrná kartézská soustava kreslí osou z směrem nahoru a osa y do „hloubky“, aby se zachovala pravotočivost resp. pořadí x,y,z, při pohledu na tuto soustavu z pozice pozorovatele, který se nachází na vrcholu trojhranu, tvořeném kladnými osami x,y,z,. My v dalším textu většinou vystačíme se souřadnicemi x,y, a pro lepší představivost jsem si dovolil nakreslit osu y směrem nahoru, jako u dvourozměrného grafu.

nečárkovaných veličin a znaménkem u rychlosti v. Pokud čas plyne v obou soustavách stejně rychle, nemění se ani zrychlení a = a´ = dv/dt = d²r/dt² a tím pádem ani síla F = ma, která působí na urychlované těleso. Je zřejmé, že se nemění ani energie, potřebná k změně rychlosti hmotného tělesa. Z Galileovy transformace také vyplývá klasický zákon skládání rychlostí:

Označme v rychlost pohybující se soustavy a u´ rychlost hmotného bodu v této soustavě. Potom rychlost u vůči pevné soustavě bude vektorovým součtem těchto dvou rychlostí. Matematicky zapsáno:

u = v + u´ (1.3)

A inverzní transformace

u´ = u - v (1.4)

se opět liší pouze záměnou čárkovaných a nečárkovaných veličin a znaménkem před vektorem rychlosti v.

1.4 Lorentzova transformace

Maxwellova teorie elektromagnetického pole předpověděla existenci elektromagnetických vln šířících se vakuem rychlostí c. Rychlost světla se s touto rychlostí shodovala a to přivedlo Maxwella na myšlenku, že světlo je druhem elektromagnetického vlnění. Tato rychlost byla číselně určena roku 1885 W.Weberem a R.Kohlrauschem. Postupným zpřesňováním měření je dnes za rychlost světla brána konstanta c = 299 792 458 m/s s tolerancí menší než 1 m/s. Podle výše uvedené Galileiovy transformace by se měla rychlost světla vektorově sčítat s letícím tělesem. Ku příkladu záblesk světla vyslaný z rakety, která letí proti naší „stojící“ soustavě, by měl mít vlastní rychlost u sečtenou s rychlostí soustavy v. Pokusy prováděné v roce 1880-1881 americkým fyzikem

A. A. Michelsonem, které měly určit rychlost světla v pohybující se soustavě*, tuto představu nepotvrdily. O 6 let později je v přesnější podobě opakoval s W. Morleyem a ani tehdy se naměřená rychlost nezměnila. Naopak. Ukázalo se, že světlo se v prázdném prostoru šíří izotropně konstantní rychlostí c, která je nezávislá na rychlosti v pohybu jeho zdroje. S rychlostí v se skládá poněkud jinak, než popisují rovnice 1.3.-1.4., a to tak, že absolutní hodnota rychlosti světla c zůstává zachována ve všech inerciálních soustavách. Neměnnost absolutní hodnoty rychlosti světla ve vakuu je tak v rozporu s Galileiho transformací! Tento neočekávaný rozpor přiměl fyziky na přelomu 19. a 20. století k přehodnocení představ o prostoru a čase. Základem pro novou transformaci se stala právě neměnná (invariantní) absolutní hodnota rychlosti světla ve vakuu (c = c ) a

Einsteinův speciální princip relativity, který tvrdí:

*) Země má vůči Slunci rychlost přibližně 30 km/s.

Všechny inerciální vztažné soustavy jsou pro popis všech fyzikálních dějů rovnocenné. (Srovnej s Galieovým principem relativity.)

Spojení těchto dvou principů se někdy také nazývá Einsteinovým principem relativity.

Pokusme se nyní odvodit transformaci, která bude vyhovovat výše zmíněnému Einsteinovu principu. Budeme k tomu potřebovat dvě vzájemně se pohybující soustavy, například soustavy S a S , které jsme si popsali kapitole 1.1., s tím rozdílem, že pro souřadnice x´ a t´ , nalezneme nové převodní vztahy.

(Nové vztahy pro x a t budeme muset nalézt také, ale to až posléze.) Nechť tedy soustava S „stojí“ a soustava S ´ se pohybuje inerciálně vůči ní relativní rychlostí v. Vektor rychlosti v je rovnoběžný s osou x a jeho absolutní hodnota je tedy rovna x-ové složce tohoto vektoru. ( v = v = v_x ). Situaci zachycuje obrázek 1.2.

Obr. 1.2

Vidíme, že obr. 1.2. se liší od obr. 1.1. pouze tím, že souřadnice x´ a t´ jsou neznámé hledané veličiny. Předpokládáme tedy, že souřadnice y a y´ hmotného bodu m jsou v tomto případě stejné v obou soustavách, stejně jako souřadnice z a z´. Stejně tak nepochybujeme o vzdálenosti vt. Vzdáleností x je míněna vzdálenost, ve které „vidíme“, hmotný bod m. Tím „vidíme“ mám na mysli x-ovou souřadnici, kterou libovolným způsobem naměříme. Například soustava obsahující bod m a  počátek O´ může prolétat kolem pevného měřítka stojícího v soustavě Σ. Ve zvolený okamžik, současný v soustavě Σ´ , odečteme vzdálenost O´m . Zdůrazňuji, že okamžik t musí být pro klidovou soustavu S současný Technickou stránku této záležitosti ale ponechme stranou a podívejme se, co se bude dít, když se světlo bude šířit v obou soustavách stejně rychle. Udělejme za tímto účelem malý pokus. V klidové soustavě S , která je na na obrázku 1.3., znázorněna obdélníkem a má stejné vlastnosti jako soustava S z obr. 1.2., se nachází zdroj světelného záření Z. Pro naši představu nejlépe poslouží zářič emitující daným směrem krátké záblesky monochromatického světla, např. červený laser.

Obr. 1.3

Nechť je tento zářič namířen kolmo k ose x a rovnoběžně s osou y. V soustavě S , na obrázku znázorněné (s trochou fantazie) jako raketa, je zářič Z´stejných vlastností a stejně orientován jako zářič v soustavě S . V pevné soustavě S urazí světlo rychlostí c určitou vzdálenost napříč obdélníkem za dobu t. Stručně: y = ct . V letící soustavě S také došlo k záblesku ve směru osy y´ , kolmé k ose x´. Zdroj Z´ měl však při emisi fotonů rychlost v , která se projevila ve směru světla emitovaného vůči soustavě S .Vektor rychlosti světla c, pozorovaný ze soustavy S , bude mít v tomto případě zkrátka x-ovou složku rovnou v. Předpokládáme-li neměnnou velikost rychlosti světla, a tedy c stejnou ve všech inerciálních vztažných soustavách, můžeme podle Pythagorovy věty stanovit y-ovou složku vektoru c:

A poměr složky c_y k absolutní hodnotě c ,

  (1.5)

Rovnice 1.5. tedy vyjadřuje, že c_y je krát menší než c .

Složka c_y má však v soustavě Σ´ hodnotu c . To znamená, že c_y je v

krát větší, než to „vidíme“ ze soustavy klidové Σ .

(1.6)

Koeficient nazýváme γ (gama) a jeho hodnota se pohybuje v intervalu: . Za předpokladu, že y = y´, y/c _y= t, z rovnice 1.6. dále plyne:

(1.7)

Došli jsme tak k důležitému poznatku, že čas v soustavě plyne 1/ krát pomaleji než v soustavě . Ale to není všechno. Neboť když rovnici 1.7. upravíme následujícím způsobem, (x = vt)

(1.8)

získáme hodnotu t´ v závislosti na x. Skoro to vypadá, jako by čas šel v různých místech pohybující se soustavy různě rychle. Ale jestli je tomu skutečně tak, nemůžeme zatím rozhodnout. Vrátíme se k tomu v dalším textu.

Nyní se podívejme na veličinu x´ . Pootočíme za tímto účelem zářiče o 90s doprava tak, aby „svítily“ ve směru pohybu soustavy Σ´. V okamžiku splynutí obou počátků vynulujeme opět hodiny a vyšleme záblesk. Není podstatné z kterého zářiče, fotony poletí stejně rychle v obou soustavách, rozdíl bude pouze v přijímaných frekvencích, jak uvidíme později. V počátku Σ´ bude za dobu t,

(1.9)

ve shodě s rovnicí 1.7.. V bodě x však bude:

(1.10)

Pozastavme se na okamžik nad tímto výsledkem. Porovnáme-li konstanty,

(1.11)

z rovnic 1.9. a 1.10. vidíme, že výsledná konstanta je 1, a tudíž že

. (1.12)

(Rovny jsou si pouze v případě, že v = 0.) Z 1.9., 1.10. a 1.12., je vidět, že pokud v počátku uplynulo méně času než v soustavě Σ, tak v bodě x ještě méně ( x je kladné ). Jde tam čas ještě pomaleji nebo se někdo opozdil při nulování hodin? Uvidíme. Ale vraťme se k rovnici 1.10. K zjištění souřadnice x´ využijeme rovnosti x´=c´t´. Čas t´ již známe. Je to pravá strana rovnice 1.10. Zbývá tedy určit rychlost světla v Σ´, ale o té víme, ( máme změřeno experimentálně, ) že se rovná c. Výsledek je tedy zřejmý.

(1.13)

Shrňme tedy výsledek naší úvahy:

, y´=y, z´=z, , (1.14)

Rovnice (1.14.) se nazývají Lorentzova transformace, podle jejich autora, holandského fyzika Hendrika Antoona Lorentze (1853-1928). Vypočteme-li z 1.14. nečárkované veličiny, dostaneme inverzní transformaci

, y=y´, z=z´, . (1.15)

Vidíme, že 1.15. se od 1.14 liší pouze záměnou čárkovaných a nečárkovaných veličin x x´, t t´a opačným znaménkem rychlosti v.

Zavedeme-li polohové vektory r(x, y, z), r´(x´, y´, z´) vyjadřující polohu libovolného bodu v příslušné soustavě ( např. polohový vektor r je definován jako průvodič počátku O a bodu m, orientovaný do bodu m ), můžeme Lorentzovu transformaci (1.14.) zapsat ve vektorovém tvaru

, , (1.16)

kde v = (v, 0, 0). Inverzní transformaci dostaneme opět záměnou čárkovaných a nečárkovaných veličin, přičemž položíme v´ = - v. Vektorový tvar transformace (1.16.) zůstane zachován i v obecnějším případě, kdy se dvě soustavy a Σ´ se vzájemně rovnoběžnými stejnojmennými osami pohybují vůči sobě libovolně orientovanou rychlostí v . Potom ovšem bude v = (v_x, v_y, v_z), v´ = - v = (-v_x, -v_y, -v_z).

Kontrakce délek

Mějme dvě události v soustavě z nichž jedna probíhá v okamžiku t₁ v bodě daném souřadnicemi x₁, y₁, z₁ a druhá v okamžiku t₂ v bodě daném souřadnicemi x₂, y₂, z₂. Označme prostorové a časové vzdálenosti těchto událostí jako Δx=x₂ - x₁, Δy=y₂ - y₁, Δz=z₂ - z₁, Δt=t₂ - t₁. Přejdeme-li nyní k soustavě , najdeme z Lorentzovy transformace

Δx´= γ(Δx - vΔt), Δy´ = Δy, Δz´ = Δz, . (1.17)

Pro prostorovou vzdálenost dostaneme s použitím (1.16.)

Δl´= [(Δx´)² + (Δy´)² + (Δz´)²]^1/2 =

=[(Δl)² + (Δx)² (γ² - 1) – 2vγ²ΔxΔt + γ²v²(Δt)²]^1/2. (1.18)

Ze vztahů (1.17) a (1.18) je zřejmé, že bude-li časový interval Δt = 0, tj. uvažované události budou probíhat v soustavě Σ současně, bude interval Δt´ obecně různý od nuly v závislosti na prostorové vzdálenosti Δx. Podobně, bude-li například Δl = 0, a tedy obě události proběhnou v soustavě Σ v témže bodě, nemusí tomu tak být v soustavě Σ´, neboť obecně Δl´ ≠ 0. Tuto okolnost musíme mít na paměti, porovnáváme-li například výsledky dvou měření prováděných v různých okamžicích nebo na různých místech.

Uvažujme nyní těleso konečného objemu a spojme soustavu Σ´ s tímto tělesem. Budeme srovnávat podélný rozměr tělesa v obou soustavách: l = x₂ - x₁, a l₀ = l´ = x´₂ – x´₁. (Indexem ₀ označujeme takzvanou klidovou nebo vlastní hodnotu veličiny, tj. hodnotu, kterou má veličina v soustavě Σ´ .) Budeme-li měřit pohybující se těleso, musíme to zařídit tak, abychom jeho délku l = x₂ - x₁ odečetli v soustavě Σ současně, tedy Δt = 0. Z (1.17) pak plyne Δx´= γΔx.

(1.19)

Vlastní klidová délka tělesa je tedy γ krát delší, než naměříme v soustavě Σ. Podélný rozměr (měřen ve směru pohybu) pohybujícího se tělesa, je tedy v soustavě Σ 1/γ krát kratší něž jeho vlastní délka.

(1.20)

Skládání rychlostí

Z Lorentzovy transformace plynou nové vztahy pro skládání rychlostí hmotných bodů. Vzhledem k tomu, že rychlost částice v soustavě Σ a Σ´ můžeme vyjádřit jako

a , (1.21)

dostaneme postupně z (1.16):

, , (1.22)

. (1.23)

Totéž ve složkách:

, , . (1.24)

Inverze se opět liší znaménkem u rychlosti v a záměnou čárkovaných a nečárkovaných veličin.

, , . (1.25)

Na rozdíl od rovnic (1.3) a (1.4) jsou zde vzaty v úvahu i časoprostorové posuny.

Transformace zrychlení

Nechť se soustava Σ´ pohybuje inerciálně v kladném směru osy x.

Nejprve si zjednodušme vztah (1.22) na

. (1.26)

To si můžeme dovolit, neboť v_x = v, v_y = 0, v_z

Dále definujme složky zrychlení jako

, , (1.27)

, , . (1.28)

Derivací rovnic (1.24) podle t´ za použití vztahu (1.26) dostáváme postupně

.

Stejným způsobem odvodíme i vztah pro složku a_y

a odvození složky a´_z je zcela analogické. Dospěli jsme tedy k následujícím transformačním vzorcům pro zrychlení:

(1.29)

(1.30)

. (1.31)

Inverzní vztahy se získají opět známým způsobem, t.j. záměnou čárkovaných a nečárkovaných veličin a změnou znaménka u rychlosti v.

(1.32)

(1.33)

. (1.34)

Je-li nějaký bod vůči pohybující se soustavě v klidu, a tedy u´= 0 a u = (v,0,0), pak zrychlení a´ ≡ a nazýváme klidovým nebo vlastním zrychlením. Z rovnic (1.32.-1.34.), nebo (1.29.-1.31.) plyne

(1.35)

(1.36)

(1.37)

1.8 Aberace a Dopplerův efekt

Otázkou stále zůstává, jak se projeví dopad nebo průchod světla vzniklého v „klidové“ soustavě Σ soustavou Σ´, kterou považujeme za pohybující se. Když jsme na počátku našich úvah odvozovali Lorentzovu transformaci, nechali jsme světlo vyzařovat v pohybující se soustavě Σ´ a z poměrů složek rychlosti c jsme odvodili zpomalení času v „letící“ soustavě, jakož i zkracování jejích podélných rozměrů. (viz. kapitola 1.4.) Nyní nechme dopadat světlo (lépe jeho kvanta - fotony) kolmo na myšlený letící objekt. Pro názornost použijme opět raketu, která bude reprezentovat soustavu Σ´. Počátek O´ soustavy Σ´ umístíme do pravého spodního rohu rakety pohybující se rychlostí v=(v,0,0). Nastavíme pokus tak, aby se počátky obou soustav v jednom okamžiku překrývaly a přesně v tento okamžik foton, vzniklý v zářiči Z v soustavě Σ a pohybující se po ose y, dopadne do obou počátků. Tento okamžik označíme t a oboje hodiny, které se nalézají v obou počátcích, vynulujeme. Souřadnice x₀ letícího fotonu v čase t₀ je 0, stejně jako x₁ v čase t₁. Situace je zachycena v levé části obrázku 1.4.

Obr. 1.4

Čas, kdy foton prolétne raketou (vzdálenost y), označíme jako t₁ (pravá část obrázku). Za dobu ( t₁ - t₀ ), se počátek rakety posune o vzdálenost x = vt. Změříme nejprve pomocí Lorentzovy transformace podélnou rychlost c_x´.

(1.38)

Víme z předchozího výkladu, že světlo v soustavě Σ bude mít rychlost c. Dále víme, že čas je v „letící“ soustavě Σ´ zpomalen poměrem 1/γ a tudíž by měla být rychlost světla v letící soustavě

,

což je nesmysl. Podívejme se pořádně na čas, kdy foton opustil raketu. Jedná se o čas t₁´ který je větší, než t₁ ! Takže správný vzorec vypadá následovně:

. (1.39)

Vidíme, že se absolutní hodnota rychlosti světla nezměnila ani v tomto případě. Foton pouze získal zápornou hodnotu podélné rychlosti (-v) na úkor rychlosti příčné, přesně tak, aby absolutní hodnota zůstala c. V pohybujícím se systému je tedy zdroj Z vidět pod úhlem α´, pro jehož cosinus získáme postupně: ( v´ = v, c´ = c )

(1.40)

(1.41)

(1.42)

Musím ovšem upozornit, že výše odvozený vzorec platí pouze v tomto velmi speciálním případě. Pokud bychom chtěli získat vzorec obecnější, použili bychom tento postup:

Zavedeme jednotkový vektor e (absolutní hodnota je rovna 1, složky v intervalu  < 0 ; 1 > a směr libovolný) a rychlost světla v soustavách Σ a Σ´ vyjádříme jako

u = ce (1.43)

u´ = c´e´ = ce´ (1.43a.)

Výrazy převedeme do složek a dosadíme do (1.24) za rychlosti:

, , . (1.44)

, , . (1.45)

pro cos(α) použijeme známého vztahu . A proto

. (1.46)

Zkusíme ještě ověřit vztah (1.42.) za použití (1.45.). e_x e_z e_y

. (1.47)

Tento jev se nazývá aberace nebo také aberace stálic, neboť stálice jsou hvězdy tak daleké, že jejich rychlost je ze Země neměřitelná. Vlivem konečné rychlosti světla a rychlosti Země vůči Slunci se tyto daleké hvězdy zdánlivě pohybují a opisují elipsy kolem místa, kde by se měly podle výpočtu polohy nacházet během roku. Maximální posunutí polohy hvězdy, které odpovídá velké poloose uvedené elipsy, je o něco větší než 20 obloukových vteřin. Aberační zdánlivý pohyb hvězdy ležící v pólu ekliptiky přechází v pohyb kruhový. Pokud leží v rovině ekliptiky, opisuje úsečku. Tento jev objevil a publikoval již v roce 1729 James Bradley. V této době ji ovšem nemohl popsat rovnicemi typu (1.45.), ale fakt, že tehdejšími přístroji tak nepatrné odchylky zjistil, svědčí o vynikající přesnosti tehdejších pozorování.

Další otázkou je, jaká bude vlnová délka nebo frekvence světelného záření vzniklého v klidové soustavě Σ a dopadajícího do pohybující se soustavy Σ´. Nechme raketu opět pohybovat se ve směru osy x a zdroj záření nechme na této ose. Je zřejmé, že pokud světlo dopadá na raketu zezadu, bude jeho frekvence f ´ v raketě zmenšená v poměru

(1.48)

a pokud zepředu, frekvence bude vyšší

(1.49)

Tyto vzorce můžeme přepsat do vektorového tvaru

(1.50)

Kde n je jednotkový směrový vektor záření. Výše uvedené vzorce pro Dopplerův efekt platí ovšem jen při malých rychlostech, při kterých se téměř nezpomaluje plynutí času v soustavě Σ´. Pokud se raketa pohybuje rychlostí blížící se rychlosti světla, musíme již přihlédnout ke zpomalování času v soustavě Σ´. Pokud si zatím světlo představíme jako sinusovku, perioda T´=1/f´ se musí ještě zkrátit faktorem 1/γ. Přesný vzorec pro Dopplerův efekt má tedy následující tvar:

. (1.51)

Poznámka:

Dopplerův efekt můžeme pozorovat běžně, například při projíždění motocyklu okolo (většinou nedobrovolného pozorovatele), kdy nejprve slyšíme vyšší tón a po projetí frekvence tónu klesne. Úctyhodný motorkář si ovšem užívá tónu stále stejného, pokud ovšem nemění otáčky motoru. Dopplerovu efektu se také přičítá takzvaný rudý posuv, vzdálených vesmírných objektů, z čehož se usuzuje, že se vesmír rozpíná.

1.9 Zpomalování času v zrychlující soustavě

Zatím jsme probrali, co se děje s časem a rozměry těles v inerciálních soustavách. Pokusme se nyní zobecnit tyto děje pro neinerciální soustavy. Uvažujme rychlost v nyní jako funkci času v(t).

Vyjděme z rovnice

(1.52)

Je zřejmé, že pouze hmotný bod bude mít toto zrychlení, a ještě ke všemu po nekonečně krátkou dobu dt, neboť po uplynutí této doby už nabere určitou rychlost i vůči soustavě Σ´. Nenecháme se však touto vlastností vyděsit, ale naopak ji využijeme. Po uplynutí doby dt spojíme s  hmotným bodem jinou inerciální soustavu, která již bude mít onu zvětšenou rychlost, a tímto způsobem budeme sčítat jednotlivé přírůstky rychlosti po intervalech dt.

Poznámka:

Využíváme toho, že po nekonečně krátkou dobu dt, můžeme každou soustavu považovat za inerciální.

Rovnici (1.35.) upravíme

(1.53)

Řešením diferenciální rovnice

, (1.54)

získáme vztah: , kde C1 je libovolná konstanta (čas počátku urychlování). Čas začneme měřit současně se započetím urychlování; dosadíme tedy za C1 = 0 a vypočteme:

. (1.55)

Dosazením (1.55.) do výrazu pro koeficient γ získáme tento koeficient závislý na době urychlování:

.

(1.56)

Podobným způsobem i podle vztahu (1.7):

(1.57)

a pro celkový časový interval

(1.58)

. (1.59)

Vzdálenost Δx, do které se hmotný bod dostane za tento časový interval, vypočteme jako integrál z (1.55)

= (1.60)

Konstantu C1 určíme tak, aby při t = 0 byla funkce (1.60.) také nulová. Konstanta C1 bude tedy

(1.61)

a vzdálenost x, do které se hmotný bod za dobu t dostane, vychází:

. (1.62)

Pozn. Kdo výše uvedený vztah nechce nebo neumí integrovat, může využít stránky www.integrals.wolfram.com, Pravidla pro zadávání jsou na těchto stránkách popsána, pro náš případ bude proměnnou veličina x místo t.