Chod času v okolí hmotných těles - Rychlost světla v gravitačním poli

Chod času v okolí hmotných těles

1 Rychlost světla v gravitačním poli

V této kapitole se pro jednoduchost omezíme na soustavu, která je v klidu vůči éteru. Zatím vše, co jsme odvodili, platí pro éter nedotčený žádnými silovými poli nebo nehomogenitami samotného éteru. Protože však nemůžeme zajistit prostor bez gravitace, vystačíme s představou mezigalaktického prostoru. Jak se bude světlo chovat v blízkosti gravitujícího a tudíž i hmotného tělesa? Odpověď je v podstatě jednoduchá. Bude se chovat stejně jako jakékoli jiné hmotné těleso letící kolem určitou rychlostí. Jako takové je totiž urychlováno zrychlením, které se podle Newtona rovná

, → . (1)

Kde m_f = hmotnost fotonu,

m_g = hmotnost gravitujícího tělesa,

r = vzdálenost jejich hmotných středů

κ = gravitační konstanta, jejíž hodnota je

To, že je foton prostorově ohraničený objekt elektromagnetické povahy, pohybující se rychlostí světla, mající hybnost a splňující Maxwellovy rovnice, si ukážeme později. Zatím postačí, že má díky hybnosti i hmotnost. Nyní si představme v prázdném prostoru velmi hmotné těleso kulovitého tvaru, jak už to ve vesmíru chodí. Dále pro jednoduchost předpokládejme, že je v klidu vůči éteru. Toto těleso, říkejme mu třeba Slunce, můžeme podle Gaussova zákona nahradit hmotným bodem o úhrnné hmotnosti celého tělesa, který bude umístěn v jeho středu.

Nyní si představme, co se stane, proletí-li v blízkosti našeho hmotného „Slunce“ nějaký foton. Jeho dráha se zakřiví, a také jeho rychlost, bude po dobu jeho pobytu v gravitačním poli vůči éteru vyšší, než c v „čistém“ éteru, mimo gravitační pole.

Obr. 1

Nejlépe jeho rychlost určíme, nasměrujeme-li kvantum záření přímo do středu našeho pokusného Slunce. Protože akcelerace hmotné „částice“ , v našem případě fotonu, vyvolaná gravitační přitažlivostí jiného tělesa, nezávisí na hmotnosti fotonu (viz (1)), situace se zjednodušuje.

Rychlost fotonu v potom určíme jako proměnnou, závislou na vzdálenosti r od hmotného středu našeho „Slunce“ následujícím způsobem:

Práce vynaložená na urychlení fotonu bude podle (2.5.):

(2.5)

Podle Planckovy teorie platí pro energii fotonů

(2)

a současně dle Einsteina

. (3)

Sjednocením těchto formulí získáváme

(4)

a odtud hmotnost fotonu

. (5)

Frekvenci f ( většinou se značí řeckým ν (ný)) můžeme vyjádřit

(6)

a hmotnost tedy

. (7)

Pro hybnost nám potom vychází

. (8)

Ptáte se, co mě opravňuje považovat hmotnost fotonu ve vzorci (2.5.) za konstantní?

1) Foton není částice s klidovou hmotností, která by s rychlostí rostla.

2) Takže, i když z éteru pozorovaná rychlost bude vyšší, vlnová délka se musí ve stejném poměru zkrátit a dle (7) zůstane hmotnost m stejná. Kdyby tomu tak nebylo, hybnost p by vůbec nemohla s rychlostí růst.

Dále:

Potenciální energii mezi dvěma tělesy, které na sebe působí gravitací, získáme:

(9)

I zde zůstane hmotnost fotonu m_f po celou délku r konstantní.

Dosadíme c za v do (2.5.) a položíme celkový rozdíl energie vůči éteru rovný 0.

(10)

(11)

(12)

Z toho plyne, že rychlost světla ( c_g ≡ v v gravitačním poli, pozorované z oblasti mimo toto pole, pak bude

. (13)

r = ∞

Obr 2

Podílem c_g s rychlostí c, obdržíme následující:

(14)

. (15)

Rychlost c_g má ovšem pro pozorovatele ve vzdálenosti r od hmotného tělesa hodnotu c. To ale znamená, že c´´ ( pro veličiny v gravitačním poli používám dvojité čárkování ) je v tomto místě pro tohoto pozorovatele krát menší než to „vidíme“ ze soustavy mimo gravitační pole. (teoreticky)

(16)

Pro koeficient vybereme nějaké řecké písmeno, např. β.

Může nabývat hodnot: ).

Vzhledem k tomu, že používáme klasický pravoúhlý prostor, dále platí:

(17)

(17a)

(18)

Řečeno slovy: Pokud pozorovatel v nějakém krátkém úseku gravitačního pole naměří pouze rychlost c, jako že naměří, pak to znamená při zachování klasického prostoru, že v tomto poli jde čas rychleji než mimo něj.

Požadujme nyní, aby zpomalený vlastní čas hmotného tělesa pohybujícím se v gravitačním poli byl kompenzován zrychleným časem .

(19)

Vypočteme-li nyní z (19) rychlost v, zjistíme že se rovná:

(20)

Rychlost v  nazveme rychlostí únikovou. Pro vzdálenosti, ve kterých se pohybují planety sluneční soustavy, můžeme v nahradit s dostatečnou přesností (na cm/s) parabolickou neboli druhou kosmickou rychlostí v_0p .

(21)

( Tvar paraboly získává trajektorie v klasické mechanice při vystřelení tělesa kolmo k vektoru přitažlivé síly. Největší rozdíl  mezi rychlostmi v_o a v_0p je ovšem v periheliu Merkura. )

Ukažme si ještě klasické odvození v_0p

Stačí opět položit energii tělesa rovnou nule:

(22)

(23)

(24)

A odtud plyne (21.).

Předpoklad nulového součtu kinetické a potenciální energie vůči éteru platí zřejmě i pro rychlost (20).

2 Gravitační rudý posuv

Zkusme podrobněji prozkoumat, co provede gravitace s vlnovými délkami a frekvencemi světla.

Zvažme čtyři případy záření.

Záření vzniklé v místech s nízkou nebo teoreticky nulovou intenzitou gravitačního pole, je v těchto místech i pozorováno. Případ je triviální:

Záření vzniklé v místech s vysokou intenzitou gravitačního pole, je v těchto místech i pozorováno. Frekvence přechodů elektronů v atomech je v těchto místech vůči prostoru s nulovou gravitací 1/β krát vyšší, ale díky zrychlenému chodu času je vnímána stejně jako třeba v mezigalaktickém prostoru. Rychlost světla tam má také ze stejného důvodu hodnotu c. Vlnová délka je , tedy stejná.

Záření které vzniklo v místech s nízkou gravitací, dopadá do prostoru s větší gravitací. V předcházejícím odstavci jsme mluvili o faktorech, kterými se zvyšuje rychlost záření dopadajícího na povrch velmi hmotného tělesa. Teď, když už ony faktory známe, můžeme s jejich využitím upřesnit vztahy (7) – (8).  (7a) (8a) Protože rychlost světla je díky zrychlenému chodu času v prostoru s větší gravitací stejná, jako v prostoru s gravitací menší a vlnová délka se díky absolutnímu pojetí prostoru zkrátí stejně v obou prostorech, jeví se záření pozorovatelům v silnějším gravitačním poli jako > f. Tomuto zvýšení frekvence a zkrácení vlnové délky říkáme modrý posuv. Je pro nás ovšem nepozorovatelný, protože světlo které k nám z vesmíru dopadá, pochází obecně z hmotnějších zdrojů než je naše Země.

Ukažme si nyní, jak se projeví záření vzniklé v prostoru silného gravitačního pole, dopadající do míst, s nižší intenzitou tohoto pole. V ideálním případě do prostoru bez gravitace, což ale nelze zajistit, proto se spokojíme s představou prostoru mezigalaktického. V předchozím textu jsme odvodili zrychlený chod času v gravitačním poli, vůči prostoru bez gravitace. Je zřejmé, že atomy na povrchu nějaké velmi hmotné hvězdy, emitující fotony o charakteristickém kmitočtu, (vlnové délce), budou kmitat rychleji než v prostoru s nižší intenzitou gravitačního pole a frekvence přijímaného signálu bude tudíž větší? Kdepak. Víme přece, že světlo se v těchto místech pohybuje rychlostí, která je ve stejném poměru také zvětšená, takže s vlnovou délkou to ani nehne. Ale jen do té doby, pokud se foton nezbrzdí a neztratí něco ze své energie.

> f (25)

> c (26)

(27)

λ_g je vlnovou délkou v místech, kde se foton zrodil a je i tamními pozorovateli registrována bez posuvu. Ovšem čím dále se vzdaluje od místa svého vzniku, do prostoru s menší gravitací (v extrémním případě mimo gravitaci tj. mimo vesmír kde ), vlnová délka se zvětšuje, neboť rychlost světla zpomaluje a blíží se k c :

< f (28)

Vlnová délka je tedy v místech, kde se gravitace blíží k 0

> λ_g (29)

Tomuto prodloužení vlnové délky říkáme gravitační rudý posuv, neboť se projevuje posunem charakteristických spektrálních čar prvků, směrem k červenému okraji spektra.

Odpovídající úbytek energie je

(30)

(31)

E_g ´´ je energie, kterou měl foton v gravitačním poli (v místě vzniku).

Jak budou vypadat mechanické děje, probíhající v silném gravitačním poli, pozorované v prostoru s nižší intenzitou? Například ze Země sledovaná rotace nějaké velmi hmotné galaxie? Je zřejmé, že tyto děje budou pozorovány jako rychlejší, protože skutečně rychleji probíhají a rudý posuv se vztahuje pouze na elektromagnetické záření.

3 Schwarzchildův poloměr

Člen

(32)

v (20.) vyjádříme ve fyzikálních jednotkách:

…………….N.m .kg^-2 = (m.kg.s^-2).m .kg^-2 = m .kg^-1.s^-2

m_g…………kg

c ……………m².s^-2

κm_g c m .kg^-1.s^-2. kg. m^-2.s² = m (33)

Člen (32) vychází tedy v metrech, stejně jako poloměr r . Je to takzvaný kritický poloměr r_g, který je nutno přičíst k r a při kterém je úniková rychlost rovna c. (Stačí položit v (18) r = 0.)

Obr 3

Tento se v literatuře objevuje pod názvem Schwarzchildův poloměr. Byl ovšem odvozen úplně jinou cestou a úplně jiných základech. Za předpokladu, že je rychlost světla c hmotnými objekty nedosažitelná, představoval by tento poloměr kritickou hranici, z pod které by neměl žádný hmotný objekt ( nakonec ani záření ) uniknout. Tento předpoklad dal vzniknout pojmu „černá díra“, ze které není návratu.

Náš způsob výkladu ovšem připouští větší rychlosti světla vůči éteru, a to v gravitačním poli. Takže objekty v této oblasti sice nemohou rychlosti c dosáhnout, ale „té jejich“, která je z pohledu éteru tím vyšší, čím je r menší. A tak jak hmotné objekty, pokud na to mají dost energie, tak i světlo vzniklé v oblasti gravitačního pole libovolné intenzity, může tuto oblast opustit, i když se cestou zbrzdí a ve vzdálenosti bude mít hodnotu opět c. Otázkou je, co by při elektronech, natlačených silnou gravitací k jádrům atomů, vlastně zářilo. Zřejmě jen spojující se jádra a tyto objekty by měly být „vidět“ jen jako zdroje γ záření. Navíc by tato viditelnost byla časově omezena, zřejmě jen na pouhý záblesk. Ovšem značné intenzity.

To, že čas plyne v oblastech silného gravitačního pole rychleji než v éteru nebo v poli s nižší intenzitou, se projevuje mimochodem také tím, že některé sledované galaxie rotují 2x rychleji, než by podle zářivého výkonu, ze kterého se odhaduje hmotnost, měly rotovat.. To je přisuzováno jakési „temné hmotě“, která se hledá. Podle mého téměř laického názoru nemáme co dělat s temnou hmotou, ale s temnou myšlenkou. S temnou myšlenkou, která relativizuje absolutno.

Seznam použité literatury:

[1] Bedřich Sedlák, Ivan Štoll: Elektřina a magnetismus, Academia Praha vydavatelství Karolinum 1993.

[2] Ivan Štoll: Mechanika, Vydavatelství ČVUT 1995.

[3] Václav Votruba: Základy speciální teorie relativity, Academia 1969.

[4] Josef Jelen: Fyzika II, Vydavatelství ČVUT 2000.

[5] Jiří Čeleda, Josef Kuba: Cesta do nitra hmoty, SNTL 1981.

[6] Martin Šolc: Fyzika hvězd a vesmíru, SPN 1983.

[7] Erika Mechlerová, Karel Košťál: Výkladový slovník fyziky pro základní vysokoškolský kurz fyziky, Prometheus 1999.