Éter - Zastaralá hypotéza?

Éter

1 – Zastaralá hypotéza?

Vraťme se nejprve k první rovnici (1.15.).

, y=y´, z=z´, . (1.15)

Na první pohled by se inverzní transformace mohla zdát podezřelá; vždyť úsek Δx´ je podle (1.19.) Δx, tak proč jej tedy ještě „natahovat“ koeficientem γ ? U času t´ by to bylo pochopitelné, neboť pokud by se jednalo o těleso zanedbatelné délky ve směru x nebo o hmotný bod, vyšlo by:

.

Ale co když se jedná o těleso konečné délky? Potom to musíme zařídit tak, aby časový rozdíl na hodinách mezi počátkem O´ a bodem x´ byl nulový. Pokud bychom porovnávali měřítka současně z hlediska pozorovatelů v soustavě Σ, dostali bychom

,

což je ve shodě s rovnicí (1.19.). My však chceme dokázat (1.15).

Podívejme se nejprve na horní část obrázku 1.

Obr. 1.

Je na něm zachycena situace, kdy se míjejí dvě inerciální soustavy, z nichž ta spodní „stojí“.

Hodiny v přední části soustavy Σ´ ukazují zpoždění vůči počátku O´ , které má podle (1.14.) hodnotu ( pro t = 0 )

. (1)

Hodiny v zadní části,naopak ukazují předstih ( x má záporné znaménko )

. (2)

Poznámka: Tyto předstihy a opoždění v soustavě Σ´ jsou nutné k tomu, aby rychlost světla měla stejnou velikost ve všech inerciálních soustavách, tj. aby rychlost c byla invariantní vůči Lorentzově transformaci. Nevznikají však samovolně, ale jsou nastaveny synchronizací pomocí samotného světla, ještě před tím, než soustava dorazí k místu, kde se porovnávají časy a vzdálenosti. Tuto synchronizaci si později ukážeme.

Pro další výklad si upravíme rovnici (1.9.) pro čas v bodě x:

(3)

Interval Δt je měřen od nuly, a je tedy roven t. Vzdálenost Δx si ovšem nesmíme plést s x ; je to zřejmé z obrázku 1.

Abychom dosáhli , musíme soustavu Σ´ nechat popojet kousek doprava, neboli počkat, až hodiny v přední části dosáhnou nuly. V druhé polovině obrázku je zachycen okamžik, kdy přední hodiny procházejí nulou

. (3a)

Z čehož vypočteme, že to „popojetí kousek doprava“ bude v soustavě Σ trvat:

(4)

a ten kousek bude v soustavě Σ mít délku:

. (5)

. (6)

Vezmeme-li v úvahu (1.19.)

, (7)

dostaneme:

, (8)

což je ve shodě s první rovnicí (1.15.) pro .

Porovnejme dále vztahy (1.14.) a (1.15.). Když do rovnice

(1.14)

dosadíme za x = vt , dostaneme vztah

. (1.9)

Zároveň však, když dosadíme do rovnice

(1.15)

za x´ = -vt´ , vyjde

, (9)

což je v rozporu s (1.9.)! Kde tedy plyne čas pomaleji? Pozorovatel v soustavěΣ tvrdí, že čas plyne pomaleji v soustavě Σ´,  a pozorovatel v soustavě Σ´ je přesvědčen, že je tomu naopak. Existuje způsob, jak toto dilema rozhodnout ?

Když Albert Einstein předložil v roce 1905 veřejnosti svou speciáloní teorii relativity, vyřešil v ní tento problém následujícím způsobem: Kromě toho, že 12 let po Lorentzovi nezávisle sám odvodil transformace (1.14.) a (1.15.), došel i (stejně jako Lorentz ) ke vzorci pro vzrůst hmotnosti za pohybu (2.21.). Dále odvodil vztah (2.49.), který zůstane zřejmě navždy spjat s jeho jménem. Taktéž relativistické skládání rychlostí (1.24.), (1.25.) je jeho dílem. Vyslovil však také názor, že všechny soustavy jsou rovnocenné, a tím pádem odpadá potřeba éteru jako prostřed,í ve kterém se šíří elektromagnetické vlnění. Teorie relativity tvrdí, že zpomalování chodu času je vzájemné – relativní a neexistuje žádná privilegovaná soustava, žádný éter. Doslova se v této teorii vychází z názoru, že si můžeme vybrat libovolnou inerciální soustavu jako tu klidovou a ve všech ostatních, které jsou vůči ní v rovnoměrném přímočarém pohybu, čas plyne pomaleji. Znamená to, že pokud zvolíme jako klidovou soustavu Σ, pak v soustavě Σ´ , která je vůči ní v pohybu, plyne čas pomaleji (než v Σ ) . A zároveň, pokud zvolíme jako klidovou Σ´ pak v Σ , která je vůči ní v pohybu, plyne čas také pomaleji (než v Σ´)…!

Sám Einstein měl prý prohlásit, že pokud se neprohřešíme proti takzvanému „zdravému rozumu“, nelze naprosto ničeho dosáhnout. Tento názor nebylo lehké prosadit, ale nakonec se tak po dlouhých diskuzích stalo. Pro jistotu však nebyla autorovi udělena Nobelova cena za tento objev, nýbrž za objasnění fotoelektrického jevu. Teorie relativity se tak stala základním kamenem fyziky dvacátého století; veškeré (dostupné) experimentální zkušenosti to potvrzují.

Pozorní čtenáři si zajisté všimli, že jsme se na několika místech dopustili přehlédnutí, jakýchsi nesrovnalostí, které jsou opravdu jaksi „proti zdravému rozumu“. Tak například, pokud vypočteme ze vzorců

(1.35)

(1.36)

(1.37)

čárkované veličiny, dostaneme vzorce

(10)

(11)

. (12)

Ale běda! Pokud provedeme urychlovací pokus v „klidové“ soustavě Σ a pozorovat ho budeme z Σ´, zjistíme ze vzorců (1.29) – (1.31):

(13)

(14)

(15)

Připomínám, že index označuje, že hmotný bod byl před započetím urychlování v dané soustavě v klidu (u=0 nebo u´=0). To tedy znamená, že hmotnost m´ se projeví v „letící“ soustavě , zvětšená faktorem γ oproti hmotnosti v Σ :

(16)

Je to strašné, ale asi je to tak. Tento výsledek je plně v souhlasu s Einsteinovou teorií relativity, ale rozum zůstává stát. Je totiž v rozporu s

. (2.21)

Nemůžeme ovšem tento výsledek jen tak ignorovat, pokud hledáme pravdu, Navíc, když je podpořen celými generacemi vědců. Rovněž veškeré jevy elektromagnetické povahy, odpovídají jak matematicky, tak experimentálně teorii relativity. Jsou závislé pouze na vzájemném pohybu soustav, nikoli na rychlosti vůči jedné absolutní soustavě. Je zřejmé, že tento názor, když se stal světonázorem, ovlivnil nejen vývoj fyziky, ale i filozofii celého dvacátého století. Umožnil lidstvu zrelativizovat doposud absolutní veličiny, jako jsou prostor, čas, hmotnost, vesmír, Morální hodnoty nezůstaly pozadu, ale toto téma vybočuje z mezí vyhrazených této knížce. Základní kámen, na kterém fyzika započala znovu stavět, se ocitl paradoxně „v luftě*“ a pevně se tam zakořenil.

* Omlouvám se za ten výraz.

Abychom demonstrovali obtížnost tento kámen vyvrátit, proveďme další z řady našich myšlenkových pokusů:

Mějme opět dvě soustavy, jednu klidovou Σ, která je spojená Zemí, a druhou Σ´ pohybující se vůči Σ rychlostí v. Následující pokus bych nazval „systém počítání fotonů“. Založen je na Dopplerově efektu. Nechť je v soustavě Σ vysílač elektromagnetického vlnění o frekvenci f. Soustava Σ´, v našem případě raketa nechť v čase t = 0 odstartuje přesně z místa, kde se nachází zdroj Z. Z počátku se pohybuje se zrychlením po ose x, ( rychlost se zvyšuje ), proto se začne čas v Σ´ zpomalovat a frekvence f´ přijímaného signálu se bude měnit podle okamžité rychlosti v . Bude-li zrychlení v soustavě rakety neměnné, můžeme pro γ_(t) použít vztah (1.56).

(1.56)

Po určité době přestane raketa zrychlovat a pohybuje se dále inerciálně. Poté začne brzdit, provede otočku a stejným způsobem se vrátí do původního stanoviště. Je zřejmé, že po celou cestu bude frekvence přijímaného vyšší, než by způsobil samotný Dopplerův efekt. Je to tím, že času v raketě uplynulo méně než na zemi, takže přijímač, aby „pochytal“ všechny vlnky, musel přijímat vyšší frekvenci.

(17)

(Znaménko + platí pro přibližující se objekt, znaménko – pro objekt vzdalující se. ) Pokud umístíme zářič do rakety a přijímač zůstane na Zemi (obě frekvence vyladíme před startem na stejnou úroveň), pozorovatel na Zemi musí zaznamenávat frekvenci nižší

, (18)

v závislosti na okamžité rychlosti. ( Nepochybujeme, že počet „vlnek“, které jeden vysílač vyšle, je shodný s počtem, který druhý detektor zachytí. ) Tímto způsobem můžeme tedy konečně rozhodnout, která ze soustav „je relativnější“.

Podotýkám, že tato skutečnost, která se v poněkud jiném podání vyskytuje v literatuře jako paradox dvojčat, je pro celou teorii relativity vážným problémem a spíše se ignoruje nebo „záplatuje“ podstatně složitějšími teoriemi, kterým většinou rozumí pouze jejich autoři.

Co se týče realizace výše navrženého pokusu, bude ale asi problém uvést nějaký hmotný vysílač do takové rychlosti, při které by se již uplatnil vliv faktoru γ. Dále musíme počítat se změněným chodem času v gravitačním poli, které jistě nebude pro raketu konstantní, po celou dobu pokusu. Je jisté, že pokus to bude technicky ( a energeticky ) velmi náročný. Ale i kdybychom během pokusu nemohli spolehlivě rozhodnout vliv γ, nemusíme to vzdávat.

Zůstává nám jeden fakt, totiž, že po setkání obou soustav, budou jedny hodiny ukazovat méně času než druhé. Které víc a které méně? Pokud bychom se řídili tím, co jsme až doposud z našeho výkladu zjistili, tak by oboje hodiny byly opožděny vůči těm druhým, k čemuž netřeba komentáře. Podívejme se, čím se sledované soustavy od sebe odlišují. Jedna od druhé se při urychlování vzdalují stejně neinerciálně, ale jen v jedné je to „cítit“ – projeví se přetížení. Takže není problém zjistit, která ze soustav  je inerciální a která ne. Je však toto přetížení důvodem k faktickému zpomalování času ve zrychlující se soustavě? Nebo se snad díky neinerciálnosti systému nějaký čas „nažene“, aby pak mohl jít o to pomaleji? Mohl by (čas) tušit, jak dlouho bude potom raketa inerciální…? Nenechme se svést k ukvapeným závěrům.

Úloha: Zkuste si dosadit do rovnice (1.55) pozemské tíhové zrychlení a spočítejte si, za jak dlouho by soustava dosáhla 99% rychlosti světla, kdyby se pod vlivem tohoto zrychlení přímočaře pohybovala. Dále domyslete, jakým tempem by šel čas v této soustavě vůči okolnímu prostoru po uplynutí této doby.

Abychom se měli o co opřít v dalších úvahách, definujme si některá fakta:

2 Definice absolutní soustavy

1.) Ve dvou libovolných bodech, vůči sobě pohybujících se inerciálně libovolným směrem, jdou časy buď stejně rychle, nebo rozdílným tempem.

Proč stejně rychle, se dozvíme v dalším textu.

Ještě neumíme rozhodnout, ve kterém ze sledovaných bodů plyne čas rychleji nebo pomaleji vůči tomu druhému, ale připusťme další nepopiratelný fakt, totiž že

2.) pokud v nich neplyne čas stejně rychle, tak pouze jeden z nich je ten, ve kterém čas plyne pomaleji vůči tomu druhému.

(Toto na první pohled primitivní tvrzení, má pro další výklad dalekosáhlé důsledky. A navíc se dá ověřit po setkání obou soustav. Má však jeden „nedostatek“: jde proti Einsteinově teorii relativity. Idea, že zpomalený chod času je vzájemně relativní, je pro mě natolik nepřijatelná, že mě to donutilo hledat jiné řešení.)

) Pokud platí dvě předcházející konstatování, pak existuje jedna speciální soustava, ve které jde čas nejrychleji ze všech, a ve všech ostatních soustavách, které jsou vůči ní v rovnoměrném přímočarém pohybu, jde čas pomaleji v závislosti na rychlosti.

4.) Tuto speciální soustavu nazveme elektromagnetický éter, nebo jen éter a přiřadíme mu symbol Σ_e

5.) Mezi éterem a Σ´ platí Lorentzova transformace – není divu, první ji vymyslel Lorentz a počítal přitom s éterem.

Pokud tedy souhlasíte s výše uvedenými větami, zbývá tedy najít éter.

Jak víme, příroda je ve vydávání svých tajemství nesmírně hospodárná a vždycky jde cestou nejmenšího výdeje. Totéž platí i o výdeji energie. Pokud nemusí, nevydá nic nebo přesně dávkované minimum. Jak už víme z rychlosti šíření elektromagnetických vln nebo světla, (což není úplně totéž, jak se pokusím popsat později), staví nám zde do cesty poznání těžko pochopitelné překážky, které vypadají naprosto paradoxně. Ani zjišťování vztažných soustav, ve kterých je zpomalení času absolutní, se zřejmě neobejde bez spousty energie.

Bylo by pěkné, kdybychom věděli, jakou rychlostí se v éteru zrovna pohybujeme, ale pro další výklad nám postačí vědomí, že éter existuje.

Úloha: Zkuste domyslet, jak by dopadl pokus v případě, že by pevné stanoviště mělo vůči éteru rychlost blízkou rychlosti světla a raketa by „při cestě tam“ letěla přesně takovým směrem, aby dosáhla vůči éteru nulové rychlosti, a poté se vrátila zpět.

Které hodiny budou po návratu ukazovat méně času ? Myslím, že ty v raketě to nebudou.

Předchozí úvahy naznačují, jak vůbec rychlost vůči éteru zjistit. Podle pokusů se světlem, ale i s jinými fyzikálními ději konaných v rámci jedné inerciální soustavy, to zjistit nelze. Jediná veličina, která éter prozradí, je prokazatelný rozdíl v plynutí času mezi inerciálními soustavami. K tomuto prokázání rozdílu lze dospět způsobem, který jsem právě nastínil, nebo dříve zmíněným systémem počítání fotonů. Zbývá nám ještě vysvětlit rovnici

, (9)

ze které vyplývá, že čas plyne v soustavě Σ_e pomaleji z hlediska pozorovatele v Σ´, což je v rozporu s

. (1.9)

Jak to tak vypadá ( viz. obr. 1 ), je podle rovnice (1.7.) plynutí času v letící soustavě vůči Σ_e všude stejně zpomalené. Časové rozdíly v rámci této soustavy, které vyplývají z rovnice (1.8) jsou způsobeny předstihem hodin v „zadní“ části soustavy Σ´ , tady tam, kde má souřadnice x, při míjení se počátků, zápornou hodnotu a naopak opožděním hodin v přední části této soustavy.

Obr. 2

Tak například časový předstih, (kladný rozdíl mezi hodinami v zadní části soustavy Σ´ o souřadnici –x, viděno z klidové soustavy v okamžiku míjení se počátků, a hodinami v počátku této soustavy) musí být dle (1.8.) roven

(19)

a v okamžiku, kdy bude bod –x´ procházet počátkem Σ po čase t , bude časový údaj v místě –x´ součtem tohoto předstihu a zpomaleného času t/γ

. (20)

(Využíváme toho, že čas t, který by byl při rychlosti -v potřeba k dosažení souřadnice –x, je totožný s časem t, který potřebují zadní hodiny, aby dosáhly počátku O soustavy Σe .)

Na tomto příkladu je názorně vidět, že i když čas běží v soustavě Σ´ pomaleji, porovnání zadních hodin Σ´ s libovolnými hodinami Σ_e může ukázat pravý opak. V tom je právě krása, symetrie a velká svůdnost Lorentzovy transformace. Je velmi lákavé nyní prohlásit, že na rozdíl od (1.26.)

. (21)

Ale to bychom se dostali do vážných potíží s rychlostí světla, neboť tato by již nebyla stejná ve všech inerciálních soustavách.

Abych to ukázal, učiňme malou odbočku:

Předpokládejme tedy, že čas plyne v soustavě Σ´, která má vůči éteru rychlost v, všude stejně zpomaleně ( t´ = t/γ ). Potom jsme ale nuceni poněkud poopravit vzorce pro skládání rychlostí.

(1.16)

, (1.21)

(22)

Nyní ovšem u a v jsou rychlosti naměřené v _e

Ve složkách dostáváme:

(23)

(24)

. (25)

Schválně jsem tyto složkové rovnice takto rozepsal, abyste si je mohli porovnat s (1.24). Inverzní vztahy vypočteme přímo z (23) - (25).

(26)

(27)

. (28)

Ze vztahu (2) je vidět, že rychlost v (při u_x = 0 a pokud nepočítáme s časovými diferencemi ) se projeví v soustavě Σ´ jako:

(29)

a vzdálenost

, (30)

která je mimochodem stejná jako při relativistickém pojetí času ( viz obr. 2 ):

. (31)

Problém by nastal, kdybychom chtěli vypočítat rychlost světla v soustavě Σ´ dle rovnice (2):

(32)

Jak vidíme, rychlost světla nevychází c, a proto tato odbočka zřejmě vede na slepou kolej. Nebo snad ne ???

Ponechme ještě tuto otázku otevřenou a podívejme se na slíbenou synchronizaci hodin v soustavě Σ´.

3 Synchronizace hodin v soustavě Σ´

V dané inerciální soustavě se elektromagnetické vlnění nebo světlo ideálně hodí pro synchronizaci hodin. Pokud například chceme, aby všechny hodiny ve všech místech dané soustavy ukazovaly stejný čas, vyšleme z jednoho (libovolného) místa elektromagnetický signál. V okamžiku, kdy tento signál dosáhne cíle (synchronizovaných hodin), nastavíme v tomto místě čas, který se rovná

, (33)

kde t_v je čas, který ukazovaly hodiny v místě, z kterého se signál vysílal a je absolutní hodnota vzdálenosti hodin od zdroje signálu v dané soustavě. Rovnice se zjednoduší, pokud t_v = 0. V soustavě Σ´ budeme synchronizovat stejným způsobem. Omezíme se však na místa, která se nacházejí na ose x´ (ve směru pohybu ). Ve všech bodech  libovolné roviny ρ (), kolmé k ose x´ , plyne čas stejným tempem, a proto se jím nebudeme zabývat. Nechť hodiny v počátku soustavy Σ´ i v počátku soustavy Σ, ukazují nulu, právě když se počátky obou soustav překrývají. Přesně v tomto okamžiku je z tohoto místa vyslán elektromagnetický synchronizační signál. Ve stojící soustavě budou po synchronizaci ukazovat všechny hodiny stejný čas,

, (34)

ale hodiny v soustavě Σ´ viděné ze soustavy Σ budou ukazovat čas :

. (35)

Situace je zřejmá z obr.

Obr. 3

Pokud bychom vycházeli z předpokladu, že

, (32)

obdrželi bychom pro hodiny v popředí soustavy Σ´

(36)

neboť čas v soustavě Σ , kdy světlo dožene přední hodiny v Σ´, je definován jako

. (37)

Hodiny v prostřední části soustavy Σ´ ovšem ukazují

. (38)

Snadno ověříme, že správný výsledek pro přední hodiny v Σ´ je dán vztahem 35, neboť za prvé se světlo v soustavě Σ´ šíří rychlostí c, což je experimentálně změřeno, a za druhé z předchozího výkladu, (obr. 1) víme, že pro přední hodiny v soustavě Σ´ platí:

. (39)

Stejně tak pro hodiny zadní:

.(40)

Díky konstantní rychlosti světla ve všech inerciálních soustavách dojde tedy synchronizací hodin v soustavě Σ´ k časovému předstihu v zadní části vůči počátku O´ této soustavy

(41)

a zpoždění v přední části

(42)

Zeptáte-li se mě nyní, jestli si myslím, že skutečná rychlost v soustavě Σ´ je

(22.)-(25.) a vychází ze (1.2)-(1.24.) jen díky diferencím (41.) a (42.)

odpovídám:

1) Ne, zpoždění předních hodin a předstih zadních jsou reálné skutečnosti a s jako takovými s nimi musíme počítat. V tomto smyslu platí Einsteinovy rovnice pro skládání rychlostí (1.2) i zrychlení (1.29.)-(1.31.).

2) Ano, protože Δt´= Δt/γ je ve všech bodech soustavy Σ´ stejný a reálný.

3) Jedná se zde zjevně o dualismus, o které není například v kvantové fyzice nouze.

Odvažuji se taktéž tvrdit, že ve dvou různých soustavách, pohybujících se vůči éteru rychlostmi různého směru o stejné absolutní hodnotě, jde čas stejně rychle. Dále tvrdím, že podélná rychlost světla v soustavě Σ´ je sice rovna c, ale i , protože ve všech místech soustavy Σ´ jde čas stejně zpomaleně, i když s posuny (41.) (42.), které však zůstávají konstantní. Proč se však světlo chová tak podivně, to ale nevím. Je mi však tato podivnost přijatelnější, než vzájemná relativita času.

Obr. 4

Přezkoušejme ještě, jaká vyjde rychlost u´_x v soustavě Σ´ (obr. 4) . Čas v soustavě Σ_e , kdy hmotný bod dostihne předek rakety bude opět .

(43)

Jak vidno, výsledek souhlasí s Einsteinovým vzorcem (1.24.). Když však budeme ignorovat zpoždění  předních hodin v soustavě Σ´, které jdou ale stejně rychle jako prostřední i zadní

(42)

obdržíme

. (44)

Vidíme, že při vysokých rychlostech roste rychlost u_x´ (44.) neomezeně k ∞. A nejenom ta. Vzorce (24.)-(25.) ukazují, že jakákoliv rychlost, která je jiná než v, při vysoké rychlosti v blížící se k rychlosti světla v prostoru soustavy Σ´ neomezeně roste. Později (v navazující publikaci ) toho využijeme k odvození vlnových vlastností částic.

Musím ještě připomenout a zdůraznit, že pokud nebereme v úvahu předstihy a zpoždění hodin v soustavě Σ´ tak rychlost bodu stojícího v _e ( u_x = 0) v prostoru vymezeném soustavou Σ´, například mezi přídí a zádí rakety, je dána vztahem:

, (29)

Pro rychlost, kterou se soustava Σ´, pohybuje éterem, platí samozřejmě rychlost v , a pozorovatel v pohybující se soustavě ji tam koneckonců naměří, ale jen díky časovému rozdílu Δt´ ,například mezi prostředními a zadními hodinami

(45)

Začátek měření je od prostředních hodin v t´ = 0.

Co se týče okolí soustavy Σ´, platí následující:

(46)

dle inverzní Lorentzovy transformace. Je zjevné, že tento vztah platí pro libovolný bod soustavy Σ´, pokud v něm započneme měřit čas současně a soumístně s bodem ležícím nehybně v éteru. Z toho plyne, že okolní prostor mimo soustavu Σ´ je pro pozorovatele v libovolném bodě soustavy Σ´ zkrácen a zhuštěn faktorem γ, neboť za stejnou časovou jednotku ( t´ = t/γ ) uletí v éteru delší vzdálenost, než to „vidí“ pozorovatel nehybný vůči éteru.

V tomto speciálním případě tedy platí relativita prostoru, nikoliv však času.

Skutečnou hodnotu rychlosti v´ hmotného bodu stojícího nehybně v éteru () vůči pozorovateli stojícím v jediném bodě soustavy Σ´ určíme z (46.) takto:

Δx ……… skutečná vzdálenost překonaná v éteru

Δt´ …… skutečný čas, který ukazují hodiny v tomto bodě soustavy Σ´

(47)

(Rychlost v a v v parametru γ jsou rychlosti vůči éteru.)

Pro zajímavost uvádím, že skutečná vzdálenost Δx, kterou může uletět kosmonaut v soustavě Σ´, ve svém  časově omezeném úseku Δt´, je úžasná, pokud má dost energie, na to, aby se přiblížil rychlosti světla. ( Při , .)

4 Transformace zrychlení vůči éteru

Za stejných podmínek, za kterých jsme odvodili rovnici (22), vyplyne i vztah pro zrychlení v soustavě Σ´: (Tyto rovnice berte, prosím, jako duální ke vztahům (1.29.)-(1.31.))

(21)

(22)

= (51)

= (52)

. (53)

Rozepsáním do složek dostáváme:

(54)

(55)

. (56)

Abychom obdrželi výsledek pro sílu, potřebujeme ještě znát hmotnost. V závěru kapitoly 2.1, jsme odvodili v patřičných souvislostech:

(57)

(58)

(59)

V soustavě Σ_e má hmotnost m složkovou formu, podobně jako vektor, zatímco v pohybující se soustavě Σ´, kde hmotný bod stojí, žádnou takovou formu nemá. A naopak v soustavě éteru, kde hmotný bod stojí a pozorujeme jej z soustavy Σ´, stává se z m_e ( klidová hmotnost v éteru, neplést s hmotností elektronu ) „vektor“ m´.

(60)

(61)

(62)

Dosazením do rovnice pro F´ dostáváme konečně výsledek pro sílu v soustavě Σ´:

( Zrychlení a je klidové. )

(63)

(64)

. (65)

A zpětné transformace:

(66)

(67)

(68)