Derivace funkce a její geometrický význam

Než vyslovíme definici derivace funkce, proveďme tyto úvahy z geometrie :

Mějme dánu křivku o rovnici    a na ní bod  . Zvolme její další její bod  ,  . Spojíme oba body přímkou; nazveme ji sečnou křivky.

Její směrnici vyjádříme  . Budeme‑li zmenšovat absolutní hodnotu  h, bude se bod  Q  posunovat po křivce směrem k bodu  P. Poloha sečny se bude měnit, sečna se bude otáčet kolem bodu  P. V případě, že   , přechází tato sečna v tečnu křivky. Její směrnice bude vyjádřena jako limitní případ směrnice sečny

Vyjádřeno slovy :  Derivace funkce v bodě  x₀  je limita podílu přírůstku funkce  f  v bodě  x₀  a přírůstku argumentu  x, jestliže se přírůstek argumentu blíží k nule.

Číslu  h  v definici derivace říkáme přírůstek nezávisle proměnné  x  (argumentu x);  h  může být kladné i záporné. Místo  h  užíváme také označení  D x  („delta x“). Označíme‑li  x₁ = x₀ + h  Þ  h = x₁ ‑ x₀ , lze uvedený vzorec pro derivaci napsat také ve formě

Rozdíl funkčních hodnot  f(x₀ + h) ‑ f(x₀), resp.  f(x₁) ‑ f(x₀)  nazýváme přírůstek funkce v bodě  x₀. Lze jej též označit  D f(x₀)  nebo  D y₀. Pak lze psát

často bude psát místo  x₀  jen  x

v tomto výrazu bude  x  pevné,  h  proměnné. Bude‑li tato limita existovat pro všechny hodnoty  x  daného intervalu  I, bude    funkcí proměnné  x I I  a nazveme ji derivací funkce v intervalu I.

Pro označení derivace funkce  y = f(x)  užíváme symbolů

a chceme‑li vyznačit hodnotu derivace v bodě  x₀, mohou být použity symboly

Existují‑li limity

resp.

nazýváme je derivace zprava resp. derivace zleva.( jednostranné derivace)

Jsou‑li uvažované limity nevlastní, nazýváme je derivacemi nevlastními.

Důkaz : Předpokládejme existenci derivace v bodě  x₀.

je spojitá v bodě x₀.

Poznámka1: Větu o vztahu mezi spojitostí a derivací nelze obrátit. Spojitost funkce v  x₀  nezaručuje existenci derivace v tomto bodě, jak ukazuje příklad :    je v bodě  0  spojitá, nemá však v tomto bodě derivaci, neboť

  neexistuje, protože

  a   .

Poznámka2: Předpoklad existence vlastní derivace ve větě o vztahu mezi spojitostí a derivací je podstatný. Má‑li funkce v bodě nevlastní derivaci, nemusí být v tomto bodě spojitá. Např. funkce y = sign(x).

  a   .

Čili derivace v bodě nula existuje a je nevlastní (+¥), ale víme, že funkce je v bodě nula nespojitá.

Příklad1: Vypočtěte (podle definice) derivaci funkce  y = C (konstanta).

Řešení : Definice derivace  

funkční hodnoty   .

Dosadíme do vzorce  .

Příklad2: Vypočtěte derivaci funkce   a stanovte její hodnotu v bodech  x₁ = 2,  x₂ = ‑3,  x₃ = 0.

Řešení : funkční hodnoty

.

Dosadíme :

.

; .

Pravidla pro derivování.

Nechť funkce  f(x)  a  g(x)  mají pro  x I J  derivaci   a . Potom platí :

, pro  g(x) ¹

kde

Důkaz :

2. ==

= = =.

== =

= =

Derivace základních elementárních funkcí

pro xIR,

pro xIR,

pro x ¹ (2k+1), k celé,

pro x ¹ kp, k celé,

pro xIR,

pro xIR,

pro x >

pro x >

pro xID(f), nIR,

pro xI

pro xI

pro xIR,

pro xIR,

Některé důkazy:

9)

12) (položíme‑li y = arctg(x) je x = tg(y))

podle věty o derivaci inverzní funkce je

Příklad1: Vypočtěte derivaci funkce  .

Řešení :

Příklad2: Vypočtěte derivaci funkce  .

Řešení : Máme složenou funkci f(x) = h(g(x)), kde

y = g(x) =   je vnitřní funkce a její derivace ,

h(g(x)) = h(y) = y⁵ je funkce vnější a její derivace .

Z věty o derivaci složené funkce plyne:

Příklad3: Vypočtěte derivaci funkce  .

Řešení : analogicky: y = g(x) = sin(x), h(y) = y⁶ Þ

Příklad4: Vypočtěte derivaci funkce   pro x >

Řešení :

Rovnice tečny a normály

Derivace funkce f(x) v bodě x₀ v geometrickém významu značí směrnici tečny ke křivce  bodě x₀. Lze tedy určit rovnici tečny a normály (normála je kolmice k tečně v bodě dotyku) : Je‑li dána funkce f a na ní dotykový bod tečny T = , vypočteme její směrnici K_t == f ¢(x₀) . Podmínka pro směrnice přímek vzájemně kolmých v rovině je že jejich součin je roven ‑1, proto směrnice normály je K_n =   pro f ¢(x₀) ¹

Je‑li f ¢(x₀) = 0,

Rovnice tečny : y = f(x₀)  Rovnice normály: x = x₀ 

Příklad: Určete rovnici tečny a normály ke křivce dané rovnicí v bodě .

Řešení : Bod dotyku má druhou souřadnici  f(x₀) = 4( 3

Þ

Þ K_t = f ¢(-1) = -4, K_n =   =

Þ Rovnice tečny : Þ ,

Rovnice normály Þ .

Diferenciál funkce

Říkáme, že funkce f je diferencovatelná v bodě x₀ , existuje­‑li konečná derivace v tomto bodě, tj. f ¢(x₀) = A IR.

V tomto případě můžeme přírůstek funkce Dy = f(x)  f(x₀) aproximovat přírůstkem k tečně v bodě x₀ tj. hodnotou f ¢(x₀).(x   x₀). Nazveme jej diferenciálem funkce v bodě x₀ . Označíme :

dy = f ¢(x₀).(x   x₀) = f ¢(x₀).Dx  resp.

d f(x₀) = f ¢(x₀).Dx

Protože pro funkci y = x platí dy = dx = Dx lze diferenciál psát ve formě

d f(x₀) = f ¢(x₀)dx

Píšeme‑li místo x₀ jenom x, pak diferenciál funkce f v bodě x označujeme

dy = d f(x) = f ¢(x)dx

Z odvozeného diferenciálu dy = f ¢(x)dx lze určit , tj. symbol dříve zavedený pro derivaci, který nyní můžeme považovat za zlomek.

Užití diferenciálu funkce

Při malých hodnotách  Dx platí Df(x)   df(x) , tj. přibližnou hodnotu funkce v bodě x₀ + Dx můžeme vyjádřit .

Příklad: Vypočtěte přibližnou hodnotu .

Řešení : Je třeba dosadit do funkce f(x) = .

Pro x₀ = 16 je f(x₀) == 2 , dx = x  x₀ = 15.8 

f ¢(x) ==  Þ f ¢(x₀) = ==

Platí  = f(x₀) + f ¢(x₀)dx 

Þ    2 + (

Derivace vyšších řádů

Má‑li funkce f v každém bodě intervalu (a,b) derivaci f ¢(x), pak tato derivace je také funkcí xI(a,b). Bude‑li funkce f ¢ mít v bodě x₀I(a,b) derivaci, říkáme, že funkce f má v tomto bodě druhou derivaci, nebo derivaci druhého řádu. Značíme ji nejčastěji

f ¢¢(x₀) , y¢¢(x₀) ,

Obecně n‑tou derivací funkce f rozumíme první derivaci (n 1) derivace. Značíme ji

, , .

Příklad: Vypočtěte funkce .

Řešení ,

,

,

.

Věty o střední hodnotě diferenciálního počtu

Rolleova věta zaručuje existenci alespoň jednoho bodu C, ve kterém je derivace funkce f rovna nule ale neříká nic o tom , jak tento bod najít. Těchto bodů může existovat více.

Geometrické znázornění Rolleovy věty :

Geometrický význam této věty říká, že existuje alespoň jeden bod v (a,b), v němž tečna ke křivce je rovnoběžná se spojnicí koncových bodů A, B.

Důkaz: Buďte a, b I I, a < b, Aplikujeme‑li větu o střední hodnotě na interval <a,b>, dostaneme

, kde b I(a,b).

Je‑li f ¢(x) > Þ f ¢ b > Þ f(a)   f(b) > 0 (funkce je rostoucí).

Ověření tvrzení 2) a 3) je zcela analogické.

Příklad: Rozhodněte o intervalech monotónnosti funkce .

Řešení : O monotónnosti funkce rozhodne znaménko její první derivace

Změny znaménka první derivace mohou nastat pouze v bodech, kde f ¢(x) = 0 (stacionární body), tj. x₁ = 0, x₂ = 1. Pro

xI ¥,0) znaménko f ¢(x) je ( f ¢(x) > Þ f(x) je rostoucí,

xI(0,1) znaménko f ¢(x) je (+).( f ¢(x) < Þ f(x) je klesající,

xI ¥) znaménko f ¢(x) je (+).(+)  f ¢(x) > Þ f(x) je rostoucí.

L´Hospitalovo pravidlo

L´Hospitalovo pravidlo platí, jedná‑li se o výpočet limity „neurčitého výrazu“ typu () nebo () . Jsou ale další neurčité výrazy, které se dají převést na tyto typy, např. (0 ¥ ¥ ¥) , (),() a ().

Příklad1: Stanovte .

Řešení : Výraz typu (). Použijeme L´H.

===.

Příklad2: Stanovte .

Řešení : Výraz typu (). Použijeme L´H.

===0.

Příklad3: Stanovte .

Řešení : Výraz typu (¥ ¥). Upravíme na typ () a použijeme L´H.

===

==0.