Difereciální a integrální počet

Derivace a průběh funkce

V minulé kapitole jsme se seznámili s chováním funkcí v bodech zvláštního zřetele, ať již to byly (vlastní) body, v nichž funkce nebyla definována, nebo nevlastní body a - . Upozornili jsme i na to, že jsme se zatím nezabývali případem, kdy funkce vykazuje v okolí bodu „normální“ chování, v bodě samotném však definována není

Cvičení 8.1: Uvažte funkci y = (x – 4)² / (x – 4). Určete její definiční obor a nakreslete graf! porovnejte tuto funkci s druhou funkcí ze cvičení 7.1.

Je přirozené, že právě pro tento případ je třeba zavést vlastní limitu ve vlastním bodě x₀ s tím, že podmínky pro spojitost v daném bodě zůstávají pro tuto limitu v platnosti, ale z okolí bodu x₀ se vyjme právě tento bod. Takovéto okolí nazýváme redukované okolí bodu x₀ a je zřejmé, že nyní se okolí rozpadá na dva otevřené intervaly; v našem případě opět omezíme na symetrický případ. Snadno dovodíme, že funkce bude v bodě spojitá tehdy a jen tehdy, když bude v bodě definována a její funkční hodnota bude rovna limitě v daném bodě. Provedené úvahy jsou nezbytné pro zavedení derivace funkce v bodě x₀, jakožto směrnice tečny grafu funkce v daném bodě x₀. Znalost směrnice tečny je zásadní při posuzování průběhu funkce v oblastech „normálního“ chování, jak uvidíme dále. Je nutno upozornit na to, že derivace jakožto forma limity, je jednoznačně určena. To znamená, že má-li funkce v daném bodě určenu tečnu nejednoznačně, derivace neexistuje (pokuste se načrtnout případ, kdy taková situace nastane!)

Definice derivace: Existuje-li pro funkce y = f(x₀) vlastní limita

pro h 0 lim (f(x₀+h) - f(x₀)) / h

nazývá se derivace funkce f v bodě x₀. Jedná se tedy o limitu funkce g(h) pro h 0 pro parametr x₀, Můžeme psát lim g(h, x₀) pro h

Cvičení 8.2: Napište funkci j= g(h)!

Poznámka: Rozmyslete si tvrzení: Derivace konstanty je rovna nule!

Geometrický smysl definice derivace je patrný z náčrtu, který si musíte domalovat podle instrukcí na přednášce.

Obr.

V matematicky nedokonalé podobě užívali derivace ke své spokojenosti fyzik Isaac Newton a „vševěd“ Gottfried W. Leibnitz na přelomu sedmnáctého a osmnáctého století; dokonce se i vážně přeli o prioritu. K matematicky dokonalé dodnes i formálně respektované podobě přivedl diferenciální a integrální počet v polovině století devatenáctého Augustin Cauchy. Už o něm byla řeč.

Z obrázku je zřejmé, že derivace v bodě je směrnicí tečny tamtéž. Ze směrnice a (dotykového) bodu lze určit snadno tečnu jako takovou. Zopakujte si, jak sestrojit přímku, danou bodem a směrnicí!

Derivace jsou pro jednotlivé funkce dané tvary limit pro h 0, f(x₀) je parametr. Jednomu x₀ přísluší nejvýše jedna (tj. jedna nebo žádná) hodnota limity; tvoří tedy derivace také funkci x v našem smyslu s tím, že definiční obor derivace je podmnožinou definičního oboru funkce. Lze ukázat, že funkce je v bodě spojitá, má-li v něm derivaci; obrácené tvrzení neplatí. Pokuste se najít příklad funkce, která má při zachování spojitosti v daném bodě nejednoznačně určenou limitu! Derivaci budeme označovat f´, pokud není pochyb o proměnné, podle které se derivuje. Existuje však řada dalších forem zápisu, jako příklad uveďme dy/dx ; nejde o podíl, ale o zápis derivace s vyznačením nezávisle proměnné.

Odvozením derivací elementárních funkcí se zabývat nebudeme, v následující tabulce jsou uvedeny nutné údaje o derivacích námi vybraných elementárních funkcí.

Výpočty derivací se nezabýváme, jsou uvedeny např. v E2 na str. 10 až 23, kde lze nalézt i obrázky a instruktivní příklady. Množství cvičení je na str.28 – 29. Vše pro starší vydání!

Uvedený výběr je možno snadno doplnit. Všechny z našeho hlediska důležité údaje o funkcích elementárních (rozšířeno o některé funkce potřebné ve statistice) lze najít v již citovaném Dodatku E1.

Cvičení 8.3: Určete tečny ke grafu funkce y = x v bodech x = 0; 1 a 2,5.

Cvičení 8.4: Určete tečny ke grafu funkce y = sin x v bodech x = 0; p/4 a p

Co můžeme usoudit z vypočtených hodnot derivace?

Pro derivaci kombinací funkcí (nikoliv nutně elementárních) platí tato věta:

Nechť funkce f a g mají v bodě x₀ derivaci. Pak platí následující pravidla

a)      (f(x₀) + g(x₀))´= f´(x₀) + g´(x₀)

b)      (f(x₀) - g(x₀))´= f´(x₀) - g´(x₀)

c)      (f(x₀) . g(x₀))´= f´(x₀) . g(x₀) + f(x₀) . g´(x₀)

d)      (f(x₀) / g(x₀))´= (f´(x₀) . g(x₀) - f(x₀) . g´(x₀)) / g(x₀) ² , pokud navíc g(x₀)

e)      Jestliže dále existují všechny potřebné jednoduché derivace, platí pro derivaci složené funkce f(g(x₀)): f(g(x₀))´= f´(g(x₀)) . g´(x₀)

Cvičení 8.5: Uvažte, jak se vzorce změní, bude-li platit g(x)= konst. v nějakém okolí bodu x₀, např. v celém definičním oboru.

Návod: Derivace konstanty je nula.

Pravidlo pro derivaci složené funkce si předvedeme na příkladu. Nezapomeňte vždy určit definiční obor funkce i její derivace!

Příklad 8.1: Určete derivaci funkce zmíněné v úvodu této kapitoly: y = (sin x)² .

Řešení: Chápejme tuto funkci nejprve jako součin. Pak pro všechna x I R (viz tabulka a pravidlo c pro počítání s derivacemi pod ní!) platí

y ´ = (sin x . sin x)´ = cos x . sin x + sin x . cos x = 2. sin x . cos x . Funkce i její derivace jsou definovány pro všechna x є R.

Pokud chápeme naši funkce jako funkci složenou, spočteme nejprve první činitel výsledku podle pravidla e); budeme tedy derivovat druhou mocninu podle sin x. V tabulce v prvním řádku nalezneme potřebný vzorec, který musíme interpretovat následovně: Hodnota derivace druhé mocniny pro libovolnou hodnotu nezávisle proměnné je rovna dvojnásobku příslušné nezávisle proměnné. Dostáváme tedy 2.sin x. Vyčíslení druhého činitele ve vzorci e) je prosté: Podle předposledního řádku tabulky je jím cos x. Dospěli jsme tedy ke stejnému výsledku, jako v případě součinu: y ´ = (2.sin x).cosx

Poznámka: Pro vlastní výpočty je dobré palcem přikrýt funkci, podle které derivuji, určit hodnotu derivace (v nezávisle proměnné jakožto funkci „pod palcem“) a výsledek vynásobit derivací podpalečné funkce. Tak lze postupovat i v případě vícenásobně složené funkce.

Cvičení 8.6: Spočtěte derivaci fcí y = x . e^x a e^x / x ! Ve druhém případě pozor na D !

Již jsme si uvedli, že derivace v daném bodě není nic jiného, než směrnice tečny ke grafu funkce v daném bodě. Odtud plyne tvrzení, které nebudeme dokazovat, je však názorné a je nutno pochopit jeho dosah: Má-li funkce v bodě derivaci kladnou (zápornou), je v tomto bodě rostoucí (klesající). Existuje tedy (alespoň velmi malé) okolí daného bodu , kde funkce roste (klesá) . Má-li funkce v daném bodě derivaci rovnu nule, nemusí tam, jak by se zdálo, mít extrém (maximum či minimum). Nulovost derivace je však nutnou podmínkou existence extrému. Je-li funkce v bodě rostoucí (klesající), extrém tam mít nemůže – to už víme. Pro extrém bude však platit: Funkce má v daném budě maximum (minimum), pokud existuje takové levé okolí daného bodu, že v něm je funkce rostoucí (klesající) a současně pravé okolí takové, že v ně je funkce klesající (rostoucí).

Cvičení 8.7: Přeformulujte toto tvrzení do podoby platné pro derivace! Zkoumejte chování funkcí y = x, y = x , y = - x a y= x . v bodě x = 0 z hlediska existence extrémů.

Víme, že derivace funkce splňuje předpoklady pro to, abychom ji chápali jako funkci na definičním oboru, který je podmnožinou původního definičního oboru. Z toho ovšem plyne, že první derivaci mohu chápat jako funkci a určit k ní derivaci, říkáme, že jsme určili druhou derivaci původní funkce. Tímto způsobem můžeme postupovat k derivacím vyšším. Snadno dovodíme, že definiční obor derivace vyšší je podmnožinou (roven nebo vlastní podmnožinou) derivace nižší

Příklad 8.2: Jaká funkce je třetí derivace funkce y = e^x   a druhá derivace y = x³ .

V obou případech zůstávají definiční obory vyšších derivací R. V prvním případě je výsledkem y´´´= e^x, protože je zřejmé, že všechny derivace funkce y = e^x mají tento tvar. Ve druhém případě je y´= 3.x² , pak y´´= 6.x .

Průběh funkce

V této a předcházející kapitole jsme získali znalosti, které nám dovolí zjistit průběh nepříliš složité funkce.

Příklad 8.3: Zjistěte průběh funkce y = (2.x – 5)/ (x + 3)

Řešení:

Určíme definiční obor. Je jím D = (-

Nadále postupujeme odděleně v obou podintervalech (je dobré začít malovat graf tím, že bodem –3 proložíme přímku rovnoběžnou s osou y).

Spočteme derivaci . V obou podintervalech je podle pravidla d) y´= 11 / (x + 3)² . Je zřejmé, že derivace v každém bodě (kde je definována) je kladná. V každém bodě s výjimkou x = -3 je tedy funkce rostoucí.

Určíme limity v nevlastních bodech. Pro x je lim y = 2- , resp. pro x je
lim y = 2+ .

Určíme jednostranné limity v bodě –3. Limita zleva (zprava) je

Určíme hodnoty funkce ve vhodně vybraných bodech (extrémy, průsečíky s osami apod.)

Na základě získaných údajů lze již načrtnout průběh funkce y. Vyjdeme z „kříže“ – přímek y = 2 a x = -3. Do něj „vložíme“ naši funkci při respektování hodnot limit a znaménka derivace.

Cvičení 8.8: Stanovte průběh funkce y = exp (-x²) . Setkáte se s ní ve statistice!

Integrály

V této kapitole jsme zatím mj. zavedli derivaci, jakožto „dceřinnou“ funkci, která je přiřazena „mateřské“ funkci f. Tak, jako je přirozené ptát se po odčítání resp, dělení, zavedeme-li sečítání resp. násobení, jeví se přirozené hledat funkci jejíž derivací je daná funkce. Takovouto funkci nazýváme primitivní. Přesně: Funkce F je primitivní ke spojité funkci f v intervalu I, platí-li F´(x) = f(x) pro každé xII. Je tedy funkce y = x² primitivní v R k funkci y = 2.x, neboť platí (x²)´= 2.x v R.

Poznámka: Matematici jsou v označování důležitých objektů své vědy často nelogičtí. Funkci označí jako primitivní, i když jde svým způsobem (jistě z hlediska nematematiků, frekventantů různých kurzů vyšší matematiky) o vrchol komplikovanosti a navíc nezavádějí nic na způsob funkce sofistikované či složité.

Snadno nahlédneme, že platí následující tvrzení: Je-li F primitivní k f v intervalu I, pak je také funkce G = F + c primitivní k f v I. O tom se přesvědčíme derivováním G (umíme derivovat součet a víme, že derivace konstanty je 0). Máme tedy pro všechna cIR množinu funkcí lišících se o konstantu. Tuto množinu označujeme obvykle jako neurčitý integrál funkce f. Píšeme ∫ f(x) dx , kde dx označuje proměnnou. Uvedený zápis vznikl velmi dávno a je odrazem souvislosti primitivní funkce a sumy (jak poznáme dále). V dříve uvedeném případě bude tedy platit ∫ 2x dx = x² + c, cIR . Znak ∫ vznikl jako odvozenina S v souvislosti s tím, že neurčitý integrál po dosazení mezí mění se na integrál určitý, který odpovídá velikosti plochy vymezené lichoběžníkem uvedeným na obrázku, který si nakreslíte na přednášce.

Obr.

Určitý integrál zapisujeme takto:

Umíme-li určit primitivní funkci (neurčitý integrál), umíme přesně určit velikost příslušné plochy prostým dosazením horní a dolní meze do libovolné primitivní funkce. To je dostatečně zřejmé z př. 8.4, který následuje. Problém je však právě v určování primitivních funkcí. V případě derivací jsme byli ve velmi výhodné situaci, neboť kombinace vhodně leč dosti volně vybrané skupiny funkcí měly derivaci opět ve tvaru kombinace stejných funkcí. Takovou skupinu tvoří např. funkce elementární.

Cvičení 8.10 Uvažte, že konkrétně součet, součin námi vybraných elementárních funkcí vede na kombinaci stejných elementárních funkcí.

Při určování primitivních tomu tak není a ani být nemůže; primitivní funkce totiž nejsou obecně tvořeny kombinací nějakých základních funkcí v žádném smyslu. Tak např. výpočet plochy vymezené osu x, libovolnými dvěma pořadnicemi a grafem funkce exp (-x²) pomocí primitivní funkce by byl nesmírně vítán v matematické statistice. Příslušná primitivní funkce ale není vyjádřitelná pomocí zavedených (nejen elementárních funkcí) a zbývá jediné –definovat novou funkci s potřebnými vlastnostmi nebo celý problém obejít. Statistici dodnes často vystačí s tabulkami, které dnes vytlačují výpočty pomocí programů na počítačích.

Příklad 8.4: Určete plochu, vymezenou osou x, osou y, pořadnicí x = p/2 a funkcí y = sin x v mezích <0, p/2>. Nakreslete příslušný obrázek!

Řešení: Primitivní funkce k funkci y = sin x v R je funkce y = -cos x, jak plyne z posledního řádku naší tabulky derivací vybraných elementárních funkcí.

Pak platí

kde pi je p

Cvičení 8.11 Jako procvičení látky spočtěte alespoň některý z následujících určitých integrálů:

• ∫(1/x) dx v mezích <1, e> , vyjde 1;
• ∫ (exp x) dx v mezích <0, 1> , vyjde e;
• ∫ x dx v mezích <0, 2> , vyjde 8/3.

Úlohy

8.1 Určete derivaci funkce y = e^x .sin x

8.2 Ve skupině funkcí y = (x +a) / (x + b) volte vhodně reálná a a b a určete průběh funkce y.

8.3 Spočtěte určitý integrál funkce y = sin x v mezích <0, p> a <-p p>. Vysvětlete získaný výsledek!