Elementy numerické matematiky

V záplavě faktů, které musí absolvent standardního kurzu vyšší matematiky zvládnout se zpravidla ztratí informace o numerické matematice, i když jde o – z hlediska přímého použití matematiky ve vědě a technice – bezesporu nejdůležitější složku matematiky. Pro ilustraci: Dvoudílná učebnice matematiky pro ekonomy (E1 a E2) na svých celkem 777 stránkách nenašla místo ani na sdělení, co numerická matematika je, i když některé tam probírané pasáže s ní přímo souvisí (patří do ní).

Co tedy vlastně numerická matematika je? Je to část matematiky, která hledá takové výpočetní vzorce matematických úloh, které k praktické realizaci vyžadují čtyři a jen čtyři základní aritmetické operace – sečítání, odčítání, násobení a dělení. Výpočetní vzorce numerické matematiky může tedy v principu používat každý, kdo má znalosti matematiky na úrovní základní školy a navíc voskovou tabulku či papír a tužku. To nevylučuje skutečnost, že spojením numerické matematiky s moderní výpočetní technikou vznikla nová kvalita.

Věc má dva háčky. V první řadě v praxi totiž vzorce mohou být náročné na výpočty a zejména je často třeba je mnohokráte opakovat. Zde řešení v zásadě existuje. Jsou jím počítače a v rámci nich fungující vhodně naprogramované jednoznačné postupy. Rozvoj počítačů vedl tak k rozvoji algoritmů – výpočetních postupů představujících úplné řešení příslušného dílčího problému. Zde je třeba zmínit se o matematicích, kteří předběhli svoji dobu o staletí a vytvořili algoritmy, které nacházely a nacházejí uplatnění až v součinnosti s výkonnými počítači. Za ostatní jmenujme ještě jednou vynikajícího matematika, fyzika a astronoma z přelomu devatenáctého století Karla Fridricha Gausse. Je autorem řady dodnes používaných algoritmů, nejen po něm pojmenovaného způsobu řešení soustavy lineárních rovnic převodem na trojúhelníkovou matici, jemuž jsme věnovali 5. kapitolu. Úlohy tohoto typu do numerické matematiky patří, nejsou však pro ni typické. V tomto případě dostáváme totiž až na zaokrouhlovací chyby přesné výsledky.

Druhý, mnohem vážnější problém numerické matematiky spočívá v tom, že ve skutečnosti numerická matematika obecně nemůže řešit problémy v celé jejich komplexnosti, řeší pouze úlohy náhradní, odpovídající jejím možnostem a omezením. Řešení (výpočet) náhradní úlohy je relativně snadno možný, dá však obecně výsledek, který ve vztahu k úloze původní není a nemůže být přesný. Pro úlohy numerické matematiky v souvislostí s funkcemi jedné proměnné je charakteristické zavedení tzv. uzlových bodů. Funkce jedné proměnné je nahrazena konečným počtem funkčních hodnot stanovených ve zmíněných bodech zvaných uzlové (zpravidla ekvidistantních). Obecně nekonečné a spojité je tedy nahrazeno konečným a diskrétním. S tímto fenomenem se setkáme dále při numerické integraci.

Vezměme jako jiný příklad výpočtu hodnoty sinus 10 ⁰ . Definice říká, že sinus je poměr protilehlé ku přeponě odpovídajícího pravoúhlého trojúhelníka. Tato definice k výpočtu hodnoty goniometrické funkce ve skutečnosti nevede. Pokuste se odhadnout počet platných míst, které by musely mít odvěsna i přepona určené s přesností 1 mm na letištní ploše, aby výsledek byl na základě přímého měření určen na pět desetinných míst! Snadno nahlédnete, že tudy cesta nevede. Přitom v geodezii se běžně používaly až 9 místné tabulky, neboť výpočty vyžadovaly často až osm platných míst. Přitom běžné kalkulačky zajišťují hodnoty goniometrických funkcí nejméně 8 platných cifer. Přitom řešení – i když ne optimální - existuje dokonce na úrovni standardních kurzů matematické analýzy. Taylorův rozvoj nabízí vzorec ve tvaru mnohočlenu. Dodejme ještě, že matematická analýza poskytla i odhad chyby, to vše v rámci standardního alespoň dvousemestrového kurzu matematické analýzy. Lze tedy zadat požadovaný počet platných míst a určit v závislosti na něm stupeň Taylorova rozvoje. Tento problém však přesahuje rámec skript stejně, jako další sofistikovanější a v praxi užívané způsoby určení hodnot funkcí. Z uvedeného je pak patrné, že výpočetní vzorec je jistě důležitý, neméně důležitý je však i odhad chyby, které se aproximací dopouštíme.

V dalším se budeme věnovat třem spíše jednoduchým úlohám numerické matematiky:

1. Nalezení přibližných hodnot kořenů funkce na příkladě polynomu.
2. Určení přibližné hodnoty derivace jako příklad nekorektní úlohy
3. Výpočet přibližné hodnoty určitého integrálu jako příklad korektní úlohy.

Ad 1. Víme, že funkce f má v bodě  x₀ kořen, platí-li f(x₀) = 0. Ukázali jsme si, že polynom je funkce f(x) typu suma od nuly do n Sa_i xⁱ. Je definován v intervalu (-∞, ∞), ve kterém je spojitý. Platí dále (nedokázali jsme to, ale pravda to je – dokázali to jiní), že polynom n-tého stupně má n kořenů, přičemž libovolný přípustný počet jejich dvojic mohou být kořeny komplexně sdružené. Polynom lichého stupně musí mít tedy alespoň jeden reálný kořen. Navíc umíme (v jednodušších případech i prakticky) určit intervaly, ve kterých je polynom rostoucí resp. klesající. Uvedené stačí k tomu, abychom určili kořeny (kořen) polynomu y = x³ – 6 bez toho, že bychom pracovali s odmocninami. Nejprve určíme derivaci naší funkce; platí y´ = 2 x² . Je tedy derivace v celém definičním oboru kladná, funkce je rostoucí, protíná osu x jen jednou, má jediný kořen. Ten nyní určíme metodou půlení intervalu.

Začneme tabulkou:

Kořen se tedy nachází v intervalu (1, 2) , kde hodnoty funkce mění znaménko. Rozpůlíme příslušný interval; dostáváme

Řešení je tedy v intervalu (1,5; 2). V dalším kroku dostáváme

Tímto způsobem možno postupovat dál je však patrno, že bude nutno zaokrouhlovat. Z poslední tabulky je navíc patrné, že řešení bude blízko hodnotě 1,75. Tato skutečnost se v metodě půlení intervalu neuplatňuje, porušil by se tím použitý algoritmus. Pro porovnání: Výpočet je možno provést úpravou a výpočtem třetí odmocniny; dostaneme x

Závěrem je nutno upozornit na to, že metoda je zcela obecná, námi zvolený speciální případ jediného kořenu polynomu liché mocniny však poslouží k lepšímu pochopení. Problém je pouze ve správné volbě kroku. V obecném případě totiž většinou informace o uzlech předem žádné nemáme. Malá vzdálenost uzlů vede k těžkopádnosti,velká zvyšuje riziko „propásnutí“. Uvedené použití derivace může selhat – dokonce i u polynomů vyššího stupně.

Na chvíli se ještě vrátíme ke třetímu (poslednímu) kroku naší iterace. Je samozřejmé. Že lze odvodit algoritmus, který zohlední skutečnost, že uzel je blíže k jednomu kraji aktuálního intervalu. Takovýto algorimus bude efektivnější – v méně krocích se více přiblíží k správné hodnotě, bude však současně náročnější na počet operací. Dostáváme tak situaci, která je typická pro numerickou matematiku. U většiny úloh vede k cíli více postupů a úkolem numerického matematika je najít ten z nich, který je nejefektivnější z hlediska dostupného stavu hardware a zejména software. Je proto numerická matematika z části věda, z části umění.

Ad 2. V kap. 8 jsme se seznámili s postupem, vedoucím k určení směrnice tečny ke grafu funkce. Tuto směrnici jsme označili jako derivaci. Odkázali jsme také na literaturu, kde je možno nalézt mj. odpovídající odvození derivací elementárních funkcí. Pro numerickou

matematiku je však typická situace, kdy nemáme k dispozici formuli pro výpočet funkce, ale hodnoty v uzlových bodech, navíc zatížené jistou chybou ze zaokrouhlení funkční hodnoty. Je zřejmé, že zmenšováním základny h poroste vliv chyb (o kterých předpokládáme, že jsou stále stejně velké s ničím nekorelované). Určení derivace bude tedy nekorektní záležitostí, chyby v určité fázi zmenšování h začnou výrazně ovlivňovat výsledek, aby posléze zcela převážily. Je tedy nutno v  případě určování derivace postupovat obzvláště obezřetně a včas zmenšování zastavit.

Poznámka: Funkce dané formulí jsou abstrakcí, která přiřazuje hodnotu funkce každému bodu definičního oboru. Z toho plyne, že údaj o funkci na libovolně malém intervalu odpovídá nekonečně velké informaci o funkčních hodnotách. S tím souvisí některé zdánlivé paradoxy – např. to, že průběh funkce mající všechny derivace (např. kterékoliv funkce elementární) je celý určen jejím průběhem (a tedy znalostí všech derivací v bodě) na libovolně malém intervalu. Reálná situace, kdy musíme hodnoty funkce určovat v jednotlivých (uzlových) bodech k žádnému paradoxu nevede.

Ad 3. V kapitole 8 jsme si řekli, co je neurčitý integrál (a s ním související primitivní funkce) i to, že jeho základní využití souvisí s výpočtem určitého integrálu - velikostí plochy rovinného obrazce danou funkcí a mezemi určeného. Uvedli jsme si i hlavní nedostatek tohoto postupu: Jen velmi speciální třída funkcí vzniklých složením elementárních funkcí má primitivní funkci složenou pouze z elementárních funkcí. To je základní formální rozdíl oproti derivacím, kde každá složenina skupiny dost obecně vybraných funkcí dovoluje ve všech bodech, kde derivace existuje, vyjádřit ji opět ve tvaru složeného z elementárních funkcí.

Věnujme se nyní výpočtu plochy křivočarého lichoběžníku (tj. takového, který má rameno nesvírající se základnami pravé úhly ve tvaru obecné křivky). Z takovýchto lichoběžníků lze složit libovolnou plochu omezenou uzavřenou křivkou. Zabývejme se nyní případem, kdy primitivní funkci k dispozici nemáme. Pak nezbývá, než použít postupu numerického, tedy nepřesného, zato obecného. Křivočarý lichoběžník je orientován tak, že základny jsou ordináty (rovnoběžky s osu y) x = a a x = b, a   x  b a kratší rameno (tvaru úsečky) je umístěte do osy x, druhé rameno je popsáno funkcí y = f(x) v daných mezích. Uvedený lichoběžník nyní rozdělíme na n svislých pruhů o stejné šířce a nadále budeme pracovat pouze s uzlovými body – posloupností hodnot funkce v ekvidistantních bodech intervalu <a, b>. V následující tabulce jsou uvedena potřebná označení, délka kroku na ose x bude Δx = (b – a)/n

Velikost plochy vymezené křivočarým lichoběžníkem můžeme přibližně spočítat tak, že

1. každý svislý pruh nahradíme obdélníkem o výšce Δx a základně odpovídající levému uzlovému bodu,
2. každý svislý pruh nahradíme obdélníkem o výšce Δx a základně odpovídající pravému uzlovému bodu nebo
3. každý svislý pruh nahradíme lichoběžníkem o výšce Δx a základnách rovných odpovídajícím dvěma uzlovým bodům

První a druhý postup označujeme jako obdélníkovou metodu, postup třetí jako lichoběžníkovou metodu. Plochy takto vzniklých obdélníčků resp. lichoběžníků sečteme. Dostáváme postupně

1. P_l = Δx f₀.+ Δx. f₁ + …+ Δx. f_n-1 = Δx.Σ(f₀.+ f₁ + … + f_n-1)
2. P_p = Δx f₁.+ Δx. f₂ + …+ Δx. f_n = Δx.Σ(f₁.+ f₂ + … + f_n)
3. P = Δx. (f₀.+ f₁)/2 + Δx. (f₁.+ f₂)/2 + …+ Δx. (f_n-2.+ f_n-1)/2 + Δx. (f_n-1.+ f_n)/2 =
   (Δx/2). Σ( f₀.+ 2f₁.+ 2f₂ + + 2f_n-1.+f_n) = ˝.(P_l + P_p)

Nabízí se další možnosti přibližného výpočtu plochy. Např. bychom mohli modifikovat obdélníkovou metodu tak, že ze základen vezmeme vždy menší resp. vždy větší z obou krajních funkčních hodnot v uzlových bodech. Tento postup je lákavý tím, že vymezuje shora i zdola interval, ve kterém se přesný výsledek nachází. Další možnost souvisí s proložením polynomu vyššího stupně. Případ proložení křivky druhého stupně (zde je potřeba třech uzlových bodů) se nazývá Sympsonova formule. Zabývat se těmito postupy dále nebudeme, zmiňme se však o nezbytnosti odhadu chyby, které jsme se dopustili. Přirozené se jeví zmenšit vzdálenost uzlových bodů – např. dvakrát a porovnat výsledky.

Cvičení 9.1 :Uvažte, bude-li z hlediska původního výsledku velká změna vlivem zahuštění lepším nebo horším ukazatelem.