Funkce

Funkce

Definice: Mějme množinu D R. Jestliže každému xID je (podle nějakého pravidla) přiřazeno (jediné) yIH R řekneme, že pro   xID je y funkcí x.

Funkci symbolicky zapisujeme y = f(x), f je označení funkčního předpisu. Veličinu x označujeme jako nezávisle proměnnou (argument), D je tedy množina nezávisle proměnných (definiční obor funkce). Zavádíme také pojem maximální obor funkce jakožto obor všech x takových, pro která má funkční předpis smysl. Nebude-li řečeno jinak, budeme nadále uvažovat právě jej. Veličina y je závisle proměnná (funkční hodnota), H je pak množina funkčních hodnot. Celým jménem je takto definovaná funkce f jednoznačnou reálnou funkcí jedné reálné proměnné. Nadále budeme mluvit pouze o funkci a proměnných. Symbol f, ale také g či h, v geometrii d či P, nebo ve fyzice např. s či v, je formální zápis předpisu, podle kterého bude nezávisle proměnné přiřazena hodnota závisle proměnné. Naproti tomu zápis f(x) představuje konkrétní hodnotu závisle proměnné, přiřazené danému argumentu x.

Argumentem funkce může být jednoduchá nezávisle proměnná. Může to ale být opět funkce. Tak funkce y = (sin x)² , zapisovaná často ve tvaru y = sin² x je sice součinem dvou (totožných) funkcí, je však současně funkcí složenou – druhou mocninou aplikovanou na funkci sinus. Na druhé straně funkce y = sin(sin x) je typická složená jediná funkce stejně,

jako spíše se vyskytující y = sin x² nebo, což je totéž y = sin (x.x

Snadno nahlédneme, že posloupnost definovaná v předcházející kapitole, je funkce definovaná na množině přirozených čísel (nebo na její části). Specifičnost definičního oboru (jeho diskrétní charakter) vedla v minulé kapitole někdy k postupům, platným jen pro posloupnosti (např. definice limity)

Příklad 7.1 : P = p.r, r 0 , tedy D_P = R₀⁺ je příklad funkce; r je nezávisle, P závisle proměnná, p je konstanta. Snadno nahlédneme, že pro P platí P  0 , tedy H_P = R₀⁺ .

Poznámka: Stejně jako v příkladě 7.1 napříště vždy nejprve stanovíme D.

Příklad 7.2: y = a.x, aIR. Proti předcházejícímu případu se zde (na místě konstanty z př.7.1) objevuje a, tzv. parametr. Zadáním jeho hodnoty teprve vzniká z jednoparametrického množství funkcí funkce jediná. Z analytické geometrie víme, že pro různá a dostaneme různě orientované přímky vesměs procházející počátkem. Tímto způsobem nelze získat přímku x = c. Co je to za přímku?

Funkce může být v nějakém intervalu (části maximálního definičního oboru) rostoucí, klesající, nerostoucí nebo neklesající. Je zřejmé, že např. pro funkci rostoucí v intervalu musí pro každá dvě x₁ < x₂ z uvažovaného intervalu platit f(x₁) < f(x₂). Obdobně pro další tři možnosti. Zkuste zapsat pomocí symbolů všechna čtyři tvrzení!

Funkce se stejnými definičními obory můžeme skládat a vytvářet jejich kombinace. Funkce znázorňujeme pomocí tabulek a grafů. Mějme dvě funkce f a g se stejným definičním oborem D. Pak existují funkce |f|, f + g, f – g, f x g v D a také f/g tentokrát všude v D tam, kde funkce g navíc nenabývá hodnoty nula. U funkce složené je nutnou podmínkou existence, aby obor funkčních hodnot funkce vnitřní odpovídal definičnímu oboru funkce vnější.

Zkuste si zapamatovat pro pochopení další látky : Zvládnutím základů matematické analýzy získáte především dovednost určit či alespoň odhadnout tvar odpovídajícího grafu. Derivace (budou probrány dále) pak vypovídají o velikosti (malé) změny závisle proměnné - jejím přírůstku - při (malé) změně nezávisle proměnné nebo, což je totéž, o charakteru směrnice tečny (tedy o tečně jako takové) v bodech grafu pro všechna x I D, kde lze tečnu konstruovat. Grafem funkce rozumíme souhrn bodů o pravoúhlých souřadnicích [x, f(x)] pro všechna přípustná x. Termín integrál pak souvisí s velikostí plochy, kterou funkce vymezuje vzhledem k ose x – řečeno velmi zhruba.

Zabývejme se nyní podrobněji vlastnostmi funkcí.

Cvičení 7.1: Nakreslete grafy funkcí f = |x| a g = |x| / x .

Návod: Definiční obor funkce f je R, funkce g pak R – . Funkční hodnoty nejlépe najdeme tak, že nahradíme absolutní hodnotu jejím vyjádřením zvlášť pro kladná a zvlášť pro záporná x.

Věnujme se základnímu rozdílu posloupnosti na straně jedné a funkce definované na intervalu, jejíž graf je má charakter nepřerušené (samozřejmě „nevracející“ se – proč?) čáry na straně druhé. Intuitivně nazveme první případ nespojitým, druhý spojitým grafem. Také funkce g ve cvičení 7.1  vykazuje znaky nespojitosti – byť v jediném bodě. Matematika se s intuitivním přístupem nespokojí. Její identita spočívá právě v tom, že vše řádně odvodí, nemůže spoléhat na intuici či „zdravý rozum“. Jiné vědní obory – včetně fyziky – mají tyto problémy v daleko menší míře, kriterium praxe (zdravého rozumu) je obsaženo v arzenále jejich výzkumných metod. My se přesnou formulací spojitosti zabývat nebudeme; zůstaneme na pozicích „fyzikálního chápání“ problému. Nebudeme tedy speciálně uvažovat případy, kdy graf působí spojitým dojmem, funkce však spojitá není. Izolovaným bodům nespojitosti se však stejně nevyhneme - na to jsme ostatně narazili ve cvičení 7.1.

Pokud jde o definici spojitosti, řekneme si pouze princip. K tomu zavedeme pojem okolí bodu Je jím každý otevřený interval, který daný bod obsahuje. Uvědomte si, že otevřený interval neobsahuje krajní body, všechny body okolí jsou tedy vnitřní. Okolí se pak skládá ze dvou polouzavřených intervalů, které nazýváme levé a pravé okolí bodu. Nebude-li řečeno jinak, chápeme okolí jako symetrické. Obě částí (levá i pravá)   jsou pak stejně dlouhé.

Cvičení 7.2 Nakreslete si (symetrické) okolí bodu 5 na ose x celkové délky jedna délková jednotka. Co je symetrickým okolím bodu, co jeho levým (pravým) okolím?

Funkce pak bude v bodě x₀ spojitá tehdy, bude-li vždy možno nalézt okolí (značíme ho zpravidla d) tohoto bodu takové, že funkční hodnoty v něm nepřesáhnou předem zadanou (sebemenší) oboustrannou předem danou „vertikální“ toleranci (značíme zpravidla e). Nejlépe je, opět představit si danou situaci jako vědecký spor dvou jedinců usilujících o přesné pochopení pojmu spojitost: Jeden, který ve spojitost nevěří, neustále zmenšuje zmíněnou toleranci e; druhý, obhájce spojitosti vždy (nějaké, sebemenší) d okolí bodu na ose x, které je předmětem zájmu, najde. Bod o souřadnicích [x, f(x)] jako by byl umístěn uvnitř obdélníčku, v němž musí být všechny body grafu danému okolí bodu x příslušné. Tak např. v případě konstantní funkce nalezneme takové okolí libovolného bodu snadno – je jím každé okolí zkoumaného bodu. Můžeme tedy říci, že konstantní funkce je spojitá v každém bodě. V případě funkce y = x je situace také jednoduchá. Pro příslušné okolí platí d e a jde tedy o čtverec. Tím, že mi „protivník – skeptik“ zadal e , sám sebe porazil, protože tím odpověděl na otázku, jaké může být maximální d

Při používání konkrétních funkcí známých vlastností je situace poměrně jednoduchá. Dále se zabýváme dále v samostatném odstavci probranými tzv. (vybranými) elementárními funkcemi, se kterými budeme jedině dále pracovat (znáte je ze střední školy a my s nimi budeme pracovat při cvičeních). Tyto funkce jsou buď v R nebo v intervalu, který je jeho částí (nejvýše až na izolované body) spojité. Spojitost v intervalu znamená spojitost v každém bodě tohoto intervalu. Jediné, co nás pak zajímá, jak je to se spojitostí kombinací. Jistě nepřekvapí, že platí následující věta o spojitosti: Nechť funkce f a g jsou spojité v bodě x₀ , pak funkce |f|, f+g, f-g, f*g jsou spojité v bodě x_0; funkce f/g je pak spojitá v bodě x₀, je-li g(x₀) 0. Podmínky pro spojitost složené funkce formulovat nebudeme, lze je ale vytušit; jde o obdobou existence složené funkce. Zde bude zřejmě třeba spojitosti v obou odpovídajících bodech.

Vlastní a nevlastní limity v nevlastních bodech a -

Zabývejme se nyní chováním funkcí v bodech (i zobecněných) hodných zvláštní pozornosti. Pro názornost učiníme tak na příkladu. Uvažujme funkci y = 1 / (x - 5/2). Nejprve se budeme zabývat problémem, podobným (ale ne totožným – proč?) tomu, který jsme řešili u posloupností - limitou v nevlastním bodě (a podobně v bodě - , což u posloupností nebylo). Je zřejmé, že čím větší bude hodnota nezávisle proměnné, tím menší, byť stále kladná bude funkční hodnota y naší funkce. Vliv konstanty 5/2 působí sice proti, bude však klesat až k možnosti zanedbat ji. Tuto skutečnost zapíšeme v nám z posloupností povědomém tvaru pro limitu funkce v nevlastním bodě

pro x je lim 1/(x-5/2) = 0 + . Obvyklý zápis je tvaru lim 1/(x-5/2) = 0+ s tím, že x se píše pod symbol lim.

Plus, které jsme napsali za hodnotu limity (tedy bez druhého operandu) není operátorem; informuje o tom, že funkční hodnoty se k hodnotě limity blíží shora, tedy od velkých kladných hodnot na ose y.

Cvičení7.3: Sestavte tabulku, ze které bude hodnota limity patrná. Budete volit ekvidistantní nebo neekvidistantní krok pro hodnoty x?

Příklad 7.3: Uvažte rozdíl mezi limitou posloupností a právě zavedenou limitou funkce (v tomto případě říkáme limita f(x) pro x rostoucí nade všechny meze).

Je zřejmé, že posloupnost představuje výběr hodnot funkce (pravidelné vzorkování). Platí zřejmě tvrzení: Existuje-li limita funkce, pak stejnou limitu bude mít i každé její pravidelné (lze zobecnit na vhodně vybrané nepravidelné) nekonečné vzorkování. Opačně to neplatí – to bychom viděli v souvislosti s posloupností P6 pro sinus místo kosinu při volbě kroku p

Na rozdíl od posloupností zavádíme i limitu pro x blížící se k - tedy x . Je zřejmé, že platí

pro x je lim 1/(x-5/2) = 0 - . K nule blížíme se nyní od záporných čísel.

Cvičení 7.4: Sestavte tabulku, ze které bude hodnota limity patrná. Mínus za hodnotou limity značí, že funkce se ke své limitní hodnotě tentokráte blíží zdola. Obecná tvrzení o limitách právě probraných uvádět nebudeme.

Hodnota limity v nevlastním bodě může být sama také nevlastní, což pro nevlastní hodnotu limity znamená toto: Ať zvolíme jakkoliv velké číslo K > 0, pak – postoupíme-li dost daleko vpravo od počátku do jistého x₀ , získáme f(x) > K  pro všechna x > x₀.  Obdobné tvrzení platí pro nevlastní limitu - ; tentokrát je „závora“ číslo –K. Totéž lze zavést v nevlastním bodě -

Příklad 7.4: Najděte funkci, která má nevlastní limity v nevlastních bodech- a . Určitě nejméně dvě znáte! Zapište všechna příslušná tvrzení!

Řešení první části příkladu: y = x , y = x² .

Nevlastní limity (včetně jednostranných) ve vlastních bodech.

Vraťme se nyní k chování naší funkce y = 1 / (x – 2,5). V následující tabulce jsou její hodnoty pro x = -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Cvičení 7.5 Nakreslete hodnoty funkce do grafu (podobně tomu, jak jsme to dělali u posloupností). Mezi kterými hodnotami se funkce chová „podivně“, takže byste se báli spojit tam stanovené hodnoty čárou? Co učiníte, abyste záhadu blíže vysvětlili? Co můžete říci o definičním oboru dané funkce?

Zřejmě budeme muset podrobněji zkoumat interval (2, 3). Celkem snadno nahlédneme, že „kritickému“ bodu odpovídá c = 5/2 = 2,5. V tom případě je jmenovatel roven nule a funkční hodnota neexistuje. V takovémto bodě funkce není spojitá (podívejte se na to, co jsme si řekli o spojitosti, odtud to přímo plyne!). Zkoumejme chování naší funkce v levém a pravém okolí bodu c, tedy v intervalech <a, 2,5) a (2,5, b> , kde a resp. b jsou vhodně volená čísla menší resp. větší, než 2,5. V následující tabulce jsou uvedeny potřebné hodnoty pro levé okolí (přístup zleva):

Je zřejmé, že tak, jak se blížíme k hodnotě c zleva, klesá bez omezení funkční hodnota. Tuto skutečnost nebudeme přesně definovat, zapisovat ji budeme názorným způsobem

pro x c - je lim 1/(x-5/2) = - , což je opět z nouze ctnost. Obvyklý zápis je

lim 1/(x-5/2) = - se zápisem x c – pod zápisem „lim“

Forma zápisu pochází od francouzského „dělníka matematiky“ Cauchyho – čti Kóši - z konce první poloviny devatenáctého století, který mj. pobyl krátkou dobu v Praze jako doprovod z Francie vyhnaného posledního Bourbona Karla X. V Praze se mu nelíbilo (Karlovi), odešel i s doprovodem na své panství do dnešní Belgie. Jediný, kdo zde z doprovodu zůstal, byl proslulý Joachim Barrande.

Znamení – za hodnotou nezávisle proměnné, kde limitu zkoumáme znamená, že se blížíme zleva ze stany nižších hodnot (od - V tomto případě řekneme, že limita zleva funkce f v bodě c = 2,5 je -

Obdobně můžeme zkoumat funkční hodnoty z druhé   strany, tedy zprava od vyšších hodnot nezávisle proměnné:

Zde tedy řekneme, že limita zprava funkce v bodě c = 2,5 je , což zapíšeme ve tvaru

pro x c + je lim 1/(x-5/2) =

Cvičení 7.6: Oba právě probrané případy si zakreslete do grafu! Uvědomte si, že druhou tabulku musím číst „od zadu“.

Je zřejmé, že informace o směru přístupu je důležitá jen v případě, kdy přístup zleva vede k jiné hodnotě, než zprava. Je tedy přirozená definice: Funkce má v bodě c nevlastní imitu

resp. jestliže má v bodě c limitu zleva i limitu zprava, obě rovné - resp.

Na uvážení . + resp. – za hodnotou limity specifikuje pohyb ve vertikálním směru. Podobně + a – u nezávisle proměnné charakterizuje pohyb ve směru osy x. Má smysl něco podobného u limit v nevlastních bodech? (Ne, směr je vždy zevnitř.)

Příklad 7.5: Uvažte funkci y = 1/x² . Jaké bude mít limity v bodě x = 0 zleva resp. z prava?

Řešení: Snadno nahlédneme, že limity zprava a zleva se rovnají . V takovém případě řekneme, že limita (bez přívlastku) v bodě 0 je rovna

U limit v nevlastních bodech - resp. samozřejmě není třeba uvádět odkud se k nim blížíme, existuje jediná cesta zevnitř. Pokud někdo příslušný směr (správně) napíše, nechtě použil tvrzení sl. Hudcové (osobní sdělení při zkoušce 2004): „Vím, že to do nekonečna jinudy nejde, ale pro jistotu jsem směr přístupu napsala.“

Zatím jsme zavedli (i když ne zcela přesně) limity vlastní i nevlastní v nevlastních bodech a dále (jednostranné) limity nevlastní ve vlastních bodech. Limity vlastní ve vlastních bodech jsme jen zmínili (viz Na uváženi I) a mohlo by se zdát, že v tom případě jde o záležitost triviální. Skutečně pro spojitou funkci v bodě c platí, že pro x c je lim f(x) = f(c). Při zavádění derivace uvidíme, že to tak jednoduché nemusí vždy být. Jmenovitě v případě, kdy jmenovatel funkce jde v zájmovém bodě k nule. S tím jsme se setkali ve cvičení 7.1 a podrobně celou záležitost probereme na začátku další kapitoly v souvislosti se zavedením derivací. K této problematice se tedy vrátíme.

Na uvážení I: Existence limity zřejmě nepostačuje ke spojitosti. Naopak je-li funkce v bodě spojitá, má tam i limitu, která je rovna funkční hodnotě. Na druhé straně funkce má v bodě c limitu tehdy a jen tehdy, má-li tam limitu zleva i zprava a obě tyto limity se sobě rovnají.

Funkce sudé, liché a periodické.

Věnujme nyní pozornost jedné ze základních tříd funkcí - přirozené mocnině, konkrétně y = xⁿ , nIN₀.

• Pro n = 0 dostáváme konstantní funkci y = 1.
• Pro n = 1 je y = x , osa prvního a třetího kvadrantu.
• Pro n= 2 y = x² je parabola s vrcholem v počátku orientovaná vzhůru symetrická posle osy y.
• Podobně dále pro vyšší hodnoty n.

Snadno lze ukázat, že

1. pro sudé exponenty platí v každém symetrickém okolí počátku f(x) = f(-x), což v grafu odpovídá symetrii podle osy y,
2. pro liché exponenty platí v každém symetrickém okolí počátku f(x) = -f(-x), což v grafu odpovídá symetrii podle počátku.

Odtud zobecněním zavádíme pro funkce definované v symetrickém okolí počátku označení sudá funkce pro všechny funkce s vlastností uvedenou v bodu 1 a lichá funkce pro funkce s vlastností uvedenou v bodě 2.

Funkce pro které existuje t 0 takové, že platí f(x) = f(x + t) pro všechna x označujeme jako funkce periodické, t se nazývá perioda. Je-li t perioda, je také jeho libovolný přirozený násobek periodou. Existuje taková kladná perioda, která je nejmenší ze všech; tu nazýváme primitivní perioda. Periodické funkce jsou definovány na intervalu (- ). Proč?

Cvičení 7.7. Co můžeme říci o funkcích sin a cos z hlediska právě probraného?

Elementární funkce

Jistá třída často – v matematice i mimo ni – používaných funkcí získala výsadní postavení. Mají své speciální označení, jsou tabelovány a zabudovány do univerzálních kalkulaček a dalších výpočetních pomůcek. Jsou shrnuty do skupiny, zvané funkce elementární. Řadíme sem racionální mocninu, exponenciální funkci a logaritmus, funkce goniometrické (sinus, kosinus, tangens a kotangens) a odpovídající čtyři funkce cyklometrické. Zavádí se dále termín vybrané elementární funkce jako ad hoc výběr uvedených funkcí. Nejčastěji jde o výběr funkcí zařazených do osnov střední školy. My budeme nadále pracovat pouze s dále specifikovanými funkcemi, které znáte ze střední školy; vše co o nich budeme potřebovat, najdete ve starších vydáních E1 v příloze. Zabývat se jimi podrobně budeme v konkrétních příkladech ve cvičení, je však třeba znát základní vlastnosti těchto funkcí a zejména umět sestrojit (načrtnout) odpovídající graf.

Už jsme si říkali, že elementární funkce jsou spojité (nejvýše s výjimkou izolovaných hodnot nezávisle proměnné) v R   nebo v intervalu, který je jeho podstatnou částí. Podle věty o spojitosti můžeme určit, kde budou spojité kombinace elementárních funkcí. V praxi však jde spíše o určení izolovaných bodů, ve kterých funkce spojité nejsou.

Elementární funkce vedle toho, že patří k funkcím obecně známým (mj. jsou výraznou částí náplně středoškolské látky), hrají nebo hrály důležitou roli v technice i běžné praxi. Tak přirozené mocniny, vedle toho, že umožňují (přibližný) výpočet funkčních hodnot jiných funkcí na základě elementárních aritmetických operací, jsou základem polynomické regrese, tedy (nepřesného) vyjádření průběhu obecné funkce pomocí funkce zvládnutelné základními výpočetními pomůckami. Úloha gonimetrických funkcí v geodezii a kartografii či logaritmů v ještě nedávné minulosti technické praxe, je dostatečně známá.

Méně známo je to, že tyto funkce hrají důležitou roli v matematickém modelování. Tak exponenciální funkce může být použita při modelování nebržděného růstu (např. rozmnožování bakterií v prvním stadiu nemoci), logaritmická funkce pak představuje naopak velmi bržděný nárůst. Základní goniometrické funkce sinus resp. kosinus reprezentují nejjednodušší případ negativní zpětné vazby. Jinak se tyto funkce ve skutečnosti neliší od jiných funkcí. Zejména není pravdou, že by standardní definice (např. goniometrických funkcí na základě pravoúhlého trojúhelníka) mohla sloužit k efektivnímu výpočtu funkčních hodnot.

Poznámka: Uvažte, jak velká by musela být rovná plocha, aby při přesnosti měření 1 cm dovolila určit sinus daného úhlu na pět desetinných míst (což není mnoho).

Vedle elementárních funkcí si pro svou důležitost zejména v teoretické fyzice a statistice našly své místo další funkce. Nesou označení funkce speciální a zabývat se jimi nebudeme.

Na tomto místě se sluší pojednat o funkcích inverzních. Bez nároků na přesnost můžeme říci, že inverzí rozumíme záměnu závisle a nezávisle proměnné. Záměna je však možná pouze v případě, když bude zajištěna jednoznačnost inverzní funkce. Jedné hodnotě y, tedy musí odpovídat nejvýše jedno x. Nakreslete si funkci y = exp (x) a uvažte, že v tomto případě je inverze bez omezení možná. Jedné hodnotě x (z definice funkce) odpovídá jediné y, v případě exponenciály je navíc zajištěna i jednoznačnost inverzní funkce. Jedné hodnotě závisle proměnné y původní funkce odpovídá jediná hodnota nezávisle proměnné x.

Kontrolní otázka: Čím je způsobena vzájemná jednoznačnost přiřazení nezávisle a závisle proměnné u funkce y = exp (x)? (Tím, že uvedená funkce je rostoucí v celém definičním oboru) Jak by bylo nutno postupovat v případě funkce sinus? (Omezit se na interval, kde sinus roste či klesá.)

Označme standardně y = f(x). Označíme-li pak inverzní funkci k f písmenem j, pak

x = j(y) určuje stejné body v rovině x-y s tím, že nezávisle proměnná je jednou x, podruhé y. Pokud u inverzní funkce zaměníme proměnné, dostaneme funkci,která je s původní symetrická podle osy prvního a třetího kvadrantu. To je ovšem jiná funkce; je-li f = exp, je j funkce ln. Pro každé x a každou dvojici inverzních funkcí f a j platí: Aplikujeme-li na x fci f a následně j, obdržíme x. V rovině x-y tedy obdržíme body grafu funkce y = x. Této skutečnosti lze užít k testování toho, jak dobře aproximuje řada bodů v rovině funkci f. Za f(x) dosazuji testované hodnoty a aplikuji inversi. Odchylky od odpovídajících bodů přímky y = x udávají odchylnost bodů v rovině od testované funkce.

Cvičení 7.8. Přesvědčte se, že řada čísel 0,25; 0,5; 1; 2; 4; 8 jsou hodnoty exponenciály (Lze ukázat, že pokud základy logaritmu a exponenciály nesouhlasí, bude výsledkem opět přímka, nikoliv však y = x. )

Úlohy:

7.1 Mějme skupinu funkcí y = a.x + 3 ; nakreslete přímky pro a = 0; 1; -1; 10

7.2 Sestrojte funkce y = 1, y = x a y = x² ve vhodném symetrickém okolí počátku. Přesvědčte se, že opravdu platí deklarované symetrie sudých a lichých funkcí.

7.3: Najděte body nespojitosti (intervaly spojitosti, což je stejná úloha) funkce y = tg x.