Kombinatorika a pravděpodobnost

8.1. Kombinatorika

Přehled vzorců:

Permutace (bez opakování) – uspořádané n–tice z daných n prvků (skupiny, které obsahují všechny dané prvky a liší se pouze jejich pořadím).

Počet permutací z n prvků: P(n) = n! (čteme n – faktoriál)

n! = n(n–1)(n–2) .3.2.1

Definitoricky:

Variace k–té třídy z n různých prvků (bez opakování) – uspořádané skupiny o k prvcích z daných n prvků, přičemž každý prvek se vyskytuje jen jednou.

Počet variací k–té třídy z n prvků:   V(k, n) =

Kombinace k–té třídy z n různých prvků (bez opakování) – skupiny k prvků vybraných z n prvků bez ohledu na jejich uspořádání, ve kterých se každý prvek vyskytuje jen jednou.

Počet kombinací k–té třídy z n prvků: K(k, n) = =

– tzv. kombinační číslo (binomický koeficient), výraz čteme: n nad k.

Pro kombinační číslo , 0 k  n, platí:

1. = n ; = = 1 ; = 1;

= = ;

+ =

Binomická věta

Pro libovolná reálná (komplexní) čísla a, b a pro libovolné přirozené číslo n platí:

(a + b)n = =

Kombinační čísla se nazývají binomické koeficienty.

Pro (k+1) – ní člen binomického rozvoje platí: Ak+1 = , 0 k n.

Pascalův trojúhelník – je schéma kombinačních čísel, které můžeme zapsat takto: krajní čísla jsou 1 a každé další číslo se rovná součtu čísel bezprostředně nad ním.

Pro:

n = 0  1
n = 1 1 1
n = 2 1 2 1
n = 3 1 3 3 1
n = 4 1 4 6 4 1

Čísla v jednom řádku Pascalova trojúhelníka jsou koeficienty rozvoje (a + b)n pro odpovídající n.

Např. n = 3 (a + b) a a b + 3 ab b

8.2. Pravděpodobnost

Náhodný pokus – výsledek nelze předem určit, přitom jednotlivé možnosti výsledku se navzájem vylučují a jedna z nich nastane vždy. Množinu všech možných výsledků (elementárních jevů) značíme W a libovolný její prvek w

Podmnožiny množiny W nazýváme jevy a značíme A, B, C. . . Prvkům jevu A říkáme výsledky příznivé jevu A.

Jev nemožný značíme symbolem (prázdná množina), jev jistý W

Každému výsledku w I W je přiřazena pravděpodobnost p(w). Pravděpodobnosti p(w) jsou nezáporná čísla, jejichž součet je roven jedné: =

Má-li množina W m prvků a jsme-li přesvědčeni, že jsou stejně pravděpodobné, položíme p(w pro všechna w I W

Pravděpodobnost jevu A značíme P(A). Definuje se jako součet pravděpodobností výsledků příznivých jevu A, tj. P(A) = .

V pokusu, který má m stejně pravděpodobných výsledků, se pravděpodobnost jevu rovná počtu výsledků příznivých dělenému počtem všech výsledků možných: P(A) =

Základní vlastnosti pravděpodobnosti

Pro pravděpodobnost libovolného jevu A platí .

Pravděpodobnost jistého jevu je rovna jedné P(W

Pravděpodobnost nemožného jevu je rovna nule P(

Pravděpodobnost opačného jevu je doplněk pravděpodobnosti výchozího jevu do
jedné P(A´) = 1 – P(A).

Sjednocení A B znamená, že nastává aspoň jeden z jevů A, B.

Průnik A B znamená, že nastávají oba jevy, A i B.

A´ znamená opačný jev k jevu A, tj. jev, který nastává právě tehdy, nenastane-li jev A.

Pokud se jevy A a B navzájem vylučují, (A B = ), pak pravděpodobnost jejich sjednocení P(A B) = P(A) + P(B) (sčítání pravděpodobností). Totéž platí pro větší počet jevů.

Obecně je ovšem P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B).

Pro neslučitelné jevy platí: P(A B) = P(A) P(B) (násobení pravděpodobností).

Řešené příklady

Příklad 1

Pro přípustné hodnoty upravte výraz .

Řešení.

Za předpokladu n 2 je:

= = n(n –.1) – n(n –1) = 0.

Příklad 2.

Kolika způsoby můžeme spojit 10 bodů, jestliže 3 z nich leží na jedné přímce.

Řešení.

Deset bodů určuje K(2, 10) přímek, jestliže žádné 3 body neleží na jedné přímce. Tři body by určovaly K(2, 3) přímek, v našem zadání jen jednu. Celkový počet přímek:

K(2, 10) – K(2, 3) + 1 = 43.

Příklad 3.

Pro jaké x v rozvoji výrazu (x –i )¹⁰ se sedmý člen rozvoje rovná –105?

Řešení.

Sedmý člen   A₇ = .

Dále řešíme rovnici   = –105

.  Po úpravách 210 x⁴ = 105

T x = .

Příklad 4.

Ve třídě je 12 chlapců a 5 dívek. Kolika způsoby lze mezi nimi vybrat 3 zástupce tak, aby mezi vybranými zástupci byly:

a) samé dívky, b) právě dvě dívky, c) nejvýše dvě dívky

Řešení.

a)      Vybíráme pouze z dívek, nezáleží na pořadí, použijeme K(3, 5) = = 10

b)      Z 5 dívek vybíráme dvě a z 12 chlapců jednoho. Všech možností výběru je

= 10

c) Mají-li být zastoupeni nejvýše dvě dívky, tj. nebude tam žádná, bude jedna nebo dvě. Počet všech možností je tedy = 220 + 5

Úlohy k řešení

Zvětší-li se počet prvků o dva, zvětší se počet permutací (bez opakování) dvacetkrát. Kolik bylo prvků?
[ n = 3]

Kolik čtyřciferných čísel lze sestavit z číslic 1, 2, 3, 4, 5, jestliže se v napsaném čísle žádná číslice neopakuje?
[ 120 ]

Kolik různých dvouciferných čísel je možno sestavit z číslic 1, 2, 3, 4, 5, když se nemá ani v jednom čísle žádná číslice opakovat?
[ V(2, 5) = 20 ]

Z kolika prvků je možno vytvořit 420 variací druhé třídy bez opakování?
[ n = 21 ]

Zmenšíme-li počet prvků určité množiny o dva, zmenší se počet všech jejich permutací dvacetkrát. Určete původní počet prvků.
[ n = 5 ]

Dokažte:
a) n! + n² (n – l) ! = (n + l) !

b) (n + l) ! – n ! = n .n !
[ Po rozepsání levé strany : a) n! + n.n.(n–l)! = n! + n.n! = (n+1).n! = (n+1)!
b) (n+l)n! – n! = n!(n + l – l) = n .n! ]

Zjednodušte:
a) , b) ,
c)
[ a) 1, b) 2, c) 0 ]

Vyjádřete jedním kombinačním číslem:
a) , b) , c) ,
d) , e)
[ a) , b) , c) , d) , e) ]

Řešte rovnice v R a proveďte zkoušku:
a) , b) + = 4 c) = 4,
d) x! = 210(x – 2)! e)
[ a) x = 4 b) x = 4, c) x = 4, d) x = 15,
e) (n = 4 k = 1) (n = 4 k= 3) (n = 2 k = 1)]

V oboru komplexních čísel řešte rovnice:
a) (1 – 2i)z = 2– i(2 + i), b) z² = z + , c) z + = z z
a) z = 7 + 4i, b) z = 0 z = 2, c) z = 0 z = –2 z = 2

Určete, který člen binomického rozvoje obsahuje x³.
sedmý člen

Kolik různých tříciferných čísel lze utvořit pomocí číslic dělitelných třemi, nemá-li se žádná číslice opakovat?
[ 3! = 6 ]

Kolik trojzvuků je možno utvořit z 8 tónů?
[ = 56 ]

Kolika způsoby je možno vytáhnout 4 karty z 32 karet?
[ = 35 960 ]

Kolik je možných tipů ve Sportce, když tipujeme na každém tiketu jako jedno ze šesti čísel trojku? (V osudí je vloženo celkem 49 míčků, očíslovaných od l do 49.)
[ = 1 712 304 ]

Kolik přímek je určeno 8 body v rovině, z nichž žádné 3 neleží v jedné přímce?
[= 28 ]

Náhodně sestavíme trojciferné číslo z číslic l,2,3. Jaká je pravděpodobnost, že vzniklé číslo je větší než 300?
[ 1/3 ]

Jaká je pravděpodobnost, že při dvou hodech pravidelnou hrací kostkou nepadne ani jedna šestka?
[ (5/6)² ]

Jaká je pravděpodobnost, že přirozené číslo, náhodně vybrané z čísel l až 50 není dělitelné pěti?
[ A - náhodně vybrané přirozené číslo z čísel 1 až 50 není dělitelné pěti
- opačný jev k jevu A , P() = P(A) = 1 – P() = 0,8 ]

Házíme dvakrát hrací kostkou. S jakou pravděpodobností součet bodů z těchto dvou hodů bude větší než 7?
[ P = 15/36 = 5/12 = 0,416 ]

V osudí je 10 koulí stejné velikosti, z nichž jsou 4 bílé a 6 červených.Náhodně vybereme 3. S jakou pravděpodobností je alespoň jedna bílá?
[ A - alespoň jedna vybraná koule je bílá, - žádná vybraná koule není bílá
P() = , P(A) = 1 – P() = ]

Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěmi kostkami
a) padne součet 10 ? b) padnou jen lichá čísla ?
[ a) 1/12, b) 1/4 ]

Sklad zásobuje 10 prodejen. Rozvoz zboží se vždy uskutečňuje třemi jízdami. Při první jízdě mají být zásobeny prodejny 1 - 5 (v libovolném pořadí), při druhé jízdě prodejny 6 - 8 (v libovolném pořadí) a při třetí jízdě prodejny 9 a 10, opět v libovolném pořadí. Kolik je různých pořadí dodávek za těchto podmínek?
[ 5!3!2! = 1440 ]

V krabici je 16 výrobků bezvadných a 4 vadné. Kolikerým způsobem lze při náhodném výběru 5 kusů vybrat:
a) pouze bezvadné výrobky, b) 4 výrobky bezvadné, 1 vadný ,
c) 4 výrobky vadné, 1 bezvadný.
[ a) , b) , c) ]

V dostihu běží 5 koní. Kolika způsoby mohou být obsazena první tři místa v cíli? (Předpokládáme, že na tomtéž místě nemohou současně doběhnout dva koně.)
[ 60 způsobů ]

Pomocí binomické věty určete:
a) 3. člen rozvoje ( 1 + i )⁷ , b) 20. člen rozvoje (1 + i)³⁵
[ a) A₃ = – = –21, b) A₂₀ = –i ]

S jakou pravděpodobností při hodu třemi kostkami padnou samé šestky?
[ (1/6)³]

Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybrané telefonní číslo končí trojkou?
[ 1/10]

Jaká je pravděpodobnost, že libovolné přirozené číslo začíná lichou číslicí?
[ 1/2 ]

Pro jaké x v rozvoji výrazu (x – )⁹ se třetí člen rozvoje rovná –108?
[ x = –1]

S jakou pravděpodobností při šesti hodech hrací kostkou padnou pouze lichá čísla?
[ P = 0,016]

Házím desetkrát hrací kostkou. S jakou pravděpodobností
a) šestka nepadne ani jednou , b) šestka padne alespoň jednou.
[ a) P = 0,162, b) P = 0,838 ]

Test č. 8

U každé úlohy je právě 1 odpověď správná.