Scrigroup - Documente si articole

     

HomeDocumenteUploadResurseAlte limbi doc
BulgaraCeha slovacaCroataEnglezaEstonaFinlandezaFranceza
GermanaItalianaLetonaLituanianaMaghiaraOlandezaPoloneza
SarbaSlovenaSpaniolaSuedezaTurcaUcraineana

BiologieBudovaChemieEkologieEkonomieElektøinaFinanceFyzikální
GramatikaHistorieHudbaJídloKnihyKomunikaceKosmetikaLékaøství
LiteraturaManagementMarketingMatematikaObchodPoèítaèùPolitikaPrávo
PsychologieRùznéReceptySociologieSportSprávaTechnikaúèetní
VzdìláníZemìdìlstvíZemìpisžurnalistika

LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

matematika



+ Font mai mare | - Font mai mic



DOCUMENTE SIMILARE

TERMENI importanti pentru acest document

limita a spojitost funkce

Definice: Okolím reálného èísla  a  nazýváme otevøený interval  , kde  d  je libovolné kladné èíslo („delta okolí“). Je to tedy množina reálných èísel  x, které vyhovují nerovnostem  , neboli  .



Geometricky znaèí okolí bodu a úseèku délky  2d, se støedem v bodì  a. èíslo d  se nìkdy nazývá polomìr okolí. Krajní body úseèky  a + d,  a ‑ d  k úseèce nepatøí

Jestliže množinu reálných èísel rozšíøíme i o nevlastní èísla  +¥ ¥, pak mùžeme analogicky definovat také okolí tìchto nevlastních bodù.

Okolí èísla  +¥  nazveme interval  (K, ¥), tj. množinu všech bodù, pro nìž platí  x > K  a podobnì okolím èísla  ‑¥  bude interval  (‑¥, K), tj. množina všech bodù, pro nìž platí  x < K.

Poznámka: Zavedené „delta okolí“ bodu  a  znaèíme nìkdy  Ud(a), resp. zkrácenì  Ud. Analogicky okolí bodu  +¥, resp.  ‑¥, mùžeme znaèit  UK(+¥), resp.  UK(‑¥

Definice: Èíslo  A  se nazývá limitou funkce  f  v bodì  a, jestliže ke každému libovolnému  e > 0  existuje okolí bodu  a takové, že pro každou hodnotu argumentu  x I Ud(a), x ¹ a, je splnìna nerovnost .

Zápis :

  tak, že Þ

Geometrický význam

Splnìní nerovnosti    tedy    pro jakkoliv malé  e < 0  znamená, že hodnoty funkce  f(x)  pro ta x, která leží v okolí bodu  a, tedy pro nìž platí  , musí ležet v pásu  L  šíøky  2e , tj. v intervalu  . Jaká je hodnota funkce v bodì a, nebo zda vùbec existuje, pøitom nezáleží.

Limita funkce v nevlastním bodì

Definice zùstává v platnosti i pro pøípad, že  x  ¥, resp.  x  ¥

 tak, že  je ,

tzn. že ke každému libovolnému  e > 0  musí existovat èíslo  K  tak, aby pro všechna  x > K  platila nerovnost  

a

 tak, že   je ,

tzn. že ke každému libovolnému  e > 0  musí existovat èíslo  K tak, aby pro všechna  x < K  platila nerovnost  

Geometrická interpretace   je na obrázku.

Splnìní nerovnosti    pro jakkoliv malé  e > 0  znamená, že funkèní hodnoty  f(x)  pro všechna  x > K  musí ležet v pásu šíøky  2e, v intervalu  .

Nevlastní limita funkce

Definice: Funkce  f(x)  má v bodì a  nevlastní limitu +¥, když ke každému zvolenému èíslu C existuje okolí  Ud(a)  takové, že pro každé  x I Ud(a), x ¹ a, je splnìna nerovnost  f(x) > C.

Zápis :

 tak, že pro

resp. (pro ¥

tak, že pro

Geometrická interpretace  

Funkce mùže mít nevlastní limitu i v pøípadì, že  x  ¥, resp.  x  ¥

  tak, že pro  x > K  Þ  f(x) > C

  tak, že pro  x > K  Þ  f(x) < C

  tak, že pro  x < K  Þ  f(x) > C

  tak, že pro  x < K  Þ  f(x) < C

Geometrická interpretace

Jednostranné limity funkcí

Èasto potøebujeme vyšetøovat, resp. dokazovat limity funkcí, pokud x  volíme v levém okolí bodu a, Ud (a), tj. volíme ta x, pro nìž platí  a ‑ d < x < a, resp. v pravém okolí bodu  a, Ud (a), tj. volíme ta x, pro nìž platí  a < x < a + d. Tìmto limitám øíkáme „limita zleva“, znaèíme ji   , resp. „limita zprava“, znaèíme ji  .

Jednostranné limity mohou být buï vlastní (tzn. koneèná èísla) nebo nevlastní (tzn. buï  +¥  nebo  ‑¥). Platí

Û  =

Nìkteré dùležité limity

Praktický výpoèet limity funkce

Hodnotu limity vypoèteme pøímo použitím vìt o limitách. Napø.

Pøi výpoètu limity zlomku   dospíváme èasto k výrazu:

typu „“. Hodnotu limity pøímo nelze urèit. Úpravu provádíme tak, že se snažíme zlomek zkrátit výrazem konvergujícím k nule. Napø.

A)

B)

typu „“. Zde se jedná o limitu nevlastní. Její existenci a urèení provedeme výpoètem obou jednostranných limit. Napø.

A) (výraz „“). Zda tato nevlastní limita existuje, rozhodneme výpoètem obou jednostranných limit

, Þ nevlastní limita neex.

Použijeme známých limit. Napø.

Limitu v ¥ urèujeme podobnì jako limitu posloupnosti. Napø. 

Spojitost funkce

Když jsme vyšetøovali existenci limity funkce f v bodì a, nemusela být hodnota funkce f(a) vùbec definovaná. Chceme‑li vyšetøovat spojitost funkce v bodì a, bude mít hodnota f(a) dùležitý význam.

Definice: Funkce f je spojitá v bodì a, jestliže v tomto bodì má limitu a ta se rovná funkèní hodnotì f(a), tedy

Napø. funkce f(x) = v bodì 1 má koneènou limitu,

Ale f(x) v bodì 1 není definovaná („“) a proto funkce f(x) v bodì 1 není spojitá.

Poznámka1: Body nespojitosti dìlíme na tøi druhy :

Odstranitelná nespojitost: Existuje koneèná limita v bodì, ale funkce není v nìm definovaná.

Koneèný skok: Obì dvì jednostranné limity jsou koneèné a rùzné.

Nekoneèný skok: Aspoò jedna z jednostranných limit je nevlastní nebo neexistuje.

Poznámka2: Je‑li funkce spojitá v každém bodì intervalu (a,b), nazýváme ji spojitou funkcí v otevøeném intervalu (a,b) . V pøípadì, že se jedná o interval uzavøený <a,b>, musí být funkce spojitá ve všech vnitøních bodech, v bodì a spojitá zprava a v bodì b spojitá zleva.

Nìkteré dùležité vìty:

Vìta : Nech funkce f je spojitá v uzavøeném intervalu <a,b> a nech èísla f(a), f(b) mají rùzná znaménka, tj. f(a).f(b) < 0. Pak existuje takové èíslo cI(a,b), že f(c) = 0.

Vìta : (1. vìta Weierstrassova : o omezenosti funkce)

Jestliže funkce f je v uzavøeném intervalu <a,b> spojitá , pak je v tomto intervalu ohranièená.

V pøedpokladu této vìty je podstatné, že funkce je spojitá ve všech bodech uzavøeného intervalu <a,b>. Napø. funkce   je spojitá v intervalu (0,1> a je v (0,1> neomezená.

Vìta : (2. vìta Weierstrassova : o maximu a minimu funkce)

Jestliže funkce f je v uzavøeném intervalu <a,b> spojitá , pak existuje v tomto intervalu aspoò jeden bod C1 , ve kterém funkce f nabývá své nejvìtší hodnoty, a aspoò jeden bod C2 , ve kterém funkce f nabývá své nejmenší hodnoty.

V pøedpokladu této vìty je opìt podstatné, že funkce je spojitá ve všech bodech uzavøeného intervalu <a,b>. Napø. funkce   je spojitá v intervalu (0,1> ale maximum zde nemá.

Vìta : (Bolzanova)

Funkce f spojitá v uzavøeném intervalu <a,b> , nabývá všech hodnot mezi èísly f(a), f(b).



Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare



DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 793
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2025 . All rights reserved