| CATEGORII DOCUMENTE |
| Bulgara | Ceha slovaca | Croata | Engleza | Estona | Finlandeza | Franceza |
| Germana | Italiana | Letona | Lituaniana | Maghiara | Olandeza | Poloneza |
| Sarba | Slovena | Spaniola | Suedeza | Turca | Ucraineana |
DOCUMENTE SIMILARE |
|
TERMENI importanti pentru acest document |
|
Definice: Okolím
reálného èísla a nazýváme
otevøený interval 
,
kde d je libovolné kladné èíslo („delta okolí“).
Je to tedy množina reálných èísel x,
které vyhovují nerovnostem 
,
neboli 
.
Geometricky znaèí okolí bodu a úseèku délky 2d, se støedem v bodì a. èíslo d se nìkdy nazývá polomìr okolí. Krajní body úseèky a + d, a ‑ d k úseèce nepatøí
Jestliže množinu reálných èísel rozšíøíme i o nevlastní èísla +¥ ¥, pak mùžeme analogicky definovat také okolí tìchto nevlastních bodù.
Okolí èísla +¥ nazveme interval (K, ¥), tj. množinu všech bodù, pro nìž platí x > K a podobnì okolím èísla ‑¥ bude interval (‑¥, K), tj. množina všech bodù, pro nìž platí x < K.
Poznámka: Zavedené „delta okolí“ bodu a znaèíme nìkdy Ud(a), resp. zkrácenì Ud. Analogicky okolí bodu +¥, resp. ‑¥, mùžeme znaèit UK(+¥), resp. UK(‑¥
Definice: Èíslo A se nazývá limitou funkce f v bodì
a, jestliže ke každému
libovolnému e > 0 existuje okolí
bodu a
takové, že pro každou hodnotu argumentu x I Ud(a), x ¹ a, je splnìna nerovnost 
.
Zápis :
tak, že 
Þ
Geometrický význam
Splnìní nerovnosti
tedy 
pro jakkoliv malé e < 0
znamená, že hodnoty funkce f(x) pro ta x, která leží v okolí bodu a, tedy pro nìž platí ,
musí ležet v pásu L šíøky 2e , tj. v intervalu 
.
Jaká je hodnota funkce v bodì a, nebo
zda vùbec existuje, pøitom nezáleží.
Definice zùstává v platnosti i pro pøípad, že x ¥, resp. x ¥
tak, že 
je ,
tzn. že ke každému libovolnému e > 0 musí existovat èíslo K tak, aby pro
všechna x > K platila nerovnost
a
tak, že 
je ,
tzn. že ke každému libovolnému e > 0 musí existovat èíslo K tak, aby pro
všechna x < K platila nerovnost
Geometrická interpretace 
je na obrázku.
Splnìní nerovnosti
pro jakkoliv malé e > 0
znamená, že funkèní hodnoty f(x) pro všechna
x > K musí ležet v pásu šíøky 2e, v intervalu .
Definice: Funkce f(x) má v bodì a nevlastní limitu +¥, když ke každému zvolenému èíslu C existuje okolí Ud(a) takové, že pro každé x I Ud(a), x ¹ a, je splnìna nerovnost f(x) > C.
Zápis :
tak, že pro 
resp. (pro ¥
tak, že pro 
Geometrická interpretace
Funkce mùže mít nevlastní limitu i v pøípadì, že x ¥, resp. x ¥
tak, že pro x > K Þ f(x) > C
tak, že pro x > K Þ f(x) < C
tak, že pro x < K Þ f(x) > C
tak, že pro x < K Þ f(x) < C
Geometrická interpretace
Èasto potøebujeme vyšetøovat, resp. dokazovat
limity funkcí, pokud x volíme v
levém okolí
bodu a, Ud (a), tj. volíme ta x, pro nìž platí a ‑ d < x < a, resp. v pravém okolí bodu a, Ud (a), tj.
volíme ta x, pro nìž platí
a < x < a + d. Tìmto limitám øíkáme „limita zleva“, znaèíme ji 
,
resp. „limita
zprava“,
znaèíme ji 
.
Jednostranné limity mohou být buï vlastní (tzn. koneèná èísla) nebo nevlastní (tzn. buï +¥ nebo ‑¥). Platí
Û 
= 
Hodnotu limity vypoèteme pøímo
použitím vìt o limitách. Napø.
Pøi výpoètu limity zlomku 
dospíváme èasto k výrazu:
typu „
“.
Hodnotu limity pøímo nelze urèit. Úpravu provádíme tak, že se snažíme zlomek
zkrátit výrazem konvergujícím k nule. Napø.
A) 
B) 
typu „
“.
Zde se jedná o limitu nevlastní. Její existenci a urèení provedeme výpoètem
obou jednostranných limit. Napø.
A) 
(výraz „
“).
Zda tato nevlastní limita existuje, rozhodneme výpoètem obou jednostranných
limit
,
Þ
nevlastní limita neex.
Použijeme známých limit. Napø.
Limitu v ¥ urèujeme podobnì jako limitu posloupnosti. Napø.
Když jsme vyšetøovali existenci limity funkce f v bodì a, nemusela být hodnota funkce f(a) vùbec definovaná. Chceme‑li vyšetøovat spojitost funkce v bodì a, bude mít hodnota f(a) dùležitý význam.
Definice: Funkce f je spojitá v bodì a, jestliže v tomto bodì má limitu a ta se rovná funkèní hodnotì f(a), tedy
Napø. funkce f(x) =
v bodì 1 má koneènou limitu,
Ale f(x) v bodì 1 není definovaná („“)
a proto funkce f(x) v bodì 1 není
spojitá.
Poznámka1: Body nespojitosti dìlíme na tøi druhy :
Odstranitelná nespojitost: Existuje koneèná limita v bodì, ale funkce není v nìm definovaná.
Koneèný skok: Obì dvì jednostranné limity jsou koneèné a rùzné.
Nekoneèný skok: Aspoò jedna z jednostranných limit je nevlastní nebo neexistuje.
Poznámka2: Je‑li funkce spojitá v každém bodì intervalu (a,b), nazýváme ji spojitou funkcí v otevøeném intervalu (a,b) . V pøípadì, že se jedná o interval uzavøený <a,b>, musí být funkce spojitá ve všech vnitøních bodech, v bodì a spojitá zprava a v bodì b spojitá zleva.
Nìkteré dùležité vìty:
Vìta : Nech funkce f je spojitá v uzavøeném intervalu <a,b> a nech èísla f(a), f(b) mají rùzná znaménka, tj. f(a).f(b) < 0. Pak existuje takové èíslo cI(a,b), že f(c) = 0.
Vìta : (1. vìta Weierstrassova : o omezenosti funkce)
Jestliže funkce f je v uzavøeném intervalu <a,b> spojitá , pak je v tomto intervalu ohranièená.
V pøedpokladu této vìty je podstatné, že funkce
je spojitá ve všech bodech uzavøeného intervalu <a,b>. Napø. funkce 
je spojitá v intervalu (0,1> a je v (0,1> neomezená.
Vìta : (2. vìta Weierstrassova : o maximu a minimu funkce)
Jestliže funkce f je v uzavøeném intervalu <a,b> spojitá , pak existuje v tomto intervalu aspoò jeden bod C1 , ve kterém funkce f nabývá své nejvìtší hodnoty, a aspoò jeden bod C2 , ve kterém funkce f nabývá své nejmenší hodnoty.
V pøedpokladu této vìty je opìt podstatné, že
funkce je spojitá ve všech bodech uzavøeného intervalu <a,b>. Napø. funkce je spojitá v intervalu (0,1> ale maximum zde nemá.
Vìta : (Bolzanova)
Funkce f spojitá v uzavøeném intervalu <a,b> , nabývá všech hodnot mezi èísly f(a), f(b).
|
Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare |
Vizualizari: 793
Importanta: 
Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2025 . All rights reserved
