Lineární (vektorové) prostory

Lineární (vektorové) prostory

Opakování: Co jsou vektory ve fyzice, jak souvisí šipky (orientované úsečky) v 2D a 3D s dvojicí, trojicí čísel zvaných souřadnice? Nulový vektor ve fyzice souvisí s akcí a reakcí. Vektoru v algebře v případě 2D nebo 3D odpovídá volný vektor ve fyzice.

Má-li algebraický vektor začátek v daném bodě, mluvíme o umístění vektoru (do daného bodu, typicky do počátku). Umístění odpovídá vázanému vektoru ve fyzice. Newtonovským fyzikům stačila 2D a 3D úloha. Tu pak matematici formálně zobecnili na n-rozměrný vektor, což se ukázalo velmi užitečné nejen ve fyzice, ale zejména v dalších aplikacích např. v marketingovém průzkumu.

Metodická poznámka: Snažte se všechno, co bude dál řečeno o vektorech obecně, představit si pro šipky v rovině!

Definice lineárního vektorového prostoru. Mějme množinu L a nechť jsou pro její prvky x resp. y (nějak, zpravidla přirozeně) definována dvě základní pravidla

• sčítání prvků,
• násobení prvku reálným číslem.

Jestliže platí:

• Je-li xIL, yIL  je x + y I L a
• je-li cIR a xIL  je c.xIL 

a pokud pro uvedené operace platí dále zmíněná (ne podrobně probraná) základní pravidla (axiomy), jsou prvky xIL nazývány vektory a L lineárním vektorovým prostorem.

Jinými slovy platí-li, že součet kterýchkoliv dvou vektorů z L je vektor z L a násobek reálným číslem vektoru z L je také z L, je množina L lineárním prostorem. Přitom sečítání vektorů a násobení vektorů čísly je popsáno 8 základními axiomy. Nebudeme je uvádět, odpovídají vám známým axiomům pro počítání s  reálnými čísly. Jde tedy zejména.o platnost zákonu komutativního, asociativního a distributivního a dále o zavedení nulového prvku. Konkrétně platí o = x + ((-1).x) . Rozmyslete si význam závorek! Lze některé vynechat?

Přímým důsledkem obou základních pravidel je lineární kombinace vektorů. Mějme k vektorů x₁ až x_k I L a k reál.čísel a₁ až a_k. Pak výraz a₁ x₁ + … + a_k x_k = S a_j x_j I L se nazývá vektor lineární kombinace vektorů x₁ až x_k. V zápise sumy chybí z technických důvodů záznam o indexech – učiňte tak sami! Označíme-li lineární kombinaci x; pak platí x I L. Ukažte pomocí základních pravidel, že tomu tak je!

S lineární kombinací souvisí lineární závislost . N-tice vektorů je lineárně závislá, jestliže existuje taková n-tice reálných čísel , že platí Sc_i x_i = 0 a alespoň jedno c_i je různé od nuly. Lze jednoduše ukázat, že vektory tvořící lineární kombinaci spolu s výsledným vektorem lineární kombinace tvoří skupinu vektorů lineárně závislých a naopak ve skupině lineárně závislých vektorů existuje alespoň jeden, který je lineární kombinací ostatních. Skupina vektorů, která není lineárně závislá nazývá se lineárně nezávislá.

Příklad 3.1 (E1 str. 168): Nechť L je množina reálných čísel, na které definujeme pro reálná čísla „obvyklým“ způsobem sečítání vektorů a násobení vektoru číslem. Uvažte, že L splňuje předpoklady pro to, aby byla vektorovým prostorem: Pro vektory platí základní pravidla o sečítání a násobení číslem; jmenovitě platí komutativní záklon, existuje nulový prvek.

Příklad: 3.2 Uvažujte prostor fyzikálních volných vektorů v rovině. Pomocí pravidel pro působení sil ukažte, že platí obě základní pravidla pro lineární prostor a dále, že platí komutativní zákon, asociativní zákon pro sčítání vektorů a že existuje nulový prvek.

Existuje jistý, nikoliv nutně minimální počet vektorů z L takových, že každý vektor z L je jejich lineární kombinací. Tato skupina se nazývá určující skupina vektorů. Množina všech vektorů z L se pak nazývá obal určující skupiny vektorů. Minimální skupina určujících vektorů zove baze.

Poznámka: Bazí existuje nekonečné množství. Např. v lineárním prostoru šipek v rovině tvoří bázi každé dva nerovnoběžné vektory.

Počet vektorů v bazi je hodnost (dimenze) lineárního prostoru.

Aritmetický lineární prostor

E1 str.170

Nejdůležitějším lineárním vektorovým prostorem je prostor aritmetický (lineární). Aritmetický lineární prostor V_n dimenze n je prostor vektorů - uspořádaných n-tic reál čísel (souřadnic, složek) s přirozeným způsobem zavedeným sčítáním vektorů a násobením vektoru číslem. Tím rozumíme, to, že v každé dimensi odděleně pracujeme se složkami jako s reálnými čísly. Z toho mj. plyne podle př. 3.1, že skutečně jde o lineární prostor.

Platí: Pro x = (x_i) IV_n y = (y_i)IV_n, c_iIR je x + y = (x_i)+ (y_i) = (x_i + y_i) I V_n, a obdobně pro násobení číslem. Zapište sami! Zmíněných 8 axiomů platí, zde jde opakovaně o základní axiomy pro reálná čísla (v každí dimenzi samostatně).

Lze ukázat, že lineární prostory stejné dimenze jsou vzájemně převoditelné – ekvivalentní. Vše, co odvodíme pro aritmetické lineární prostory, platí obecně, tedy pro všechny lineární prostory, je pouze třeba respektovat dimenzi. Slovo lineární nebudeme nadále uvádět.

Podprostor aritmetického prostoru je podmnožinou V_n uzavřenou vzhledem ke sčítání a násobení číslem. Příklad :Rovina v prostoru v případě 3D fyzikálních volných vektorů. Pomocí vektorů z dané roviny lineární kombinací nedosáhnu jinam než právě do libovolného bodu dané roviny. Nejjednodušeji dostanu podprostor tak, že vypustím některou souřadnici (případně ji položím rovnu konstantě). Z 3D prostoru vyberu tím rovinu obsahující dvě osy (rovnoběžnou s některou dvojicí os).

Cvičení 3.1:Uvažte na základě vašich znalostí ze střední školy, že fyzikální 2D a 3D vektory jsou ekvivalentní V₂ resp. V₃;uvažte dále, že sečítání sil a násobení síly konstantou splňuje základní pravidla lineárního prostoru. Co je v jednom a druhém případě vektor nulový? (akce a reakce ve fyzice). Co se stane, položíme-li v 3D případě z = 0?

Již jsme říkali, že matematici zobecnili uspořádané dvojice resp. trojice na n – tice; je to smysluplné – respondent v marketingovém výzkumu je obecně popsán n veličinami, kvantifikovanými odpověďmi na n otázek.

Zavedení nejpřirozenější báze aritmetického lineárního prostoru, kterou budeme nadále nazývat základní, je prosté. Tvoří ji skupina n základních vektorů. I-tý základní vektor má na i-tém místě jedničku, jinde nuly, zapisujeme obecně e_i, i=1,…,n , tedy např. e₃ = (0, 0, 1, 0,…,0) v prostoru libovolné dimenze. Ve dvojrozměrném resp. trojrozměrném prostoru píšeme často i a j resp. i, j a k místo e₁ a e₂ resp. e₁ , e₂  a e₃ . Vyjádření vektoru v této bázi je jednoduché a názorné. To uvidíme dále na příkladech.

Cvičení 3.2: HC str. 101 cvičení na rozcvičení.

• V závodě se vyrábí šest druhů výrobků. Jakým vektorem můžeme popsat tuto situaci?
• Čemu se rovná druhá a čtvrtá složka vektoru a = (-1; 2; 0; 3; -2; 5) ?
• Napište čtyřsložkový nulový vektor a všechny čtyřsložkové základní vektory!
• HC 8: Jsou dány vektory a = (1, 1) , b = (0,1) , c = (-1, 2) . Najděte vektor x , který je řešením rovnice 2x + a = 3b +3x + c [ x = (2, -4) ]

Uvědomte si, že výpočty se opravdu provádějí odděleně pro jednotlivé složky. Obecně tedy vektorová rovnice ve V_n odpovídá  n lineárním algebraickým rovnicím v R.

Cvičení 3.3 HC 15. Zjistěte, zda vektor c = (2,3) lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů a = (1, 1) a b = (2, 2).

Odpověď: Nelze, řešení (soustava dvou algebraických lineárních rovnic o dvou neznámých) vede ke sporu. Ze dvou kolineárních (rovnoběžných) vektorů nelze určit obecný vektor v rovině. Nakreslete si příslušný obrázek!

Obdobně HC př.12 str. 109 Zjistěte, zda vektor b = (2, 6) lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů a₁ = (1;2) ; a₂ = (2, 4) . hledáme k₁; k₂ reálná taková, aby b = k₁ a₁ + k₂ a₂ = Vyjdou 2 rovnice, které vedou ke sporu.

Výsledek: Nelze, a₁ a a₂ jsou kolineární (rovnoběžné), b s nimi kolineární není.

Cvičení 3.4: Vyjádřete vektor d = (1, 2) jako lineární kombinaci dvou vektorů a = (1, 0) , b = (2, -1).

Návod: Vektory a a b nejsou vzájemně rovnoběžné, úloha vede na řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. Zapište požadovanou lineární kombinaci pro obě dimense, řešte soustavu. Efektivní způsob řešení soustav se naučíme později, zde je situace jednoduchá. Řešením je soustava c₁+ 2*c₂= 1 | -1*c₂= 2 odkud c₁= 5, c₂= -2 .

Cvičení 3.5: HC 16 Vyjádřete vektor a = ((1, 2, -3) jako lineární kombinaci základních vektorů.

Poznámka: Cvičení 3.5 ukazuje, jak funguje základní (nejjednodušší) baze. Zápis (x, y, z) v kartézské soustavě (uvědomte si, co to je!) je totéž, co x.e₁ + atd. Druhá verze konkrétně říká: Konstruuj šipku ve směru osy x délky x a navaž na ni šipku délky y ve směru osy y a totéž pro osu z. Na druhé straně zápis (x, y, z) se může vztahovat k libovolné bazi, proto musí být baze předem známá. Tak tomu bylo v cv. 3.4, kde vektory a a b tvořily bazi, nikoliv však základní.

Lineární prostor L se skalárním součinem E1 str. 186 Je to takový lineární prostor V_n, ve kterém je každé dvojici vektorů navíc přiřazeno reálné číslo, pro které platí jisté (dosti obecné) předpoklady, např. záklon komutativní. Píšeme x . y . V aritmetickém prostoru V_n , na který se omezíme, zavádíme skalární součin vztahem x . y = Sx_i y_i (pro všechna přípustná i) Uvědomte si, že komutativní zákon v tom případě skutečně platí! Při rovnosti skalárního součinu 0 mluvíme o ortogonalitě vektorů. Zavádíme dále absolutní hodnotu vektoru jako abs(u) = sqrt (u.u) = sqrt (Su_i u_i) >= 0. S touto definicí dobře korespondují fyzikální vektory v 2D a 3D – (délka šipky podle Pythagorovy věty). Vektor xI V_n s absolutní hodnotou rovnou jedné se nazývá jednotkový.

Dále zavádíme kosinus zobecněného úhlu x a y vztahem cos^* (x, y = x . y./ (abs(x) abs(y)). Protože úhel neorientujeme, je to vždy ten menší z obou výplňkových sevřených úhlů, je proto kosínem určen jednoznačně i sevřený (zobecněný) úhel. Nakreslete příslušný obrázek!

Poznámka: Ve 2D a 3D jde o skutečný kosinus a ortogonalita je kolmost, jak ji známe z geometrie. U vyšších dimenzí názorná představa selhává, řada praktických oborů, jako např. zpracování dat se bez vícedimenzionálních prostorů neobejde.

Je-li kosínus sevřeného úhlu roven 1, jsou vektory v 2D a 3D rovnoběžné. V souladu s tím zavádíme ve vícerozměrných prostorech zobecněnou rovnoběžnost . Dva rovnoběžné vektory mají sobě odpovídající souřadnice ve stejném poměru. Dokazovat to nebudeme, ale přesvědčte se o tom, že tvrzení je pravdivé výpočtem sevřeného úhlu dvou vektorů, které mají sobě odpovídající souřadnice úměrné!

Metodická poznámka: V této a zejména v další kapitole je nutno znát základy počítání se sumami, včetně sum dvojitých. V přednášeje této problematice věnován odpovídající prostor.

Zavedení skalárního součinu má zásadní vliv na základní bazi. Lze ukázat, že tato baze e_i, i=1,…,n , má tyto vlastnosti:

• Je ortogonální (každé dva vektory jsou vzájemně ortogonální)
• Je normální (každý vektor baze je jednotkový).

Proveďte důkaz přímým výpočtem! Proto základní bazi nazýváme ortonormální.

Možnost použití V_n nalezneme např. v antropometrických měřeních. Podobná situace je v případě marketingových dotazníků. Rozdělí např. vektory na „malé“, „střední“ resp. „velké“.

Vzdálenost dvou vektorů d(u,v) = abs(u - v) = sqrt(S(u_i - v_i)²). Příkladem vzdálenosti vektorů může být vzdálenost konců šipek ve 2D či 3D umístěných v počátku, či nejjednodušší antropometrická měření (výška a váha). Vzdáleností lze odlišit např.mezi zhruba stejně absolutně velkými jedinci velkého hubeného a urostlého malého. Podmínkou názornosti je smysluplná volba jednotek; v uvedeném případě je to např. cm pro výšku a kg pro váhu. Zlepšení nastane, budeme-li od údaje o výšce systematicky odečítat 100 cm. Rozmyslete si proč? Korektní způsob, jak pracovat se souřadnicemi měřenými různými jednotkami, je přejít na bezrozměrné veličiny. Toho leze jednoduše dosáhnout např. tak, že všechny hodnoty jedné veličiny (souřadnice) dělíme hodnotou absolutně největší z nich. Tím dostaneme bezrozměrné souřadnice v intervalu <-1,1>.

Pro dva vektory platí:Je-li hodnota kosínu zobecněného úhlu blízká jedné, vektory jsou (v zobecněném smyslu) rovnoběžné a odpovídající souřadnice budou zhruba ve stejném poměru. Už jsme konstatovali, že rozlišení velkých a malých je přirozeně definováno absolutními hodnotami, tedy opět prací se skalárním součinem.

Antropometrická a jim podobná měření obvykle zapisujeme do tzv. datové matice. Co je matice brzy poznáme; zde to pro nás budou řádkové aritmetické vektory zkoumaných jedinců (respondentů) seřazené pod sebou . Řádky vypovídají o jedincích, sloupce o vlastnostech.

Vraťme se k původní problematice.

Příklad.3.3 B str. 370 př. 36.1 Dány tři body A[1,1], B[2,-1], C[3,2]; určete, jsou-li to vrcholy trojúhelníka

Řešení: Trojúhelník má všechny úhly nenulové; stačí však, aby nenulový byl jeden z nich, (menší než 180^o bude vždy).

Orientovaná strana c = AB = (1,-2) ; strana b = AC = (2,1) . Jejich skalární součin je nula, svírají tedy pravý úhel. Odpověď: Je to trojúhelník, navíc pravoúhlý.

Příklad 3.4: B př. 36.2 dáno a = (2, 3, -1) , b = (1, -2, 3) ; c = (2,-1, 1)

Určete x tak, aby platilo x T a x T b x . c = - 6 , kde T značí kolmost vektorů.

Řešení vede na soustavu 2x₁ + 3x₂ - x₃= 0 ; x₁ - 2x₂ + 3x₃= 0 ; 2x₁ - x₂ + x₃= -6. Soustavu vyřešíme, až to budeme umět efektivně řešit obecné soustavy lineárních rovnic. Přesvědčte se , že řešením je: x = (-3, 3, 3)

Příklad 3.5: Zjistěte, zda vektor b = (2, 6) lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů a₁ = (1;2) ; a₂ = (2, 3). Zde bude 2 = k₁ + 2k_{2 ;} 6 = 2k₁ + 3k₂ odtud 2 = - k₂; 6 = k₁ Nakreslit!

Úlohy

3.1 Vyřešte cvičení 3.3 a 3.4 s obměněnými hodnotami tak, aby logika cvičení zůstala nezměněna. Výsledky nakreslete (na čtverečkovaný či milimetrový papír).
3.2 Ve svém okolí vyberte 6 až 10 kolegů (kolegyň), přiřaďte jim váhu (v kg) a výšku (v cm). Všechny daje o výškách vydělte nevětší hodnotou výšky, totéž učiňte s údaji o vahách. Každý jedinec je nyní určen dvěma bezrozměrnými údaji; určete absolutní hodnotu odpovídajících vektorů! Výsledek zapište do tvaru tabulky!

3.3 Nakreslete dva kolmé vektory v rovině umístěné do počátku. Odečtěte jejich souřadnice a přesvědčte se, že skalární součin je roven nule (tak blízký nule, jak přesně jste pracovali).