Matice

E1 str.197-202

Matice je uspořádané schéma - tabulka m * n reál. čísel (lze však zobecnit i na jiné objekty - prvky matice zásadně však stejného typu) - zapsané do tvaru m řádků a n sloupců. O takové matici řekneme, že je typu m * n; formálně ji zapisujeme ve tvaru _mA_n nebo [a_m,n ] či (a_m,n). Přednost dáváme prvnímu z uvedených zápisů, pokud je typ matice jasný, indexy nepíšeme.

Prvky symbolicky zapisujeme obecnými čísly, jejich pozici určujeme pomocí dvojitého indexu (vpravo dole, dle potřeby odděleno čárkou). První z dvojice indexů určuje řádek, druhý sloupec. Např.prvek a₂₃ značí, že prvek se nachází ve druhém řádku a třetím sloupci.

Přirozeně zavádíme řádkový a sloupcový vektor. Matice typu m*n je složena z  m (řádkových) vektorů z V_n nebo z  n (sloupcových) vektorů z V_m. Prvky vektoru řádkového mají první index stejný, prvky sloupcového druhý index stejný. Vektory jsou uspořádány podle proměnného indexu.

Nulová matice má prvky vesměs nulové. Dále zavádíme hlavní diagonálu; její prvky mají stejný index sloupcový i řádkový. Tak, jako u vektorů rovností dvou matic rozumíme rovnost sobě odpovídajících prvků. Nutnou podmínkou rovnosti je tedy stejný typ obou srovnávaných matic. Obdobně dále zavádíme:

• Součet dvou matic A a B stejného typu je matice C odpovídajícího typu (sečítají se sobě odpovídající prvky). Pro všechna přípustná i a j platí c_i,j = a_i,j + b_i,j .
• Násobení matice číslem odpovídá vynásobení všech prvků daným číslem. Výsledkem je opět matice stejného typu.

Evidentně jsou splněna základní pravidla pro to, aby matice tvořily lineární prostor. Platnost příslušných axiomů lze snadno dokázat; např. komutativní zákon platí zcela zřejmě.

Cvičení 4.1: Jaké dimense bude lineární prostor příslušný matici _mA_n?

Matice transponovaná vzniká záměnou řádků za sloupce. Je-li _mA_n matice typu m,n, pak pro její transpozici B = ^TA platí, že je typu _nB_m

Čtvercová matice má stejný počet řádků a sloupců.

Čtvercová matice S, pro jejíž všechny prvky platí s_i,j = s_j,i je matice symetrická. Takováto matice jsouc transponována, zjevně nedozná žádné změny, platí tedy S = ^TS. Jednotková matice je taková symetrická matice, která má v hlavní diagonále jedničky, jinde nuly. Obvykle ji značíme písmenem E, je-li třeba, pak _nE_n . Uvědomte si, že jednotková matice opravdu je symetrická!

Cvičení 4.2: Zapište právě uvedenou vlastnost jednotkové matice pro její prvky.

Návod Zápis pomocí „vidličky“ vystačí; elegantnější však je, když zavedeme Kroneckerovo d_ij. Pro d_ij platí d_ij =1 pro i = j a d_ij = 0 pro i j . Zřejmě je e_ij = d_ij

Dále budeme potřebovat ještě matici trojúhelníkovou. Je to taková (samozřejmě obdélníková či čtvercová) matice, která má na hlavní diagonále nenulové prvky, pod ní pak prvky nulové. Na prvky nad hlavní diagonálou nejsou kladeny žádné požadavky.

Zavedeme ještě násobení matic. Součin dvou matic _mA_p a _pB_n je

matice _mC_n pro jejíž prvky platí c_i,j = S a_i,k. b_k,j, kde i = 1,,m, k = 1,,p a j = 1,…,n. Vhodné grafické vyjádření matic A, B a C (viz obr.) ukáže, že prvek c_i,j výsledné matice je skalární součin i-tého řádku první matice a j-tého sloupce druhé matice. Nutnou podmínkou existence součinu dvou matic je tedy rovnost počtu sloupců první a počtu řádků druhé matice. Součin matic pak obecně není komutativní, u obdélníkových matic při splnění dané podmínky jeden součin (např. násobení matice A zprava maticí B v našem případě) existuje, opačné pořadí matic však na součin nevede, pokud je m n. U čtvercových matic stejného typu existují sice oba možné součiny, rovny si jsou jen u matic symetrických; obecně platí A. B B. A . Proč tomu tak je?

Celá situace je znázorněna graficky na následujícím obrázku. Platí

_mC_n = _mA _p* _pB_n

c_i,j = S a_i,k. b_k,j, pro i = 1,..,m; j = 1,..,n; k = 1,…,p k jako sčítací índex

Výpočet prvku c_3,2,. pro případ m = 4, p = 3 a n = 9:

Příklad 4.1: Ukažte, že pokud součin existuje, platí E.A = A i A.E = A

Řešení: Uvažte, že v první zadané rovnici násobení prvního řádku E postupně všemi sloupci A dá první řádek A. Podobně je tomu s dalšími řádky E , tedy s celou maticí A.. Druhou rovnici bychom odvodili stejným způsobem. Uvažte čtvercovou matici nakreslete příslušný obrázek! Uvědomte si, že odtud dostala jméno jednotková matice!

Cvičení 4.3: Uvažte, že libovolné dva řádky trojúhelníkové matice jsou lineárně nezávislé

Návod: Aby mohly být dva vektory lineárně závislé, musel by jeden být násobkem druhého.

Cvičení 4.4: Uvažte, že nulový vektor je lineární kombinací libovolných vektorů.

Hodnost matice h je počet lineárně nezávislých řádků - vektorů. Hodnost matice se transpozicí nemění. Z hlediska hodnosti jsou řádky a sloupce ekvivalentní. Platí h(A) min , dokazovat nebudeme, ale nepřekvapuje to.

Hodnost nezměníme, když

zaměníme pořadí řádků,

násobíme libovolný řádek nenulovým číslem,

přičteme k libovolnému řádku lineární kombinaci řádků ostatních,

vynecháme řádek, který je lineární kombinací ostatních,

přidáme řádek, který je lineární kombinací ostatních.

Na základě užití těchto pravidel snadno určíme h matice tak, že ji převedeme na trojúhelníkovou. Každou matici lze převést na trojúhelníkovou o stejné hodnosti (použitím uvedených úprav a vynecháním nulových řádků, které jsou lineární kombinací libovolných řádků). Algoritmus, který se v tomto případě používá je obdobou Gaussovy eliminační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic, kterou probereme v další kapitole. Postupujeme následovně:

• Zaměníme pořadí řádků (operace 1) tak, aby platilo a₁₁ ≠ 0. Uvažte, že to jde vždy.
• Kombinací operací 2 a 3 postupně dosáhneme toho, že všechny další prvky v prvním sloupci budou nulové
• Vyřadíme řádky se samými nulami (podle cvičení 4.4 jde o řádky lineárně závislé); postupujeme tedy podle bodu 4 o lineární kombinaci ostatních)
• První řádek a sloupec opustíme a první tři body algoritmu postupně aplikujeme až k poslednímu řádku.

Použití matic v praxi.

Matice jakožto optimální zápis dat závislých na jednom či dvou parametrech, mají široké použití při zápisu dat. Slovo „tabulka“ v běžném smyslu často, ne však vždy výše definované tabulce odpovídá. Např. jízdní řád ČD je složen především z tabulek, ve kterých řádkový index nahrazuje jméno stanice (případně s dodatkem příj. resp. odj., sloupcový index pak číslo spoje). Prvky tabulky jsou časy (příjezdu, odjezdu či zastavení), tedy údaje o čase. Jedná se zjevně o matici. Takovéto matice jsou obecně obdélníkové. Hodnota prvků závisí zde na dvou různých parametrech. Takovou matici budeme označovat jako matici prvního typu.

V praxi se vyskytují i jiné matice typu „tabulka výsledků vzájemných střetnutí“. Ve skutečnosti se v uvedeném případě výsledků střetnutí nejedná o matici, protože prvky takové tabulky nejsou obecně čísla ani jiné matematické objekty (např. zápis 6: 3 neznamená dělení). Snadno bychom mohli věc uvést do souladu s teorií matic (zapisovat jinak, třeba jako uspořádanou dvojici čísel s jiným oddělovačem), snížila by se však názornost, pro to v praxi není žádný důvod. Tabulka je v tomto případě vždy čtvercová a sloupcový i řádkový index odpovídají jedinému parametru – zde označení mužstev. S použitím odpovídající matice, námi označovanou jako matice druhého typu se bezprostředně seznámíme.

Význam matic velmi vzrostl v souvislosti s růstem používání počítačů, maticová struktura je počítačům vlastní. Tuto skutečnost můžeme dokumentovat na jiné součásti jízdního řádu ČD, na mapě železniční sítě. Příslušná síť je tvořena uzly, které odpovídají stanicím, ve kterých se tratě sbíhají a/nebo rozbíhají a rameny, které vyjadřují to, že mezi danými dvěma uzly existuje přímý spoj. Množina uzlů a ramen tvoří graf. Pokud ramena nekótujeme např. vzdáleností uzlů (jsou tedy všechna stejnocenná), mluvíme o neoceněném grafu, pokud ramena navíc chápeme jako oboustranně fungující, mluvíme o neorientovaném grafu. Mapa železniční sítě v tomto smyslu neorientovaným neoceněným grafem zpravidla je. Z hlediska klasifikace ani našeho dalšího postupu není důležité, že jednotlivá ramena mají číselné označení (není to ocenění!). Vzniká nyní problém, jak takovýto graf převést do podoby vhodné pro počítač, aby bylo možno s ním dále efektivně pracovat. Úloha je to celkem jednoduchá. Vyhoví matice druhého typu, parametrem je množina uzlů a prvky jsou jedničky resp. nuly, pokud rameno (spoj) mezi uzly existuje resp. neexistuje. Matice, kterou takto získáme, označíme I₀. Je symetrická (uvažte, proč je tomu tak), v hlavní diagonále jsou nuly, to je definice. S takovouto maticí lze dále pracovat. Např. násobením matice se sebou samou dostaneme matici I₁ =, I_{0 .}I₀ ; která charakterizuje počet spojů dvou uzlů s jedním přesedáním a tak lze postupovat dále. Vhodnou lineární kombinací I₀ a I₁ s větší vahou na matici první obdržíme informaci o přirozených centrech sítě. To může posloužit při rozhodování, kam umístit stanice pohonných hmot (v případě dálniční sítě ) apod.

Matice prvního typu slouží např.k zápisu výsledků šetření na množině objektů. Každý řádek takové matice (nazýváme ji datová, pozorování apod.) podává informaci o všech vlastnostech jednoho objektu, každý sloupec pak danou informaci o všech objektech.

Při zpracování datových matic (jmenovitě tak velkých, že je nelze „pouhým okem“ přehlédnout a interpretovat) se orientujeme např.na podobnost resp. totožnost řádků. Vytváříme shluky (trsy, klastry) vzájemně podobných řádků. Skupina podobných či totožných řádků (jedinců) svědčí o důležité skutečnosti - existenci dílčí populace, shluku (v marketingu mluvíme o segmentech). To je princip shlukové analýzy. V dalším odstavci probereme aplikaci matic na řešení soustav lineárních rovnic. Zde je situace z hlediska stejných či v určitém smyslu podobných řádků právě opačná. Řádek, který je lineární kombinací předcházejících (speciálně roven některému z nich) je nadbytečný zpravidla je vyřazen z dalšího postupu.

Cvičení 4.5: Pořiďte si slepou mapu států na Balkáně, zhruba doprostřed každého z nich nakreslete výrazný (malý) kroužek. Spojte úsečkami kroužky států, které sousedí. Kroužky označte mezinárodními poznávacími autoznačkami příslušných států! Zapište získaný graf ve tvaru matice!

Úlohy

4.1 Vypracujte cvičení 4.2 až 4.5

4.2 Mějme matice

Zapište existující součin a spočtěte jej!

: Vyberte vhodný úsek dálniční nebo lépe železniční sítě. Za pomoci kombinace koeficientů přímého spojení a spojení s jedním přesedáním nalezněte centrum (centra) oblasti!