Mnohoúhelníky

Mnohoúhelníky

uzavřené lomené čáry spolu s částmi rovin ohraničené těmito lomenými čarami

má vrcholy a strany, lomená čára je hranice mnohoúhelníku (obvod)

úhlopříčky – úsečka spojující dva nesousední vrcholy jejich počet je dán počtem vrcholů n: konvexní mnohoúhelník: vždy leží v jedné z polorovin (opěrná polorovina) určených jednou stranou

Konvexní pětiúhelník Nekonvexní mnohoúhelník

součet vnitřních úhlů konvexního n-úhelníku se rovná pravidelný n-úhelník – všechny strany jsou shodné, lze mu opsat i vepsat kružnici, je-li počet vrcholů sudý existuje ke každému vrcholu vrchol protější, je-li počet vrcholů lichý existuje ke každému vrcholu protější strana

Konstrukce mnohoúhelníků  ( ; , kde )

Osmiúhelník – osa strany čtverce, trojúhelník – osy stran šestiúhelníku

Čtyřúhelníky

n-úhelníky se 4 vrcholy

dělíme je:

o       různoběžníky – žádné dvě strany nejsou rovnoběžné

o       lichoběžníky – dvě strany jsou rovnoběžné a dvě ne, rovnoběžné strany = základy různoběžné – ramena

základny nejsou shodné, ramena mohou být (pokud jsou jde o rovnoramenný lichoběžník)

je-li jedno rameno kolmé k jedné základně, pak je kolmé i k druhé základné, jedná se o pravoúhlý lichoběžník

součet vnitřních úhlů přilehlých ramenu je přímý úhel

střední příčka je úsečka spojující středy jeho ramen, je rovnoběžná se základnami a její délka je rovna aritmetickému průměru obou základen

o       rovnoběžník – každé dvě strany jsou rovnoběžné

podle vlastnosti úhlů:

pravoúhlé (obdélník)

kosoúhlé (kosodélník)

podle stran

rovnostranné (čtverec, kosočtverec)

různostranné (obdélník, kosodélník)

základní vlastnosti rovnoběžníku

protější strany jsou shodné

protější úhly jsou shodné

úhlopříčky se navzájem půlí, společný bod je střed rovnoběžníku

tětivový rovnoběžník – lze mu opsat kružnici (součet vnitřních úhlů je úhel přímý)

tečnový rovnoběžník – lze mu vepsat kružnici (součty délek dvojic protějších stran jsou si rovny)

středový rovnoběžník – lze mu opsat i vepsat kružnici

deltoid – úhlopříčky jsou si navzájem kolmé a jedna (hlavní) prochází středem druhé (vedlejší), je to tečnový rovnoběžník

Kružnice, kruh

Kružnice – množina všech bodů, které mají od určitého bodu S stejnou vzdálenost r.

Kruh – množina všech bodů, které mají od určitého bodu S vzdálenost rovnu nebo menší než r.

bod S je střed kružnice (kruhu) a r je poloměr

u kruhu určujeme jeho hranici – kružnice, vnitřek (vnitřní oblast), vnějšek (vnější oblast)

tětiva – úsečka, která spojuje dva různé body kružnice, tětiva, která prochází středem je průměr kružnice

různé body A,B dělí kružnici na dva kružnicové oblouky (oblouky kružnice) a body A,B jsou krajními body obou oblouků a oblouk značíme , množina všech vnitřních bodů oblouku je otevřený oblouk AB, je-li AB průměr jsou oba oblouky půlkružnice

dva poloměry rozdělí kruh na dvě kruhové výseče a tětiva je rozdělí na dvě kruhové úseče, pokud je tětiva průměr tak na dva půlkruhy

Vzájemná polohy přímky a kružnice

sečna – dva společné body

tečna – je společný bod – bod dotyku

vnější přímka – žádný společný bod

Platí:

pata kolmice vedené ze středu na sečnu je střed tětivy

tečna kružnice je kolmice na poloměr, který spojuje bod dotyku a střed

délka tečny – vzdálenost bodu dotyku a bodu, ze kterého tečna vychází

Vzájemná poloha dvou kružnic

soustředné – společný střed, nemají společný bod, nebo je mají všechny společné, pak jsou totožné, pokud je poloměr jedné menší vytvářejí tzv. mezikruží, je šířka mezikružínesoustředné

o       kružnice leží vně druhé

o       kružnice mají vnější dotyk

o       kružnice mají vnitřní dotyk

o       kružnice leží uvnitř druhé

Úhly v kružnici

středový úhel – vrchol je střed kružnice, vytýká oblouk

obvodový úhel – vrchol leží na kružnici a ramena procházejí krajními body oblouku

velikost středového úhlu je rovna dvojnásobku velikosti obvodového úhlu stejného oblouku

Thaletova věta:

Všechny úhly nad průměrem kružnice jsou pravé.

úsekový úhel – úhel, který svírají rameno AB, kde A,B jsou krajní body oblouku a rameno AX, kde X je vnější bod kružnice, který leží na tečně, která má bod dotyku v bodě A, je stejně velký jako obvodový úhel příslušného oblouku

Obvody a obsahy geometrických obrazců

geometrický obrazec – geometrický útvar ohraničený uzavřenou čárou , která je částí obrazce

obvod – délka hranice obrazce

obsah – kladné číslo přiřazené obrazci

Euklidova věta o výšce

, V každém pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina výška rovná součinu délek úseků přepony.Euklidova věta o odvěsně

, V každém pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina délky odvěsny rovna součinu přepony a přilehlého úseku přepony.Pythagorova věta

Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami. 

Mocnost bodu ke kružnici

vedeme-li bodem M přímku, která je sečnou kružnice pak mocnost m bodu ke kružnici je:pokud takto vedeme více sečen mocnost se nemění

pokud pak bod M je vně kružnice, pokud pak leží na kružnici a pokud pak leží uvnitř kružnicevedeme-li tečnu a sečnu bodem ke kružnici platí je-li v vzdálenost bodu od středu kružnice pro mocnost platí: