Množiny

Množiny

E1 str. 53

Prvek x množiny M zapisujeme: x I M, naopak zápis y M značí, že prvek y nepatří do množiny M. Uvědomte si, že jde o výroky. Množiny mohou být konečné a nekonečné (nekonečné jsou spočetné a nespočetné – tím se nezabýváme). Neexistuje matematická definice množiny – jde o základní pojem (ten již nelze definovat – není na základě čeho tak učinit), existují ale způsoby vymezení prvků (výčtem, charakteristickou vlastností, rekurentně), umíme tedy určit, je-li daný jedinec prvkem dané množiny nebo ne. Při vymezování prvků často používáme kvantifikátory.

Zavádíme prázdnou množinu (neobsahuje žádný prvek) zapisujeme přeškrtnutou nulou, tedy . Množinu o jediném prvku 0 pak zapíšeme známým způsobem pro výčet prvků množiny .

Číselné množiny (E1 str. 79) jsou abstrakce, které vedou k úplné jednoznačnosti určení. Jinak může v praktickém životě být se zařazováním podle vlastností potíž . Lze vymezit množinu lidí zdravých resp. (v nějakém smyslu) nemocných? Jaký význam má množina všech předmětů, které se vejdou do leteckého hangáru?

Číselné množiny: Přirozená čísla značíme N, rozšířená o nulu pak N₀ , kde N₀ = N

Množina celých čísel Z je (nejmenší) uzavření N₀ vzhledem k odečítání

Množina racionálních čísel Q. Platí: Q - je uzavření Z - vzhledem

k dělení.

Uzavřením vzhledem k operaci rozumíme rozšíření dané množiny (např. přirozených či celých čísel) takové, že daná operace v rámci rozšířené množiny vede vždy na její prvek. Odečítání v rámci celých čísel skutečně vede vždy na celé číslo (ne však na číslo přirozené!).

Racionální čísla lze zapsat jako zlomek v základním tvaru, v desetinné soustavě mají pak ukončený nebo periodický tvar. Mezi dvěma racionálními čísly se nachází nekonečně mnoho čísel racionálních. Ne každé číslo zde se nacházející je však z Q; lze ukázat, že existují (a je jich v jistém smyslu daleko nejvíce) i čísla zvaná iracionální. Ta mají neperiodický desetinný tvar; jinak se zapsat nedají. V praxi jsou nahrazována neúplnými čísly. Jsou to čísla s ukončeným desetinným rozvojem, která vyjadřují interval (neurčitost) v rozsahu jednotky poslední uvedené cifry.

Racionální a iracionální čísla tvoří množinu čísel reálných, značíme R. Jiných čísel na ose číselné již není.

K úplnému výčtu čísel patří i čísla komplexní. V základním tvaru jde o uspřádanou dvojici reálných čísel (o reálnou a imaginární část). Zabývat se jimi nebudeme.

Cvičení 2:1 Jistě víte, jak jsou definovány množiny R⁺, R₀⁺, R^-, a R₀^-. Vyjádřete je graficky na číselné ose!

Číselné množiny zobrazujeme na číselné ose. Je rozumné zavést zobecnění

R^* = R    tím, že přidáme tzv. zobecněná čísla. Zavedení zobecněných čísel souvisí s příkladem 1.3, ze kterého plyne, že žádné xIR není největší (větší než ostatní). Je tedy přirozené dodefinovat zobecněné číslo tak, že platí  (xIR) x <   . Obdobné tvrzení platí pro - . Zapište jej sami! Přirozeně pak definujeme operace s nimi (a v kombinaci s prvky z R). Např. zavádíme operaci , resp. + a = , aIR ale nezavádíme např.  . Rozšířenou číselnou osou rozumíme pak používání R^* při grafickém znázorňování intervalů.

Zavedení zobecněných čísel dovoluje používání symbolů a - v obvyklém smyslu, to je hlavní smysl uvedeného zobecnění.

Tvrzení o množině se často zapisuje jako výrok pravdivý pro každý prvek množiny (vyjádření charakteristické – vymezující - vlastnosti prvků množiny).

Příklad 2.1: Pro jaká x je kvadratický trojčlen v x nezáporný?

Konkrétně: Pro jaká x I X R platí x² + 5x + 6 ≥ 0

Prostředky středoškolské matematiky (opakujte si je) nalezneme, že pro xIX platí :

x I (-∞, -3> <-2, ∞) , operace je sjednocení a probereme ji v následujícím odstavci.

Stejné tvrzení pomocí relací má tvar

X =

Zopakujte si: Co je jednorozměrný interval, uveďte příklady na interval konečný a nekonečný, otevřený a uzavřený.

Příklad 2.2 Další přiklad vymezení množiny pomocí charakteristické vlastnosti prvků: Pro množinu sudých čísel S platí: S = resp. zkráceně S = . Zřejmě 2 tam patří, 3 ne atd.

Uveďme ještě další (třetí a poslední) způsob určení prvků množiny, tentokráte formou příkladu.

Příklad 2.3: Určení prvků množiny rekurencí. Množinu N přirozených čísel, lze vymezit rekurencí. Konkrétně 1IN a dále platí: Pro každé je n I N T n+1 I N, tedy 2,3,…, i, i+1… . Můžeme psát N =

Množinové operace

Rovnost , různost , průnik , sjednocení , rozdíl (dvou) množin –, podmnožina zapište pomocí výrokové logiky, nakreslete pomocí Vennových diagramů.

Příklad 2.4: Průnik A a B jakožto vlastnost prvků průniku A B = . Registrujte obdobu formální podoby tvarů použitých logických a množinových operátorů.

Příklad 2.5: Operátor typu resp. nazýváme inkluze. A je podmnožina B (A B), platí-li, že pro všechna xI A je současně xIB a alespoň jeden prvek z B nepatří do A , tedy  ( x I B) x   A V tomto případě zpravidla mluvíme o vlastní podmnožině.. Pokud připustíme rovnost obou množin, použijeme spíše operátoru typu . Terminologie zde není však jednoznačná.

Hlavní použití množin a logických operací v následující látce souvisí s určováním definičních oborů resp. oborů funkčních hodnot. Spolu s dále probíranými funkcemi budeme zde vyložený aparát často používat.

Cvičení 2.2: Procvičte si ještě jednou 1 D intervaly (otevřené, uzavřené, zleva, zprava).

Příklady k procvičení: B str. 256 a dále, B př. 26.1 a 2., str. 265, (27.1 stačí pracovat s množinami definovanými výčtem prvků), př. 27.2.

Úlohy

2.1 Z následujících kvadratických trojčlenů si vyberte, učiňte z něj relační výraz s nulou na pravé straně a pomocí pravidel pro úpravy nerovnic a používání logických operátorů najděte řešení. Výsledek zapište jako množinu určenou vlastností a zakreslete ve tvaru intervalů.

Kvadratické trojčleny: x² + 7x + 6 , x² - 2x - 15, x² + 6x + 8, x² + 2x - 15,

2.2 Definujte množinu sudých čísel rekurencí!

2.3 Zakreslete pomocí Vennových diagramů některou množinovou operaci.

2.4 Aplikujte některou množinovou operaci na dvě množiny: A definovanou výčtem členů – přirozených čísel a B interval za číselné ose.

2.5 Zapište aritmetickou operaci obsahující vlastní a nevlastní číslo! Vyjádřete se k tomu, je-li definována a jak!