NÁHODNÉ JAVY A ICH PRAVDEPODOBNOSTI

NÁHODNÉ JAVY A ICH PRAVDEPODOBNOSTI

Príklad 1

Aká je pravdepodobnosť. Že v športke vyhráme prvú cenu (musíme uhádnuť všetkých šesť ťahaných čísel, ťahá sa z 49 čísel), ak vyplníme jeden tiket?

Riešenie:

Počet možností, ktorými môžeme z 49 čísel vytiahnuť šesť čísel je

13 983 816.

Označme náhodný jav A spočívajúci v tom, že po vyplnení jedného tiketu vyhráme v športke prvú cenu. Počet možných výsledkov náhodného pokusu je n = 13 983 816 a počet výsledkov priaznivých náhodnému javu je m = 1. Pravdepodobnosť náhodného javu A vypočítame podľa klasickej definície pravdepodobnosti

.

Príklad 2

Máme v úmysle hádzať hracou kockou až do padnutia šestky. Aká je pravdepodobnosť, že bude potrebných šesť hodov?

Riešenie:

Označme náhodný jav A, ktorý predstavuje, že šestka padne práve pri šiestom hode. Ďalej označme náhodné javy B_i, i = 1,2, ,6 spočívajúce v tom, že pri i–tom hode hracou kockou padne šestka. Javy B₁,B₂,,B₆ sú nezávislé a ich pravdepodobnosti sú

.

Javy , predstavujú, že pri i–tom hode nepadne šestka a pre ich pravdepodobnosti platí

.

Jav A vyjadríme symbolicky

.

Vzhľadom k nezávislosti javov B₁,B₂,,B₆ je pravdepodobnosť náhodného javu A rovná súčinu pravdepodobností javov

.

Príklad 3

Pravdepodobnosť úspechu určitej akcie je pri každom opakovaní rovnaká a je rovná 0,9. Aká je pravdepodobnosť, že pri dvojnásobnej realizácii tejto akcie bude dosiahnutý aspoň jeden úspech?

Riešenie:

Označme úspech pri prvom prevedení akcie ako jav A a úspech pri druhom prevedení ako jav B. Javy A a B sú nezávislé, výsledok prvého prevedenia neovplyvňuje pravdepodobnosť úspechu pri druhom prevedení. Pravdepodobnosť aspoň jedného úspechu môžeme vypočítať ako

,

alebo ako

.

Príklad 4

Zo šiestich vajec sú dve prasknuté. Aká je pravdepodobnosť, že pri náhodnom vybratí dvoch vajec vyberieme žiadne, jedno, dve prasknuté vajcia?

Riešenie:

Označme ako jav A jav, ktorý spočíva v tom, že prvé vybrané vajce nie je prasknuté a ako jav B jav, že druhé vybraté vajce nie je prasknuté. Potom pravdepodobnosť, že ani jedno nie je prasknuté

,

kde vyjadruje pravdepodobnosť, že druhé vajce nebude prasknuté, keď prvé vajce nie je prasknuté. Pravdepodobnosť, že jedno z vajec bude prasknuté

.

Pravdepodobnosť vybrania dvoch prasknutých vajec

.

Príklad 5

Z 200 ložísk je 130 prvej akosti a 70 druhej akosti. Z ložísk prvej akosti bolo 80 vyrobených na prvom stroji a 50 na druhom stroji. Z ložísk druhej akosti bolo 40 vyrobených na prvom stroji a 30 na druhom stroji. Jav A predstavuje náhodné vybratie ložiska prvej akosti a jav B náhodné vybratie ložiska vyrobeného na prvom stroji. Sú javy A a B nezávislé?

Riešenie:

Z tabuľky vyplýva

, , , .

Pretože , a teda aj , sú javy A a B závislé.

Príklad 6

V zásielke 150 vriec orechov z Turecka je 5 vriec so skazenými orechmi, rovnako ako v zásielke 250 vriec orechov z Afganistanu. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vybraté vrece zo všetkých došlých vriec obsahuje skazené orechy a aká je táto pravdepodobnosť, ak najprv vyberieme náhodne zásielku a potom z nej vyberieme náhodne vrece?

Riešenie:

Ak vyberáme zo všetkých dodaných vriec, je hľadaná pravdepodobnosť podielom počtu vriec so skazenými orechmi k počtu všetkých vriec

.

Pre výber druhým spôsobom zavedieme nasledujúce označenie:

A – vybrané vrece obsahuje skazené orechy,

B – vybraná zásielka je z Turecka,

B – vybraná zásielka je z Afganistanu.

Javy B₁ a B₂ predstavujú úplný systém rovnako pravdepodobných nezlúčiteľných javov, , pričom

a . Podľa vzorca pre úplnú pravdepodobnosť dostávame

.

Príklad 7

Prístroj nájde vadu v materiále s pravdepodobnosťou 0,999, ale súčasne s pravdepodobnosťou 0,000 1 chybne označí materiál bez vady ako vadný. Je známe, že vada v materiále sa vyskytuje v 0,1% prípadov. Prístroj označil materiál ako vadný. Aká je pravdepodobnosť, že materiál má skutočne vadu?

Riešenie:

Označme:

A – prístroj označí vybraný kus materiálu ako vadný,

B – vybraný kus materiálu má vadu,

B – vybraný kus materiálu nemá vadu.

Potom

, , , .

Podľa vzorca pre úplnú pravdepodobnosť

, takže podľa Bayesovho vzorca

.

Príklady

Vo výpočtovom stredisku pracuje 7 mužov a 3 ženy. V dôsledku racionalizácie boli preradení na iné pracovisko traja ľudia. Určite pravdepodobnosť toho, že preradení ľudia sú len muži.

V sklade náhradných dielov je 20 výrobkov, z toho 3 nepodarky. Došla objednávka na 4 výrobky. Tieto výrobky boli vybrané náhodne bez kontroly a vyexpedované. Vypočítajte pravdepodobnosť toho, že medzi vyexpedovanými výrobkami sú práve dva nepodarky.

Zo série súčiastok, medzi ktorými je 85 dobrých výrobkov a 15 nepodarkov, náhodne vyberieme na kontrolu 10 kusov. Pri kontrole sa zistilo, že prvých 8 kontrolovaných súčiastok je dobrých. Aká je pravdepodobnosť, že aj deviata kontrolovaná súčiastka je dobrá?

V sérii 100 výrobkov je 5 chybných. Vyberieme náhodne 10 výrobkov. Aká je pravdepodobnosť, že medzi týmito desiatimi výrobkami sú práve 3 chybné?

Hádžeme dvoma hracími kockami. Aká je pravdepodobnosť toho, že súčet bodiek na oboch kockách bude 9?

V telefónnej ústredni možno vytáčať trojmiestne čísla. Aká je pravdepodobnosť toho, že v náhodne vytočenom trojmiestnom čísle sú všetky cifry rôzne, ak nula môže byť aj na začiatku čísla.

Kocka, ktorá má všetky steny zafarbené, je rozrezaná na 1000 menších kociek o rovnakých rozmeroch. Takto získané kocky pomiešame. Vypočítajte pravdepodobnosť toho, že náhodne vybraná kocka bude mať zafarbené práve dve steny.

Študent sa naučil na skúšku 20 z 25 otázok. Náhodne si na skúške vyberie tri otázky. Aká je pravdepodobnosť, že študent vie odpovedať na všetky tri otázky?

Vypočítajte pravdepodobnosť toho, že náhodne zvolený výrobok je prvej akosti, ak je známe, že 4 % produkcie sú chybné výrobky a 75 % kvalitných výrobkov vyhovuje požiadavkám na prvú akosť.

Pri hromadnej výrobe určitých výrobkov sa vyskytujú tieto skupiny výrobkov:

a)      vyhovujúce

b)      nevyhovujúce, ktoré možno opraviť

c)      nevyhovujúce, ktoré nemožno opraviť.

Každý výrobok môže byť len v jednej z týchto skupín. Vieme, že v priemere z každých 1000 kusov je 950 typu a.), 36 kusov typu b.) a 14 kusov typu c.)Vypočítajte pravdepodobnosť, že jeden náhodne vybraný výrobok z 1000 kusov bude vyhovujúci, alebo taký, ktorý možno opraviť.

Robotník obsluhuje štyri stroje, ktoré pracujú nezávisle jeden od druhého a majú rôznu poruchovosť. Pravdepodobnosť, že stroj bude mať poruchu v priebehu jednej hodiny je pre prvý stroj 0,1 pre druhý 0,2 pre tretí 0,05 a pre štvrtý stroj 0,3. Vypočítajte pravdepodobnosť, že v priebehu jednej hodiny nebude musieť robotník opravovať ani jeden stroj.

Kontrolóri posudzujú zásielku 50 výrobkov náhodným výberom 5 výrobkov. Ak je čo i len jeden výrobok zlý, celá zásielka je vrátená. Vypočítajte pravdepodobnosť, že zásielka bude vrátená, ak vieme, že obsahuje 10 % chybných výrobkov.

Pravdepodobnosť výskytu javu A je pri každom pokuse rovnaká a je rovná 0,2. Pokusy robíme tak dlho, kým jav A nenastane. Vypočítajte pravdepodobnosť toho, že budeme musieť robiť štvrtý pokus.

Prerušenie elektrickej siete môže nastať následkom poruchy elementu K alebo dvoch elementov K1, K2, u ktorých sú pravdepodobnosti poruchy rovné v poradí 0,3; 0,2; 0,2. Vypočítajte pravdepodobnosť prerušenia elektrickej siete.

Skupina, v ktorej je päť mužov a desať žien sa náhodne rozdelí na 5 skupín po troch osobách. Vypočítajte pravdepodobnosť, že v každej skupine bude práve jeden muž.

Traja laboranti, nezávisle jeden od druhého merajú na prístroji určitú fyzikálnu veličinu. Pravdepodobnosť, že prvý laborant urobí chybu je 0,1, druhý 0,15 a tretí 0,2. Určite pravdepodobnosť, že pri jednom meraní urobí aspoň jeden laborant chybu.

Skúška z určitého predmetu má tri časti. Aby študent urobil skúšku, musí úspešne urobiť všetky tri časti. Pravdepodobnosť úspechu v prvej časti je 0,2, pravdepodobnosť úspechu v druhej časti za predpokladu úspechu v prvej časti je 0,75 a pravdepodobnosť úspechu v tretej časti za predpokladu , že obe predchádzajúce časti boli úspešné je 0,9. Aká je pravdepodobnosť, že študent zložil skúšku?

Pravdepodobnosť, že istý študent získa zápočet je 2/3. Až potom môže študent robiť skúšku. Pravdepodobnosť, že študent získa zápočet a v riadnom termíne urobí skúšku je 0,5. Vypočítajte pravdepodobnosť, že študent urobí skúšku v riadnom termíne, ak získal zápočet.

Pravdepodobnosť, že ženatý muž pravidelne sporí je 0,5. Pravdepodobnosť, že vydatá žena pravidelne sporí je 0,4 a pravdepodobnosť, že vydatá žena pravidelne sporí, ak jej muž pravidelne sporí je 0,3. Vypočítajte pravdepodobnosť, že:

a)      obaja pravidelne sporia

b)      pravidelne sporí ženatý muž, ak pravidelne sporí jeho žena

c)      aspoň jeden z nich pravidelne sporí.

Podnik zakúpil 20 automobilov jedného typu, 12 automobilov druhého typu a 18 automobilov tretieho typu.. Vieme, že u prvého typu je 60 automobilov zo 100 výbornej kvality, u druhého a tretieho typu je 90 zo 100 výbornej kvality. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vybratý automobil je výbornej kvality?

Tranzistor môže patriť s pravdepodobnosťami p₁, p₂, p₃ k jednej zo skupín, kde p₁=p₃=0,25 a p₂=0,5. Pravdepodobnosti toho, že tranzistor bude pracovať daný počet hodín sú rovné pre prvú skupinu 0,1, pre druhú 0,2 a pre tretiu 0,4. Určite pravdepodobnosť, že tranzistor vydrží pracovať daný počet hodín.

Do obchodu dodávajú výrobky z dvoch skladov rovnakým dielom. Jeden sklad má zo 100 výrobkov 16 nepodarkov a druhý zo 100 výrobkov 40 nepodarkov. Aká je pravdepodobnosť, že kúpite dobrý výrobok?

V dielni vyrába 10 robotníkov výrobky rovnakého druhu. Každý z nich za smenu vyrobí rovnaké množstvo výrobkov, ale rôznej kvality. Piati robotníci vyrobia v priemere za smenu 94 % výrobkov mimoriadnej kvality, traja robotníci 90 % výrobkov mimoriadnej kvality a dvaja robotníci 85 % výrobkov mimoriadnej kvality. Všetky výrobky vyrobené za smenu sú uložené neroztriedené v sklade. Určite pravdepodobnosť, že náhodne vybraný výrobok z celej dennej produkcie bude mimoriadnej kvality.

Pracovník obsluhuje 3 stroje, ktoré vyrábajú rovnaké výrobky. Pravdepodobnosť výroby nepodarku je pre prvý stroj 0,02, pre druhý stroj 0,03 a pre tretí stroj 0,04. Výrobky zo všetkých strojov sa dávajú do spoločného zásobníka. Produktivita práce prvého stroja je trikrát väčšia ako produktivita druhého stroja a produktivita tretieho stroja je dvakrát menšia ako produktivita druhého stroja. Čomu je rovná pravdepodobnosť, že náhodne vybraný výrobok bude nepodarok?

Pri televízoroch sa vyskytuje výrobná chyba s pravdepodobnosťou 0,01. Pri prijímačoch, ktoré majú výrobnú chybu, dochádza v záručnej dobe k poruche s pravdepodobnosťou 0,7 a pri prijímačoch, ktoré výrobnú chybu nemajú s pravdepodobnosťou 0,02. Zakúpený televízor sa v záručnej dobe pokazil. Aká je pravdepodobnosť, že mal výrobnú chybu?

Dva automaty vyrábajú rovnaké výrobky, pričom produktivita prvého automatu je dvakrát väčšia ako produktivita druhého automatu. Prvý automat vyrába v priemere 60% kvalitných výrobkov, druhý 84%. Náhodne bol vybraný jeden výrobok, o ktorom kontrola zistila, že je kvalitný. Aká je pravdepodobnosť, že ho vyrobil prvý automat?

Vieme, že 95 % vyrábanej produkcie vyhovuje štandardu. Zjednodušená kontrola uznáva štandardnú produkciu za vyhovujúcu s pravdepodobnosťou 0,98 a neštandardnú s pravdepodobnosťou 0,05. Určite pravdepodobnosť toho, že výrobok, ktorý prešiel zjednodušenou kontrolou vyhovuje štandardu.

V podniku sú 4 stroje vyrábajúce istý výrobok. Odpovedajúci počet výrobkov pre každý stroj za daný časový úsek je 1000, 1200, 1800 a 2000 výrobkov. Ďalej vieme, že prvý stroj vyrába v priemere 1 % nepodarkov, druhý a tretí stroj 0,5 % nepodarkov a štvrtý stroj 1 % nepodarkov. Náhodne vybraný výrobok je nepodarok. Určite pravdepodobnosť toho, že ho vyrobil štvrtý stroj.

Štátna poisťovňa klasifikuje vodičov na dobrých (prvá skupina), priemerných (druhá skupina) a nevyhovujúcich vodičov (tretia skupina). Domnieva sa, že prvú skupinu tvorí 30 % poistených, druhú skupinu 50 % poistených a tretiu skupinu 20 % poistených. Pravdepodobnosť toho, že vodič z prvej skupiny bude mať nehodu je 0,01. Pravdepodobnosť toho, že vodič z druhej skupiny bude mať nehodu je 0,03 a pre vodiča z tretej skupiny je táto pravdepodobnosť 0,1. Agent poisťovne poistí istého človeka a ten má nehodu. Vypočítajte pravdepodobnosť toho, že tento človek patrí do prvej skupiny.

Pašeráci ukryli tovar v štyroch z tridsiatich kontajnerov firmy Smuggler. Colníci podrobili mimoriadne prísnej kontrole náhodný výber šiestich kontajnerov. Aká je pravdepodobnosť, že v kontrolovaných kontajneroch nebude ukrytý pašovaný tovar?

Lekárskymi vyšetreniami sa získal odhad, že 15% populácie vidí na jedno oko slabšie a že z pomedzi týchto osôb má 26 % povahový typ cholerika. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vybraná osoba nevidí na obidve oči rovnako dobre a má povahový typ cholerika?

V obchodníkovom súbore 30 účtov je 26 účtov vedených správne a v 4 prípadoch ide o nesprávne vedenie účtov . Audítor náhodne vyberie na kontrolu 7 z týchto 30 účtov. Aká je pravdepodobnosť, že audítor nájde práve dva nesprávne vedené účty?

Poisťovacia spoločnosť Christof rozlišuje pri poisťovaní tri skupiny vodičov –  A, B, C. Pravdepodobnosť toho, že vodič patriaci do skupiny A bude mať počas roka nehodu je 0,03 , zatiaľ čo u vodiča skupiny B je to 0,06 a u vodiča skupiny C 0,10. Podľa dlhotrvajúcich záznamov uvedenej spoločnosti je 70 % z týchto poistiek uzavretých s vodičmi skupiny A, 20 % s vodičmi skupiny B a 10 % s vodičmi skupiny C. Poisťovací agent ohlásil spoločnosti, že došlo k poistnej udalosti. Aká je pravdepodobnosť, že nehodu mal poistený vodič patriaci do skupiny:

a) A

b) B

c) C

Miestny daňový úrad kontroloval v roku 1994 celkom 500 daňových priznaní. Pri kontrole bol v 350 prípadoch vyrubený doplatok dane. Za účelom overenia správnosti použitých kontrolných procedúr, vybral nadriadený orgán náhodne 10 z uvedenej vzorky 500 kontrolovaných daňových priznaní. Aká je pravdepodobnosť, že doplatok dane bol vyrubený práve u šiestich z desiatich vybraných daňových priznaní?

Dve nákladné autá majú doviesť tovar do toho istého skladu, ktorý je vybavený iba jednou vykladacou rampou. Príchody obidvoch áut sú navzájom nezávislé a rovnako možné od 7,00 do 19,00 hod. Vypočítajte pravdepodobnosť, že jedno auto bude musieť čakať na uvoľnenie rampy, ak tovar z prvého auta sa vykladá 2 hodiny a tovar z druhého auta 4 hodiny.

Z dodávky 32 skúmaviek sú 4 zlé. Náhodne vyberieme 3 skúmavky. Aká je pravdepodobnosť, že medzi nimi bude aspoň jedna zlá skúmavka?

Určitá spoločnosť vypísala konkurz na dve miesta. Konkurzná komisia zistila, že 3 ženy a 7 muži dosiahli rovnaké výsledky. Preto sa rozhodla navrhnúť obsadenie dvoch voľných miest žrebovaním z 10 uvedených uchádzačov. Aká je pravdepodobnosť, že:

a) obe miesta získajú ženy

b) ani jedno miesto nezíska žena

c) aspoň jedno miesto získa žena

Aká je pravdepodobnosť, že v športke vyhráme prvú cenu (je potrebné uhádnuť všetkých šesť vytiahnutých čísel, ťahá sa z 49 čísel), ak vyplníme jeden tiket?

Pravdepodobnosť, že súčasná hospodárska depresia bude pokračovať aj v  budúcom roku je ekonómami odhadovaná na 0,1, že dôjde k miernemu oživeniu na 0,2, k výraznému oživeniu na 0,5 a k prudkému hospodárskemu rastu na 0,2. Zisk firmy nad 5 000 000 Sk je podnikovými manažérmi v prvom prípade odhadovaný na 0,05, v druhom prípade na 0,2, v treťom prípade na 0,7 a v štvrtom prípade na 0,95.Aká je pravdepodobnosť, že k zisku nad 5 000 000 dôjde?

Do nemocnice prichádza 50 % pacientov s chorobou K, 30 % s chorobou L a 20 % s chorobou M. Pravdepodobnosť úplného vyliečenia je pri chorobe K 0,7, pri chorobe L 0,8 a pri chorobe M 0,9. Aká je pravdepodobnosť, že pacient mal chorobu K, keď opustil nemocnicu vyliečený?

Aká je pravdepodobnosť, že pri náhodnom hádzaní troch mincí padnú:

a)      všetky 3 hlavy

b)      všetky 3 písma

c)      tri rovnaké obrazce

d)      dva rovnaké obrazce.

Zo štatistických ročeniek sme zistili počet narodených dvojčiat chlapcov, počet narodených dvojčiat chlapec a dievča a počet narodených dvojčiat dievčat v rokoch 1980 až 1990. Zistené údaje sú v tabuľke.

rok  2 chlapci 1 chlapec a 1 dievča 2 dievčatá spolu

479 498 464 1441

1981 439 425 425 1289

1982 447 433 428 1308

1983 440 442 439 1321

1984 412 382 426 1220

1985 413 426 441 1280

1986 404 356 388 1148

1987 447 401 407 1255

1988 401 391 395 1187

1989 370 361 385 1116

1990 389 365 398 1152

spolu  4641 4480 4596

Vypočítajte pravdepodobnosť, že narodené dvojčatá budú:

a) obaja chlapci

b) chlapec a dievča

c) obidve dievčatá.

Pravdepodobnosť toho, že bude dnes pršať je 40%, že bude pršať zajtra je 50% a pravdepodobnosť toho, že bude pršať dnes aj zajtra je 30%. Ak prší dnes, aká je pravdepodobnosť, že bude pršať zajtra?

Dlhodobým pozorovaním výroby integrovaných čipov sa zistilo, že podiel nepodarkov je okolo 20%. Použitie dokonalej testovacej metódy na rozhodnutie, či čip je dobrý alebo zlý je nákladné a preto sa skúša lacnejší test. Všetky dobré čipy daným testom prejdú, ale testom prejde aj 10% zlých čipov.

a)      Čip prejde lacným testom. Aká je pravdepodobnosť, že ide o dobrý čip?

b)      Ak spoločnosť, ktorá používa daný výrobný proces predáva všetky čipy, ktoré prejdú lacným testom, aké percento predaných čipov bude zlých?

Podiel ľudí, ktorí majú určitú chorobu je 0,01. Na diagnostikovanie danej choroby sa používa test. Pravdepodobnosť, že zdravá osoba je diagnostikovaná ako chorá je 0,05. Pravdepodobnosť toho, že chorá osoba je nesprávne diagnostikovaná ako zdravá je 0,2. Predpokladajme, že test je vykonaný na osobe náhodne vybratej z obyvateľstva.

a)      Aká je pravdepodobnosť, že test ukáže pozitívny výsledok ( t.j. osoba je diagnostikovaná ako chorá ).

b)      Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vybratá osoba, ktorá je chorá, je diagnostikovaná ako zdravá?

c)      Aká je pravdepodobnosť, že osoba je správne diagnostikovaná, že je zdravá a je skutočne zdravá?

d)      Predpokladajme, že test ukáže pozitívny výsledok. Aká je pravdepodobnosť, že testovaná osoba má danú chorobu?

Prieskum 200 domácností ukázal, že 62 domácností kupuje prací prostriedok ARIEL, 109 prací prostriedok TIX, 74 prací prostriedok BIOMAT, 28 ARIEL a TIX, 22 ARIEL a BIOMAT, 30 TIX a BIOMAT a 12 domácností kupuje všetky tri druhy pracích prostriedkov. Koľko domácností kupuje:

a)      jeden

b)      dva z uvedených prostriedkov,

c)      koľko nekupuje žiaden?

V ročníku je 105 študentov, z nich 42 absolvovalo voliteľný predmet Štatistika III, 52 predmet Aplikovaná štatistika, 51 predmet Seminár zo štatistiky. 28 študentov absolvovalo predmety Štatistika III a Aplikovaná štatistika, 30 študentov absolvovalo predmety Aplikovaná štatistika a Seminár zo štatistiky, 22 študentov predmety Štatistika III a Seminár zo štatistiky, 12 študentov absolvovalo všetky tri predmety.

a)      Koľko študentov neabsolvovalo ani jeden kurz?

b)      Koľko študentov absolvovalo iba predmet Štatistika III?

Dvaja študenti sa dohodli, že každý príde na určité miesto v čase od 12 do 13 hodiny, počká štvrť hodiny na druhého, a ak sa nedočká, odíde. Aká je pravdepodobnosť, že sa za týchto podmienok stretnú, ak predpokladáme rovnakú možnosť príchodu v ktoromkoľvek okamžiku stanovenej hodiny?

V budove sú tri výťahy V1, V2, V3. Z prieskumu máme nasledovné údaje:

a)      V1 je pokazený s pravdepodobnosťou 0,1

b)      V2 je pokazený s pravdepodobnosťou 0,05

c)      V3 je pokazený s pravdepodobnosťou 0,3

d)      iba jeden z výťahov ide s pravdepodobnosťou 0,07

e)      práve dva idú s pravdepodobnosťou 0,25

f)        idú dva a pritom jeden z nich je V1 s pravdepodobnosťou 0,23

g)      ide iba jeden a pritom V1 je pokazený s pravdepodobnosťou 0,06.

Vypočítajte pravdepodobnosť, že:

a)      všetky tri výťahy idú

b)      všetky tri výťahy sú pokazené

c)      V2 je pokazený a V3 ide.

V sklade výrobného podniku sa nachádzajú rovnaké výrobky, ktoré pochádzajú z troch strojov. Množstvo uložených výrobkov, ktoré vyrobili jednotlivé stroje je v pomere 2:3:1. Pravdepodobnosť výrobkov prvej akosti, pochádzajúcich od jednotlivých strojov, sa postupne rovná 0,7; 0,6; 0,8. Zo skladu náhodne vyberieme jeden výrobok. Určite pravdepodobnosť, že to bude výrobok prvej akosti.

Prístroj nájde vadu materiálu s pravdepodobnosťou 0,999, ale súčasne s pravdepodobnosťou 0,0001 chybne označí materiál bez vady ako vadný. Je známe, že vada materiálu sa vyskytne v 0,1 % prípadov. Prístroj označil materiál ako vadný. Aká je pravdepodobnosť, že materiál má skutočne vadu?

Zamýšľame kúpiť v autobazáre automobil istej značky. Je ale známe, že 30 % takýchto ponúkaných automobilov má vadné prevodovky. Aby sme získali viac informácií, najmeme si mechanika, ktorý je po jazde schopný odhadnúť stav automobilu a len s pravdepodobnosťou 0,1 sa zmýli. Aká je pravdepodobnosť, že automobil, ktorý zamýšľame kúpiť, má vadnú prevodovku:

a)      predtým, než si najmeme mechanika

b)      ak mechanik povie, že je dobrý?

Do predajne dodávajú dva výrobné podniky výrobky rovnakého druhu v pomere 3:5. Pravdepodobnosť, že výrobok je nekvalitný, je u prvého podniku 0,10 a u druhého 0,08. Vypočítajte pravdepodobnosť, že kúpime výrobok, ktorý nebude zmätok.

Produkcia prvého závodu je 20 %, produkcia druhého závodu je 15 %, tretieho závodu 25 %, štvrtého závodu 30 % a piateho závodu 10 %. Je známe, že podiel nekvalitnej produkcie je u prvého závodu 3 %, u druhého 5 %, u tretieho 2 %, u štvrtého 1 % a u piateho 4 %. Určite pravdepodobnosť, že náhodne vybratý výrobok, u ktorého sa zistilo, že je nekvalitný, pochádza z produkcie tretieho závodu.

Tri závody vyrábajú sériovo ten istý výrobok. Prvý závod zásobuje trh s 40 %, druhý s 30 %. V produkcii prvého závodu je v priemere 2 % nepodarkov, u druhého 4 % nepodarkov, u tretieho je v priemere 5 % nepodarkov. Bol zakúpený výrobok a zistilo sa, že je nepodarok. Z ktorého závodu najpravdepodobnejšie pochádza? Určite odpovedajúce pravdepodobnosti.

Výsledky

0,2917 2. 0,0842 3. 0,837

5. 0,1111 6. 0,72

0,096 8. 0,495 9. 0,72

0,986 11. 0,4788 12. 0,4234

0,512 14. 0,328 15. 0,0809

0,388 17. 0,135 18. 0,75

a) 0,15 b) 0,375 c) 0,75

0,78 21. 0,225 22. 0,72

0,91 24. 0,024 25. 0,2612

0,588 27. 0,997 28. 0,4444

0,0789 30. 0,39 31. 0,039

0,19

a) 0,49 b) 0,28 c) 0,23

0,20 35. 0,43 36. 0,3395

a) 0,067 b) 0,467 c) 0,533

0,000 000 072 39. 0,585 40. 0,4545

a) 1/8 b) 1/8 c)

d) 3/4

a) 0,3383 b) 0,3266 c) 0,3351

75% 44. a) 40/41 b) 1/41

a) 0,0575 b) 0,002 c) 0,9405

d) 16/115

a) 121 b) 44 c) 23 domácností.

a) 28 b) 4 48. 7/16

a) 0,66 b) 0,02 c) 0,02

P(A)=0,66 51. P(A)=0,909

a) P(H₁)=0,3 b) P(H₁/A)=0,045 53. P(A)=0,9125

P(H₃/A)=0,196 55. P(H₁/A)=0,228