Pojem množiny

Pojem množiny

Množina je základný (východiskový, elementárny, primitívny) pojem modernej matematiky. Ako všetky ostatné triviálne pojmy (napr. bod, priamka, číslo 2), ani množinu nedefinujeme. Môžeme si však aspoň vysvetliť, čo pod pojmom množiny rozumieme: Je to súhrn objektov.

Množinu určujeme vymedzením jej prvkov. To znamená, že povieme, ktoré prvky do nej patria a ktoré nepatria. Pre popis javu, že nejaký objekt x patrí do množiny A (je teda jej prvkom), matematici vymysleli znak:

x I A

Takýto zápis čítame: „x je prvkom množiny A.“

(alebo slangovo: „x patrí A.“)

Určiť množinu môžeme dvoma spôsobmi:

Vymenujeme všetky jej prvky (len u konečných množín – množín s konečným počtom prvkov).

_{Popíšeme množinu nejakou jej charakteristickou vlastnosťou (napr. množina párnych čísel).}

_{Vymyslíme iný spôsob a množinu určíme po svojom (napr. graficky).}

_{Ešte množina, ktorá neobsahuje žiadne prvky (dá sa teda tvrdiť, že je prázdna), dostala od matematikov takisto znak: . Hovoríme jej „prázdna množina“.}

Rovnosť množín

V tomto prípade už dokážeme sformulovať definíciu a myslím, že definícia postačí:

Množiny A, B sa rovnajú (A = B) práve vtedy, keď každý prvok z množiny A je prvkom z množiny B a každý prvok z množiny B je prvkom množiny A.

_{Pomocou značiek: A = B x:  xIA xIB}

_Vlastnosti:

_{A = A - reflexívnosť}

_{A = B B = A - symetria}

_{A = B B = C T A = C - tranzitívnosť}

Vennové diagramy

Vennové diagramy sa používajú na znázorňovanie množín (väčšinou viacerých). Najlepšie sa to pochopí na príkladoch.

Toto je znázornená množina A:

Toto je znázornená množina A aj B, ktoré sú umiestnené v nejakej základnej množine Z. Tam, kde sa pretínajú majú spoločné body:

Inklúzia

Ak by sme si chceli slovo inklúzia preložiť do slovenčiny (napr. cez angličtinu) myslím, že by sme dostali niečo ako zahrnutie. Inklúzia teda zrejme znamená, že jedna množina zahŕňa v sebe druhú. V matematike hovoríme, že je nadmnožinou tej druhej alebo, že druhá množina je podmnožinou tej prvej (častejšie sa používa výraz podmnožina, ako nadmnožina, a dokonca slovo inklúzia sa v tejto súvislosti skoro ani nepoužíva – na maturite sa vás učiteľ hneď spýta, s akým pojmom súvisí inklúzia a bude chcieť počuť „podmnožina“).

Pre lepšie pochopenie najprv nakreslím Vennove diagramy a potom napíšem definíciu:

Situácia: A je podmnožinou množiny B:

Definícia:

Hovoríme, že množina A je podmnožinou množiny B (alebo B je nadmnožinou A) a píšeme A B, ak každý prvok množiny A je zároveň prvkom množiny B.

Matematické značky: A B _{x: xIA T xIB}

_{Vlastnosti množín:}

_{Jediné, ktorú sa vás na maturite môžu spýtať (sú to dve, ktoré nie sú až také triviálne – nenapadnú vás hneď):}

A B B A A = B - metóda dôkazu rovnosti dvoch množín

A B B C T A C - tranzitívnosť

Zjednotenie

Okrem predošlých definícií si matematika navyše vymyslela rôzne operácie, ktoré sa s množinami môžu vykonávať a pomocou ktorých si vieme zhotoviť nové množiny.

Vennové diagramy: Vyšrafované je zjednotenie množín A a B:

Definícia operácie zjednotenia dvoch (viacerých) množín:

Zjednotením množín A, B nazývame množinu A B tvorenú práve tými objektmi x, ktoré sú prvkami aspoň jednej z množín A, B.

To isté pomocou znakov:   xI A B  xIA xIB

Vlastnosti zjednotenia (stačí sa ich vedieť dovtípiť, netreba ich vedieť naspamäť):

A B = B A  (vlastnosť komutatívnosť)

A (B C) = (A B) C  = A B C  (asociatívnosť)

Sú aj ďalšie, ale tie sa vás na maturite určite nespýtajú (A A = A - lacné).

Prienik

Ďalšou operáciou s dvoma (a viacerými) množinami je prienik.

Vennové diagramy: Vyšrafovaný je prienik množín A a B:

Definícia:

Prienikom množín A, B nazývame množinu A B tvorenú práve tými objektmi x, ktoré sú súčasne prvkami oboch množín A, B.

Cez znaky:  xI A B  xIA xIB

Vlastnosti:

Komutatívnosť (A B = B A), asociatívnosť (A (B C) = (A B) C, môžeme písať A B C), distributívnosť:

A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C)

Toto sú dva distributívne zákony, ktoré v podstate vravia: Prienik je distributívny vzhľadom na zjednotenie; zjednotenie je distributívne vzhľadom na prienik.

S pojmom prienik bezprostredne súvisia disjunktné množiny:

Ak A B = , hovoríme, že množiny A, B sú disjunktné (nemajú spoločný prvok).

Rozdiel

Vennove diagramy: Vyšrafovaný je rozdiel množín A a B (v tomto poradí):

Definícia:

Rozdielom množín A, B (pričom záleží na poradí) nazývame množinu A – B tvorenú práve tými objektmi x, ktoré patria do množiny A a nepatria do množiny B.

xI A – B  xIA  x B

Doplnok

U doplnku potrebujeme mať zadefinovanú (napr. na začiatku príkladu) nadmnožinu, z ktorej vychádzame (napr. množina prirodzených čísel). Označme si ju X. Potom doplnkom (komplementom) množiny A v jej nadmnožine X nazývame množinu A’, tvorenú práve tými objektmi x, ktoré sú prvkami X, ale nie sú prvkami A, teda A’ = X – A.

Vennové diagramy: Vyšrafovaný máme doplnok množiny A:

Vlastnosti doplnku:

Nech A, B X. Potom platia de Morganove pravidlá:

(A B)’ = A’ B’

(A B)’ = A’ B’

Ešte jedna zaujímavá vlastnosť:

A – B = A B’  - niekedy sa používa ako definícia rozdielu dvoch množín

Princíp inklúzie a exklúzie

Aj keď princíp inklúzie a exklúzie vyzerá, že bude dosť všeobecný, v skutočnosti sa zaoberá len jedným-dvoma špeciálnymi prípadmi a proste si treba zapamätať, že tento prípad budeme nazývať princíp inklúzie a exklúzie.

Je to výpočet počtu prvkov zjednotenia dvoch (troch, štyroch, ) množín. Výpočet má jednoduchý vzorec, avšak treba si zapamätať, že práve on je princípom inklúzie a exklúzie:

Počet prvkov nejakej množiny, napr. A, označujeme A

Princíp inklúzie a exklúzie pre dve množiny:

|A B| = |A| + |B| - |A B|  - musíme odrátať počet prvkov prieniku A a B, lebo tie prvky sme už zarátali dvakrát (|A| - raz, |B| - druhýkrát)

Princíp inklúzie a exklúzie pre tri množiny:

|A B C| = |A| + |B| + |C| - |A B| - |B C| - |A C| + |A B C| 

Prieniky jednotlivých dvojíc množín boli všetky zarátané 2-krát, teda ich treba odrátať a prienik všetkých troch množín bol 3-krát prirátaný a potom 3-krát odrátaný, teda ho raz prirátame.