Pojem vzdálenosti v analytické geometrii

30a - úloha 1

Je dán bod M  a roviny ,

a) Ověřte, že a b

b) Určete jejich vzdálenost.

c) Najděte obraz bodu M v rovinné souměrnosti podle a

30a - úloha 2

Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Velikost jeho podstavné hrany je a = 6, výška jehlanu je v = 6. Vypočítejte vzdálenost bodu A od roviny BCV.

30a - úloha 3

Najděte rovnici přímky, která prochází bodem  a od bodu  má vzdálenost .

29a - úloha 1

Jsou dány body ; a rovina r: . Vypočítejte odchylku přímky MN od roviny r

29a - úloha 2

Je dána přímka p jako průsečnice rovin r s

r: ; s: 

Určete rovnici roviny kolmé k přímce p, která prochází počátkem soustavy souřadnic.

29a - úloha 3

Počátkem soustavy souřadnic proložte rovinu kolmou k rovině a tak, aby s rovinou b svírala úhel 30°.

a : 

b : 

27a - úloha 1

Najděte rovnici tečny elipsy v jejím bodě .

27a - úloha 2

Vypočítejte úhel tečen vedených z bodu  ke křivce vyjádřené rovnicí .

27a - úloha 3

Určete pro která reálná čísla m přímka p: …

a)  protíná hyperbolu 

b)  dotýká se jí

c)  nemá s hyperbolou žádný společný bod

24a - úloha 1

Je dána úsečka AB;. Určete geometrické místo bodů M, které mají tu vlastnost, že vzdálenost každého z nich od středu úsečky AB je rovna číslu .

24a - úloha 2

Vyšetřete množinu bodů X roviny, pro které platí . Body A,B,C jsou vrcholy rovnostranného trojúhelníka ležícího v téže rovině.

24a - úloha 3

Bod  se pohybuje tak, že rozdíl čtverců vzdáleností od bodů  a je stále roven 4a (a > 0). Napište rovnici křivky, po které se bod M pohybuje.

9a - úloha 1

Napište parametrické rovnice přímky a, která prochází bodem a průsečíkem B přímky p s rovinou r

p

t I R

r

9a - úloha 2

Určete rovnici roviny r, která prochází body , a je kolmá k rovině s : .

9a - úloha 3

Určete vzájemnou polohu tří rovin daných rovnicemi…

a

b

g

Dále určete jejich společný průnik a b g

8a - úloha 1

Na přímce p najděte bod stejně vzdálený od bodů , .

8a - úloha 2

Jsou dány body , , a rovina r: .

a)  Bodem A veďte přímku rovnoběžnou s přímkou .

b)  Ukažte, že přímka  je různoběžná s rovinou r a najděte průsečík.

8a - úloha 3

Určete obsah trojúhelníku, jehož strany jsou dány rovnicemi…

a

b

c

7a - úloha 1

Je dán D ABC: , , .

Vypočítejte:  a) velikosti výšek
b) velikosti těžnic
c) souřadnice těžiště

7a - úloha 2

Jsou dány body , , .

a)  Dokažte, že A, B, C jsou vrcholy trojúhelníku.

b)  Vypočítejte velikost strany a.

c)  Vypočítejte velikost úhlu a

d)  Vypočítejte vzdálenost těžiště T od vrcholu C.

7a - úloha 3

Jsou dány body , , , .

a)  Dokažte, že A, B, C, D jsou vrcholy kosočtverce.

b)  Vypočítejte velikost jeho strany.

c)  Vypočítejte velikosti úhlopříček.

d)  Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů.

6a - úloha 1

Určete rovnici tětivy paraboly P, která prochází body , .

A,B I P

vrchol paraboly:

ohnisko paraboly:

6a - úloha 2

Napište rovnice všech přímek, které mají s parabolou společný právě jeden bod a procházejí bodem .

6a - úloha 3

Bodem veďte takovou tětivu paraboly , která je bodem A půlena.

5a - úloha 1

Najděte rovnici hyperboly, která má vrcholy v ohniskách elipsy a ohniska v jejích vrcholech.

5a - úloha 2

Najděte rovnici hyperboly, jejíž výstřednost a která má asymptoty:

5a - úloha 3

Určete všechny přímky, které procházejí bodem a mají s křivkou právě jeden společný bod.

4a - úloha 1

Napište rovnici elipsy, který prochází body , a má střed v počátku. Určete její ohniska.

4a - úloha 2

Do elipsy je vepsán obdélník, jehož dvě protilehlé strany procházejí ohnisky a jsou kolmé k ose elipsy. Určete jeho obsah.

4a - úloha 3

Najděte společné body elipsy a paraboly, která má vrchol v počátku a ohnisko v ohnisku elipsy.

3a - úloha 1

Dokažte, že rovnice…

…jsou rovnicemi kružnic a pak napište rovnici přímky, která je určena jejich středy.

3a - úloha 2

Napište rovnici kružnice, která prochází body , a má střed na přímce .

3a - úloha 3

Napište rovnici kružnice, která má střed na ose y a prochází body , ležícími na přímce .