Posloupnosti

Posloupnosti

Pojem posloupnosti představuje základ (přinejmenším metodicky) matematické analýzy na straně jedné, na straně druhé je zásadní v aplikacích matematiky. Vyjdeme z číselné množiny. Názorně si ji můžeme představit jako osudí (nádobu), ve které jsou lístky, na kterých jsou uvedeny hodnoty, odpovídající všem prvkům množiny. Počet lístků může samozřejmě být konečný nebo nekonečný. Posloupnost vznikne tak, že kromě hodnoty určíme navíc pořadí (pořadové číslo) každého prvku. Můžeme si to představit tak, že na jedné straně lístku zapíšeme černě hodnotu, na druhé červeně pořadí. Je samozřejmé, že pořadové číslo musí být číslo přirozené a dále, že dva různé prvky množiny nemohou mít stejné pořadí (stejnou hodnotu však bez omezení ano). Z hlediska matematické analýzy jsou zajímavé jedině nekonečné posloupnosti. Navíc se nebudeme zabývat jinými než číselnými posloupnostmi.

Definice nekonečné posloupnosti pak zní např. takto: Jestliže každému přirozenému číslu n přiřadíme podle určitého pravidla nejvýše jedno číslo a_n řekneme, že jsme vytvořili číselnou posloupnost. Příklady uvidíme dále.

V souvislosti s posloupnostmi vzniká problém, jak se chová a_n , když n je velmi veliké (roste nade všechny meze). Tyto úvahy vedou na limitu posloupnosti a patří již plně do oblasti matematické analýzy.

Poznámka: V praxi vznikají např. pravidelným (většinou v čase) měřením dané fyzikální či ekonomické veličiny posloupnosti zásadně konečné. Zde je ovšem problém s tím, jakou měrou je danou (časovou řadou) popsán průběh původně spojité a často v čase nekonečné fyzikální veličiny. Touto problematikou se zde nezabýváme, její význam však velmi vzrostl po zavedení počítačů do vědecké a technické praxe. Např. záznamy o seismicitě byly dříve uchovávány v podobě svitků stabilizovaného světlocitlivého papíru, na kterém byl graf průběhu seismicity. Dnes se číselné údaje v podobě posloupností digitálně ukládají na vhodná počítačová media. Přitom je nutno volit optimální krok (v čase) tak, aby diskrétní data dobře popisovala průběh spojité funkce na straně jedné a svým objemem nepřekračovala mez, danou efektivitou počítačů v dané epoše na straně druhé.

Vraťme se nyní k abstrakci - nekonečné posloupnosti. Posloupnost je definována, je-li dán předpis, pomocí kterého je možno určit její každý člen. Nejpřirozenější způsob určení členů posloupnosti je pak formule pro n - tý člen. Posloupnost v tomto případě můžeme zapsat ve tvaru .U množin jsme se navíc setkali s rekurencí - ta ale určuje i pořadí a proto je ve skutečnosti spíše zadáním posloupnosti. Např. dále uvedené posloupnosti P7 a P8 - geometrická a aritmetická - mohou být definovány rekurentně. Vzpomeňte si na střední školu!

Posloupnosti můžeme také znázorňovat graficky v pravoúhlé souřadné soustavě.

Věnujme nyní pozornost některým z metodického hlediska zajímavým posloupnostem

Cvičení 6.1: Utvořte graf s prvními deseti členy alespoň pro dvě z daných posloupností! V případech P7 a P8 volte za parametry malá celá čísla.

Všimněme si nyní blíže posloupnosti P1. Je zřejmé, že všechny členy jsou rovny nebo menší, než 1. Dále platí, že žádný člen nemůže být záporný, tedy menší než nula. Další její vlastností je to, že následující člen je vždy menší, než člen předcházející (viz výpočet dále). O takové posloupnosti řekneme, že je klesající, shora i zdola ohraničená (pokuste se formulovat, co musí obecně platit, aby posloupnost byla shora či zdola ohraničená. K zápisu použijte kvantifikátorů!) O tom, že posloupnost je klesající, se přesvědčíme odečtením následujícího členu od předcházejícího obecně dostáváme

1/n - 1/(n+1) = (n+1-n)/(n.(n+1)) > 0 ,

tedy pro každé n je výsledkem výpočtu kladné číslo (vysvětlete podrobně!). S rostoucím n se členy posloupnosti blíží k nule. takovým způsobem, že ať stanovíme sebemenší (kladnou) závoru, vždy se najde takový index odpovídající členu posloupnosti, který bude menší (ten člen posloupnosti, ne index) a zároveň kladný. Pro všechny následující členy posloupnosti musí platit totéž. V následující tabulce jsou v prvním sloupci uvedeny mezní hodnoty, v druhém pak index (pořadové číslo) největšího členu, od kterého jsou všechny další menší, než je mez. Podstatné je, že příslušný vztah lze vyjádřit obecně. Představte si celou záležitost jako dialog dvou důsledně logicky myslících lidí – nejlépe přímo matematiků (dialog je podrobněji uveden pro P2)!

Platí-li uvedené, pak řekneme, že P1 má (vlastní) limitu rovnou nule a píšeme

pro n je lim a_n = 0; takovou posloupnost nazýváme nulovou, definici limity uvedeme v dalším odstavci.

Nakreslete si nyní první členy posloupnosti P2 a uvažte, že není rostoucí ani klesající (posloupnosti s pravidelně se střídajícími znaménky členů říkáme oscilující). Limitu má pak opět nulu, rozhoduje totiž pouze vzdálenost od nuly, která se s rostoucím n zmenšuje. Pokud tedy můj (nepříjemný) oponent zadá jakkoli malé číslo e, vždy najdu takové n₀, pro něž platí, že pro všechna n > n₀, je vzdálenost (absolutní hodnota rozdílu) všech a_n od limitní hodnoty a (zde nuly) menší, než zvolené e. Prakticky to znamená, že najdu formuli, jejíž pomocí přímo určím a_n0 v závislosti na zadaném e (toleranci). To jsme učinili u P1. Pokuste se nalézt formuli i pro P2! Nakreslete graf P2 s limitou a vhodně zvoleným e

Můžeme tedy obecně definovat: Řekneme, že má (vlastní) limitu a, jestliže platí: Ke každému (sebemenšímu) e>0 existuje n₀ takové, že pro všechna n>n₀ je |a_n – a| < e. Píšeme pro je lim a_n = a.

Obvyklé je zapisovat limitu ve tvaru  lim a_n = 0 s údajem typu n pod textem „lim“. Náš zápis je dán technickými příčinami.

Zabývejme se posloupností P3. Je to posloupnost sudých čísel. Nakreslete do grafu několik jejích prvních členů. Je zřejmé, že vlastní limita neexistuje proto, že – ať zvolíme a jakékoliv – s rostoucím n bude této hodnoty dosaženo a ihned bude natrvalo překonána. Tato skutečnost se označuje jako nevlastní limita . Píšeme pro n je lim a_n = . Obdobně zavádíme limitu - (vždy však jen pro n .

Posloupnost P4 bude mít zřejmě za limitu a = 1. Pokud od všech a_n odečteme a = 1, dostaneme posloupnost nulovou.

Posloupnost P5 je triviální. Z definice přímo plyne, že limita je rovna 3.

Posloupnost P6 není zajímavá svými hodnotami, jako spíše zadáním. Jejím základem je obecně známá funkce kosínus (probereme v následující kapitole). Protože hodnoty této funkce odpovídající členům posloupnosti (mluvíme o vzorkování) jsou relativně daleko od sebe, charakter funkce, která je základem, se téměř ztratil. Je zřejmé, že P6 limitu nemá.

Posloupnosti P7 a P8 jsou geometrická a aritmetická posloupnost. Ty jsou vám jistě známé ze střední školy. Uvažte, jaká bude limita pro 0 < q < 1, |q| = 1 a q| > 1 v případě P7. V případě P8 pak uvažte případy d<0 a d>0 !

Úloha

6.1 Nakreslete do grafu první členy všech posloupností, vyznačte jejich limity, pokud existují.

6.2 Nakreslete v grafu několik prvních členů P2 spolu s limitou a vhodně zvoleným e