Soustava lineárních rovnic

Základní pojmy

Vyšetřujeme soustavu m lineárních rovnic o n neznámých ve tvaru:

kde a_ij nazýváme koeficienty ,

x_j nazýváme neznámé ,

b_i nazýváme pravé strany .

Je‑li b_i = 0 i (tj. pro i = 1,2,,m), pak soustavu nazýváme homogenní , jinak nehomogenní.

Soustavu můžeme zapsat v maticovém tvaru:

=   nebo

kde A = je matice soustavy,

je vektor neznámých, a je vektor pravých stran.

Poznámka : Ekvivalentní úpravy pro SLR jsou úpravy, které převádějí jednu SLR na soustavu se stejnou množinu řešení. Je zřejmé, že jsou totožné s ekvivalentními řádkovými úpravami pro výpočet hodnosti matice.

Sestavme matici ve tvaru:

Tuto matici značíme a nazýváme ji rozšířenou maticí soustavy.

Gaussova eliminační metoda (GEM) řešení lineárních rovnic

Ekvivalentními úpravami převedeme matici na trojúhelníkový tvar (tj. pod hlavní diagonálou samé nuly). Z takto upravené matice lze okamžitě zjistit h(A) a h(). Přepíšeme‑li tuto upravenou matici zpětně na soustavu rovnic, můžeme postupně počítat hodnoty neznámých počínaje x_n.

Poznámka1 : Soustava nemá žádné řešení právě tehdy, když h(A) ¹ h().

Poznámka2 : Je‑li

h(A) = h() = n,

(kde n je počet neznámých) pak soustava má právě jedno řešení.

Poznámka3 : Je‑li

h(A) = h() = h < n,

pak soustava má nekonečně mnoho řešení, která jsou závislá na volbě (n h) parametrů.

Příklad1: GEM řešte SLR :

Řešení

=

Þ h(A) = h() = 3 = n

Þ soustava má právě jedno řešení.

x₃ = 3 Þ x₂ = 2 Þ x₁ = 1 tj.

Příklad2: GEM řešte SLR :

Řešení : = Þ 1 = h(A) ¹ h() = 2 

Þ soustava nemá řešení.

Příklad3: GEM řešte SLR :

Řešení

= Þh(A) = h() = 2 < n

Þ soustava má nekonečně mnoho řešení, která jsou závislá na volbě (n h) parametrů. V tomto případě 4 2=2, čili 2 parametry.

Položíme x₄ = s, x₃ = r Þ x₂ = -7-8r+9s a x₁ = -4-6r+5s.

To je kde r,sIR.

Řešení soustav n lineárních rovnic o n neznámých s regulární maticí soustavy

Příklad: Řešte SLR :

Řešení

Þ právě jedno řešení, které určíme pomocí CP:

, ,

Þ