Soustavy lin. alg. rovnic

Zápište soustavu m lineárních rovnic o n neznámých (naleznete ji v E1 str. 213):

a x + a x + a_1n x_n = b

a x + a x + a_2n x_n = b

A_i1 x + a_i2 x + a_in x_n = b_i

A_m1 x + a_m2 x + a_mn x_n = b_m

Zápis koeficientů ve tvaru matice A (matice soustavy typu m * n) spolu s vektorem pravých stran jako posledního sloupce matice (většinou oddělovaného svislou čarou) vede na rozšířenou matici soustavy A_r typu m * (n+1) – viz E str. 214. Ta obsahuje všechny informace potřebné pro nalezení řešení. Zkráceně lze soustavu zapsat ve tvaru rovnosti maticového typu

A.x = b ,

kde _mA_n = (a_ij) je matice soustavy,

_nx = x_n je vektor neznámých dimenze n a

_mb = b_m je vektor pravých stran dimenze m

Jak je patrno, vektory x a b chápeme jako sloupcové; v souvislosti s maticemi je tomu tak vždy, pokud není řečeno jinak

Cvičení: Rozepište maticovou rovnici do tvaru vztahů mezi prvky!

Soustava buď

nemá řešení nebo

má právě jedno řešení nebo

má nekonečně mnoho řešení.

V souvislosti s uvedeným věta Frobeniova (E1 str. 215) tvrdí: Soustava má řešení tehdy a jen tehdy, je-li hodnost matice soustavy a rozšířené matice soustavy stejná (tedy rozšířená matice nemá hodnost větší).

Je-li navíc h_soustrozš = h_soust = n, kde n je počet neznámých, existuje jediné řešení; je-li h menší než n existuje nekonečně mnoho řešení s tím, že za n-h neznámých volíme libovolná čísla z R (chápeme je jako parametry). K jednoznačnému řešení tedy vede soustava o n neznámých o hodnosti n, tedy o n lineárně nezávislých rovnicích. Matice takovéto soustavy je čtvercová a nazývá se regulární.

Ekvivalentní soustavy jsou soustavy rovnic, mající stejnou množinu řešení. Ekvivalentní úpravy rozšířené matice soustavy jsou pak úpravy, které nemění množinu řešení. Jsou stejné, jako úpravy neměnící hodnost matice. Řešením soustavy rovnic převodem rozšířené matice soustavy na trojúhelníkovou matici jakožto jeho principiální součásti se nazývá Gaussova eliminační metoda a my jsme se s její podstatou seznámili v předcházející kapitole. Gaussova eliminace jakožto algoritmus řešení soustav lineárních algebraických rovnic má pak dvě části (chody):

• Přímý chod – zde platí stejná pravidla, jako pro určování hodnosti matice, výsledek je tedy trojúhelníková rozšířená matice. Začneme prvním sloupcem; ekvivalentními úpravami pomocí prvku a₁₁. získáme nuly pod hlavní diagonálou (uvažte, co dělat, když je a₁₁ = 0!) V dalším kroku opakujeme totéž s  a₂₂ atd.
• Obrácený chod – spočívá v tom, že z posledního řádku spočteme poslední neznámou (případné nadbytečné neznámé změníme na parametry). Spočtenou hodnotu poslední neznámé dosadíme do předposlední rovnice, ve které tak zbude pouze jediná – předposlední – neznámá. Takto postupujeme až k rovnici první.

Gauss odvodil příslušný algoritmus okolo poloviny devatenáctého století ,a je nutno konstatovat, že tento algoritmus představoval výrazný pokrok při řešení lineárních úloh s tím, že možnosti jeho využití pak zmnohonásobily počítače. Podotkněme, že Gaussův postup představuje nejen konstrukci řešení, ale obsahuje i důkaz o jeho existenci (neexistenci) a jednoznačnosti (nejednoznačnosti). Přitom to zdaleka není jediný algoritmus, kterým Gauss svojí prací v polovině devatenáctého století přispěl k rozvoji programového vybavení počítačů konce století dvacátého.

Příklad 5.1: Řešme soustavu

1 1 2

0 5 2

0 0 4 odtud z = 1/2, y = 8/5 , x = -8/5. Přesvědčte se provedením zkoušky!

Příklad 5.2: Řešme soustavu

1 1 -1 1 1 -1

0 –3 3 | 1 0 –3 3 | 1 řešení (1/3; 5; 16/3)

0 1 0 | 5 0 0 3 |16

Příklad 5.3 Soustava nemající řešení

Návod: Aplikujte větu Frobeniovu! Nakreslete do grafu, rovnice jsou přímky v rovině!

Příklad 5.4 mající nejednoznačné řešení

Návod: Aplikujte opět větu Frobeniovu! Volte za jednu proměnnou parametr. Pokud za parametr vezmu druhou proměnnou a chápu ji jako závisle proměnnou (volím x dostanu y) má naše úloha geometrický význam jediné přímky –. Nakreslete ji!

Příklad

1 2 | 3 1 2 | 3 1 2 | 3

0 7 | 11 0 7 | 11

0 7 | 11 0 0 | 0

Odtud plyne, že 3.řádek je lineární kombinací prvního a druhého řádku. Přesvědčte se o tom! Hodnost matice soustavy a rozšířené matice jsou stejné, tj. 2, řešení existuje. Protože první dvě rovnice jednoznačně určují obě neznámé, nenese třetí rovnice již žádnou užitečnou informaci.

Cvičení 5.1: Řešte předcházející cvičení graficky. Jednoznačné řešení původní soustavy je průsečík tří různoběžných přímek.

Cvičení 5.2 B36 (k příkladu 3.4 v odstavci Lin. prostory se skalárním součinem ): Zde provedeme slíbené řešení soustavy:

2 3 -1 | 0 2 3 -1 | 0

1 –2 3 | 0 0 7 –7 | 0 řešení x = (-3; 3; 3)

2 –1 1 | -6 0 0-14 | -42

Úlohy.

5.1 Proveďte znova výpočty a nakreslete grafy příslušné příkladům 5.3 až 5.5! (Do sestavy patří i cvičení 5.1!)

5.2 Sestavte sami soustavu tří rovnic o třech neznámých takto: Napište levé strany všech rovnic (s libovolnými koeficienty). Dále volte řešení a podle něj určete pravé strany. Takto získanou soustavu (včetně řešení) pro procvičení vyřešte standardně (bez toho, že byste použili známý výsledek – ten poslouží pouze jako kontrola správnosti)!