Scrigroup - Documente si articole

     

HomeDocumenteUploadResurseAlte limbi doc
BulgaraCeha slovacaCroataEnglezaEstonaFinlandezaFranceza
GermanaItalianaLetonaLituanianaMaghiaraOlandezaPoloneza
SarbaSlovenaSpaniolaSuedezaTurcaUcraineana

BiologieBudovaChemieEkologieEkonomieElektřinaFinanceFyzikální
GramatikaHistorieHudbaJídloKnihyKomunikaceKosmetikaLékařství
LiteraturaManagementMarketingMatematikaObchodPočítačůPolitikaPrávo
PsychologieRůznéReceptySociologieSportSprávaTechnikaúčetní
VzděláníZemědělstvíZeměpisžurnalistika

VEKTOROVÉ PROSTORY

matematika



+ Font mai mare | - Font mai mic



DOCUMENTE SIMILARE

TERMENI importanti pentru acest document

:

Vektorové prostory

Definice: Vektorový prostor nad R nazýváme neprázdnou množinu V ( V ¹ , prvky nazýváme vektory ), na které jsou definovány operace sčítání a násobení :



(+)   (součet dvou vektorů je také vektor)

( násobek vektoru je také vektor)

Přitom tyto operace splňují následující podmínky :

komutativnost

asociativnost

existence nulového vektoru

existence opačného vektoru

distributivnost

distributivnost

asociativnost

existence jednotkového prvku

Příklad: Nechť L je množina přirozených čísel, na které definujeme součet přirozených čísel a reálný násobek přirozeného čísla „obvyklým způsobem“. Máme rozhodnout, zda L je vektorový prostor.

Řešení : Aby L byl vektorový prostor, muselo by podle definice platit:

a) Pro všechny vektory je jejich součet opět vektor z L, tj. množina je uzavřena vůči sčítání.

b) Pro každé cIR a je opět vektor z L, tj. množina je uzavřena vůči násobení vektoru reálným číslem.

c) V množině L platí podmínky 1. až 8.

Protože existuje cIR a pIN takové, že c.pÏN (například pro c = -1, = 1), není N uzavřená vůči násobení reálným číslem. Množina L není vektorový prostor.

Příklady vektorových prostorů

1. Množina komplexních čísel, na které je obvyklým způsobem definováno sčítání a násobení komplexních čísel číslem reálným.

2. Množina všech spojitých funkcí jedné reálné proměnné na intervalu .

3. Množina všech uspořádaných n-tic reálných čísel

kde operace jsou definovány vztahy :

(+) :  

:

(aritmetický n‑rozměrný vektorový prostor)

4. Množina všech orientovaných úseček v rovině s počátečním bodem [0,0].

(geometrický model vektorového prostoru)

Definice: Buď V vektorový prostor nad R, . Existují-li taková čísla , že

pak říkáme, že vektor je lineární kombinací (LK) ostatních vektorů.

Definice: Buď V vektorový prostor nad R, vektory nazveme lineárně závislé (LZ) jestliže platí

() Ù (alespoň jedno z čísel )

Platí-li rovnost pouze pro potom řekneme, že vektory jsou lineárně nezávislé (LN).

Poznámka : Když   pak nazýváme triviální LK.

Důsledek : jsou LZ alespoň jedna jejich netriviální lineární kombinace rovná .

Vlastnosti LN vektorů

1. Lineární nezávislost nezáleží na pořadí vektorů.

2. Pokud skupina vektorů obsahuje Þ vektory jsou LZ.

3. Jsou-li vektory lineárně nezávislé, pak vynásobíme-li libovolný z vektorů číslem c¹0, dostaneme opět LN vektory.

4. Jsou-li vektory lineárně nezávislé, pak přičteme-li k libovolnému vektoru LK ostatních, dostaneme opět LN vektory.

Věta: Vektory jsou LZ Û alespoň jeden z nich lze vyjádřit jako LK ostatních.

Příklad: Jsou dány vektory =(1,-1,1), =(2,3,0), =(-1,-4,1), z aritmetického vektorového prostoru R3. Posoudíme, zda jsou LZ či LN.

Řešení : Hledáme reálná čísla a b c , vyhovující rovnici :

a b c

Po dosazení aritmetických vektorů , , a nulového vektoru =(0,0,0) a provedení operací na pravé straně dostaneme

(0,0,0) = ( a b c a b c a c

Odtud máme soustavu tří lineárních rovnic pro tři neznámé a b c

a b c

-a b c

a     c

Tato soustava má vždy řešení a b c = 0. Musíme rozhodnout, jestli je toto řešení jediné, nebo existuje další řešení, ve kterém je alespoň jedna neznámá různá od nuly. Protože soustavě například vyhovuje a b c = ‑1, jsou vektory lineárně závislé. 

Poznámka: Množina všech lineárních kombinací vektorů V je vektorový prostor. Skupinu vektorů nazýváme určující skupinou tohoto vektorového prostoru.

Definice: Báze vektorového prostoru je lineárně nezávislá určující skupina vektorů tohoto prostoru. Počet vektorů báze se nazývá dimenze vektorového prostoru.

Příklad: Jednotkové vektory v aritmetickém vektorovém prostoru R3 ,

= (1,0,0), = (0,1,0), =(0,0,1),

jsou příkladem báze tohoto prostoru. Snadno se totiž přesvědčíme, že pro každé I R3 platí

(,, je určující skupina)

a rovnice

a b c

má jediné řešení a b c = 0. (,, jsou lineárně nezávislé)

Podprostory

Definice: Podprostorem vektorového prostoru V nazveme neprázdnou podmnožinu W z V, uzavřenou vůči sčítání a vůči násobení vektoru reálným číslem, tj.

.

Definice: Jestliže V (vektorový prostor nad R). Množina všech LK těchto vektorů se nazývá lineární obal vektorů . Značíme <>

Dá se dokázat, že je to podprostor prostoru V.

Příklad: Rozhodněte, zda množina L je podprostorem vektorového prostoru R4, jestliže

L = 

Řešení : L je podprostor jestliže je sám vektorový prostor. Mějme v,wIL tj.

v = (v1,v2,v3,v4)I R4, v1+v2+v3+v= 0 a

w = (w1,w2,w3,w4)I R4, w1+w2+w3+w= 0

Pak

v + w = (v1+ w1,v2+ w2,v3+ w3,v4+ w4)I R4 a součet složek

v1+ w1+v2+ w2+v3+ w3+v4+ w4 = (v1+v2+v3+v)+( w1+w2+w3+w) = 0.

Čili součet (v+w)IL , tj. množina je uzavřena vůči sčítání. Navíc

c.v = (c.v1,c.v2,c.v3,c.v4)I R4 a

c.v1+c.v2+c.v3+c.v4 = c. (v1+v2+v3+v) = c.0 = 0

Čili součin c.v IL , tj. množina je uzavřena vůči násobení vektoru reálným číslem.

Protože je zřejmé, že budou splněné i podmínky, pak můžeme říci, že L je podprostorem vektorového prostoru R4.



Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare



DISTRIBUIE DOCUMENTUL

Comentarii


Vizualizari: 982
Importanta: rank

Comenteaza documentul:

Te rugam sa te autentifici sau sa iti faci cont pentru a putea comenta

Creaza cont nou

Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2024 . All rights reserved