CATEGORII DOCUMENTE |
Bulgara | Ceha slovaca | Croata | Engleza | Estona | Finlandeza | Franceza |
Germana | Italiana | Letona | Lituaniana | Maghiara | Olandeza | Poloneza |
Sarba | Slovena | Spaniola | Suedeza | Turca | Ucraineana |
Definice: Vektorový prostor nad R nazýváme neprázdnou množinu V ( V ¹ , prvky nazýváme vektory ), na které jsou definovány operace sčítání a násobení :
(+) (součet dvou vektorů je také vektor)
( násobek vektoru je také vektor)
Přitom tyto operace splňují následující podmínky :
komutativnost
asociativnost
existence nulového vektoru
existence opačného vektoru
distributivnost
distributivnost
asociativnost
existence jednotkového prvku
Příklad: Nechť L je množina přirozených čísel, na které definujeme součet přirozených čísel a reálný násobek přirozeného čísla „obvyklým způsobem“. Máme rozhodnout, zda L je vektorový prostor.
Řešení : Aby L byl vektorový prostor, muselo by podle definice platit:
a) Pro všechny vektory je jejich součet opět vektor z L, tj. množina je uzavřena vůči sčítání.
b) Pro každé cIR a je opět vektor z L, tj. množina je uzavřena vůči násobení vektoru reálným číslem.
c) V množině L platí podmínky 1. až 8.
Protože existuje cIR a pIN takové, že c.pÏN (například pro c = -1, p = 1), není N uzavřená vůči násobení reálným číslem. Množina L není vektorový prostor.
Příklady vektorových prostorů
1. Množina komplexních čísel, na které je obvyklým způsobem definováno sčítání a násobení komplexních čísel číslem reálným.
2. Množina všech spojitých funkcí jedné reálné proměnné na intervalu .
3. Množina všech uspořádaných n-tic reálných čísel
kde operace jsou definovány vztahy :
(+) :
:
(aritmetický n‑rozměrný vektorový prostor)
4. Množina všech orientovaných úseček v rovině s počátečním bodem [0,0].
(geometrický model vektorového prostoru)
Definice: Buď V vektorový prostor nad R, . Existují-li taková čísla , že
pak říkáme, že vektor je lineární kombinací (LK) ostatních vektorů.
Definice: Buď V vektorový prostor nad R, vektory nazveme lineárně závislé (LZ) jestliže platí
() Ù (alespoň jedno z čísel )
Platí-li rovnost pouze pro potom řekneme, že vektory jsou lineárně nezávislé (LN).
Poznámka : Když pak nazýváme triviální LK.
Důsledek : jsou LZ alespoň jedna jejich netriviální lineární kombinace rovná .
Vlastnosti LN vektorů
1. Lineární nezávislost nezáleží na pořadí vektorů.
2. Pokud skupina vektorů obsahuje Þ vektory jsou LZ.
3. Jsou-li vektory lineárně nezávislé, pak vynásobíme-li libovolný z vektorů číslem c¹0, dostaneme opět LN vektory.
4. Jsou-li vektory lineárně nezávislé, pak přičteme-li k libovolnému vektoru LK ostatních, dostaneme opět LN vektory.
Věta: Vektory jsou LZ Û alespoň jeden z nich lze vyjádřit jako LK ostatních.
Příklad: Jsou dány vektory =(1,-1,1), =(2,3,0), =(-1,-4,1), z aritmetického vektorového prostoru R3. Posoudíme, zda jsou LZ či LN.
Řešení : Hledáme reálná čísla a b c , vyhovující rovnici :
= a b c
Po dosazení aritmetických vektorů , , a nulového vektoru =(0,0,0) a provedení operací na pravé straně dostaneme
(0,0,0) = ( a b c a b c a c
Odtud máme soustavu tří lineárních rovnic pro tři neznámé a b c
a b c
-a b c
a c
Tato soustava má vždy řešení a b c = 0. Musíme rozhodnout, jestli je toto řešení jediné, nebo existuje další řešení, ve kterém je alespoň jedna neznámá různá od nuly. Protože soustavě například vyhovuje a b c = ‑1, jsou vektory lineárně závislé.
Poznámka: Množina všech lineárních kombinací vektorů V je vektorový prostor. Skupinu vektorů nazýváme určující skupinou tohoto vektorového prostoru.
Definice: Báze vektorového prostoru je lineárně nezávislá určující skupina vektorů tohoto prostoru. Počet vektorů báze se nazývá dimenze vektorového prostoru.
Příklad: Jednotkové vektory v aritmetickém vektorovém prostoru R3 ,
= (1,0,0), = (0,1,0), =(0,0,1),
jsou příkladem báze tohoto prostoru. Snadno se totiž přesvědčíme, že pro každé I R3 platí
(,, je určující skupina)
a rovnice
= a b c
má jediné řešení a b c = 0. (,, jsou lineárně nezávislé)
Podprostory
Definice: Podprostorem vektorového prostoru V nazveme neprázdnou podmnožinu W z V, uzavřenou vůči sčítání a vůči násobení vektoru reálným číslem, tj.
.
Definice: Jestliže V (vektorový prostor nad R). Množina všech LK těchto vektorů se nazývá lineární obal vektorů . Značíme <>
Dá se dokázat, že je to podprostor prostoru V.
Příklad: Rozhodněte, zda množina L je podprostorem vektorového prostoru R4, jestliže
L =
Řešení : L je podprostor jestliže je sám vektorový prostor. Mějme v,wIL tj.
v = (v1,v2,v3,v4)I R4, v1+v2+v3+v4 = 0 a
w = (w1,w2,w3,w4)I R4, w1+w2+w3+w4 = 0
Pak
v + w = (v1+ w1,v2+ w2,v3+ w3,v4+ w4)I R4 a součet složek
v1+ w1+v2+ w2+v3+ w3+v4+ w4 = (v1+v2+v3+v4 )+( w1+w2+w3+w4 ) = 0.
Čili součet (v+w)IL , tj. množina je uzavřena vůči sčítání. Navíc
c.v = (c.v1,c.v2,c.v3,c.v4)I R4 a
c.v1+c.v2+c.v3+c.v4 = c. (v1+v2+v3+v4 ) = c.0 = 0
Čili součin c.v IL , tj. množina je uzavřena vůči násobení vektoru reálným číslem.
Protože je zřejmé, že budou splněné i podmínky, pak můžeme říci, že L je podprostorem vektorového prostoru R4.
Politica de confidentialitate | Termeni si conditii de utilizare |
Vizualizari: 982
Importanta:
Termeni si conditii de utilizare | Contact
© SCRIGROUP 2024 . All rights reserved