Vektorové prostory

Příklad: Nechť L je množina přirozených čísel, na které definujeme součet přirozených čísel a reálný násobek přirozeného čísla „obvyklým způsobem“. Máme rozhodnout, zda L je vektorový prostor.

Řešení : Aby L byl vektorový prostor, muselo by podle definice platit:

a) Pro všechny vektory je jejich součet opět vektor z L, tj. množina je uzavřena vůči sčítání.

b) Pro každé cIR a je opět vektor z L, tj. množina je uzavřena vůči násobení vektoru reálným číslem.

c) V množině L platí podmínky 1. až 8.

Protože existuje cIR a pIN takové, že c.pÏN (například pro c = -1, p = 1), není N uzavřená vůči násobení reálným číslem. Množina L není vektorový prostor.

Příklady vektorových prostorů

1. Množina komplexních čísel, na které je obvyklým způsobem definováno sčítání a násobení komplexních čísel číslem reálným.

2. Množina všech spojitých funkcí jedné reálné proměnné na intervalu .

3. Množina všech uspořádaných n-tic reálných čísel

kde operace jsou definovány vztahy :

(+) :  

:

(aritmetický n‑rozměrný vektorový prostor)

4. Množina všech orientovaných úseček v rovině s počátečním bodem [0,0].

(geometrický model vektorového prostoru)

Poznámka : Když   pak nazýváme triviální LK.

Důsledek : jsou LZ alespoň jedna jejich netriviální lineární kombinace rovná .

Vlastnosti LN vektorů

1. Lineární nezávislost nezáleží na pořadí vektorů.

2. Pokud skupina vektorů obsahuje Þ vektory jsou LZ.

3. Jsou-li vektory lineárně nezávislé, pak vynásobíme-li libovolný z vektorů číslem c¹0, dostaneme opět LN vektory.

4. Jsou-li vektory lineárně nezávislé, pak přičteme-li k libovolnému vektoru LK ostatních, dostaneme opět LN vektory.

Příklad: Jsou dány vektory =(1,-1,1), =(2,3,0), =(-1,-4,1), z aritmetického vektorového prostoru R³. Posoudíme, zda jsou LZ či LN.

Řešení : Hledáme reálná čísla a b c , vyhovující rovnici :

= a b c

Po dosazení aritmetických vektorů , , a nulového vektoru =(0,0,0) a provedení operací na pravé straně dostaneme

(0,0,0) = ( a b c a b c a c

Odtud máme soustavu tří lineárních rovnic pro tři neznámé a b c

a b c

-a b c

a     c

Tato soustava má vždy řešení a b c = 0. Musíme rozhodnout, jestli je toto řešení jediné, nebo existuje další řešení, ve kterém je alespoň jedna neznámá různá od nuly. Protože soustavě například vyhovuje a b c = ‑1, jsou vektory lineárně závislé. 

Příklad: Jednotkové vektory v aritmetickém vektorovém prostoru R³ ,

= (1,0,0), = (0,1,0), =(0,0,1),

jsou příkladem báze tohoto prostoru. Snadno se totiž přesvědčíme, že pro každé I R³ platí

(,, je určující skupina)

a rovnice

= a b c

má jediné řešení a b c = 0. (,, jsou lineárně nezávislé)

Podprostory

Dá se dokázat, že je to podprostor prostoru V.

Příklad: Rozhodněte, zda množina L je podprostorem vektorového prostoru R⁴, jestliže

L = 

Řešení : L je podprostor jestliže je sám vektorový prostor. Mějme v,wIL tj.

v = (v₁,v₂,v₃,v₄)I R⁴, v₁+v₂+v₃+v₄ = 0 a

w = (w₁,w₂,w₃,w₄)I R⁴, w₁+w₂+w₃+w₄ = 0

Pak

v + w = (v₁+ w₁,v₂+ w₂,v₃+ w₃,v₄+ w₄)I R⁴ a součet složek

v₁+ w₁+v₂+ w₂+v₃+ w₃+v₄+ w₄ = (v₁+v₂+v₃+v₄ )+( w₁+w₂+w₃+w₄ ) = 0.

Čili součet (v+w)IL , tj. množina je uzavřena vůči sčítání. Navíc

c.v = (c.v₁,c.v₂,c.v₃,c.v₄)I R⁴ a

c.v₁+c.v₂+c.v₃+c.v₄ = c. (v₁+v₂+v₃+v₄ ) = c.0 = 0

Čili součin c.v IL , tj. množina je uzavřena vůči násobení vektoru reálným číslem.

Protože je zřejmé, že budou splněné i podmínky, pak můžeme říci, že L je podprostorem vektorového prostoru R⁴.