Výrokový počet

E1str.57

Na střední škole jste většinu času věnovali aritmetické proměnné; v této kapitole se budeme věnovat logickým veličinám.

Výrokový počet slouží jako nástroj pro práci s množinami, leč nejen s nimi. Výrok je tvrzení, o němž lze říci, je-li pravdivé či nikoliv. Ze základních (nerozložitelných) výroků můžeme vytvářet formule, ve kterých jsou výroky propojeny pomocí logických spojek. Výsledkem je opět výrok, tentokráte složený.

Poznámka: Výraz x > 5 není výrok; označuje se např. jako výroková forma. Ta se stane výrokem až po dosazení konkrétní hodnoty za x.

V informatice (při používání počítačových programů), kde výrokový počet hraje důležitou roli, používáme jinou terminologii – viz tabulka

Řečí informatiky tedy:

Logické operandy a operátory, logické výrazy.

Logický operand - veličina (proměnná) nabývající jedné ze dvou hodnot buď 0 (NEPRAVDA) nebo 1 (PRAVDA). Dále se seznámíme s možnostmi přirozeného zavedení logických veličin.

Logické operátory též spojky (převzato z lingvistiky) jsou jednooperandové - negace (NOT v české verzi NE), a dvouoperandové - konjunkce (AND v české verzi A, současná platnost), disjunkce (OR, v české verzi NEBO; zde operátor nebo nechápeme ve smyslu vylučovacím) a dále implikace (jestliže.., potom), ekvivalence (právě tehdy, když). Dvouoperandové operátory mohou být v některých případech též víceoperandové, na dvouoperandové je však možno je rozložit. Jména operátorů psaná velkými písmeny jsou převzata z Excelu.

Již víme, že ze základních výroků lze pomocí operátorů vytvářet složené. Nejjednodušší ze složených jsou následující jednooperandový operátor negace

Mezi dvouoperandové operátory patří

Přičemž disjunkci a konjunkci lze chápat jako víceoperandové (tak to činí např. Excel). Cvičení: Určete vlastnosti víceoperandových operátorů disjunkce a konjunkce

Pomocí uvedených operací můžeme vytvářet výroky libovolné složitosti

Za pozornost stojí výraz αTβ, který je mj. pravdivý vždy, když je α nepravda

Příklad 1.1. (převzatý): E1 na str. 58: Nechť M₀ je prázdná množina, pak výrok 1IM₀ T 5<1 je (formálně) pravdivý. To v reálném světě smysl nedává, pravdivost jako taková je termín z reálného světa, tady jde o pravdivost výroku ve výrokovém počtu.

Příklad 1.2: Asi lépe pochopitelné je toto: Nechť α je výrok:: Trojúhelník je rovnostranný. Dále β je taktéž výrok:: Trojúhelník je rovnoramenný; pak  tvrzení, že z α pravda plyne β pravda (αTβ) je pravdivé. Z tvrzení že z α nepravda   plyne β pravda je pravdivý výrok právě tak z α nepravda plyne, že β je nepravdivý výrok Poslední možnost, totiž že z α pravda (trojúhelník je rovnostranný) plyne β nepravda (trojúhelník není rovnoramenný) je zjevně nepravdivý výrok.

Poznámka: Řeč laika je jiná: Z toho, že první trojúhelník není rovnostranný neplyne nic. Druhý trojúhelník může být rovnoramenný nebo také ne. Řeč výrokové logiky a laického chápání se tedy různí. To není v matematice časté, ale stává se to a není v tom ve skutečnosti žádný problém.

Tautologie (E1 str. 59) je takový výrok, který je vždy pravdivý (bez ohledu na kvalitu vstupujících výroků). Příkladem tautologie je výrok typu α or non α, jinak napsáno α non α (vyloučení třetího). Protože výroková logika vede vždy ke konečnému počtu možností, řešení spočívá v tom, že v tabulce analyzuji všechny možné stavy.

Vzhledem k tomu, že výsledek je vždy pravda, jde o tautologii.

K zamyšlení:Je možné, aby možností bylo (v jiném obdobném případě) 15?

Cvičení 1.1: Jiný příklad tautologie: α non (non α) Návod: Označte si β = non α a udělejte tabulku se všemi – zde dvěma - možnostmi kombinací výroků. Vždy vyjde 1 – pravda

Priority operátorů“

non 3

and, or 2

T 1

Neuděláte však chybu, když při zápisu výrazů použijete nadbytečné závorky. Naopak, situace se většinou vyjasní.

E1 na str.94 poskytuje řadu cvičení na tautologie. Stačí pracovat se dvěma základními výroky

Výroková logika je neodmyslitelnou součástí programu Excel. Vzhledem k poněkud odlišné syntaxi tam použité, není možno před absolvováním speciálního kurzu Excelu ukázat kompletní příklad. Proto jen to nejdůležitější:

Ze střední školy víme, co je aritmetický výraz. Operandy i výsledný výraz jsou aritmetické veličiny, operátory jsou dobře známé – např. sečítání a odečítání. Touto problematikou není třeba se podrobně zabývat. Na druhé stranš mnohem méně známé jsou výrazy relační, jež umožňují přirozené zavedení logických veličin, které díky relačním výrazům získávají na srozumitelnosti.:

Relační výraz má tvar: aritm.výraz1 - rel.operátor - aritm.výraz2 a nabývá logických hodnot. Je tedy relační výraz nástrojem k přirozenému „vytvoření“ logické veličiny na základě „obyčejných“ aritmetických výrazů, v nejjednodušším případě reálných čísel.. Relačních operátorů je 6 (<, >, =, ≠, ≤, ≥ v Excelu je zapisujeme <, >, =, <>, >=, <=)

Pro úplnost ještě dodejme, že logické výrazy jsou logické veličiny, jejich operandy jsou také logické veličiny (zhusta však mají tvar relačního výrazu) . O logických operátorech jsme již pojednali.

Cvičení 1.2. Sestavte přehlednou tabulku výrazů a jejich náležitostí.

Věnujme se nyní podrobněji logickým výrazům. Víme již, že v tabulkovém procesoru Excel operátory zapisujeme NE (NOT), A (AND) a NEBO (OR). Výroky nabývají logických hodnot PRAVDA a NEPRAVDA. Např.: V buňce A3 zapíši =A1=100; pokud buňka A1 obsahuje číslo 100, nabývá výraz v A3 hodnoty PRAVDA, v opačném případě (A1 neobsahuje 100) nabývá hodnoty NEPRAVDA. Přesvědčete se o tom.

Poznámka: V buňce A3 jsou uvedena dvě rovnítka, která se liší kvalitou. Druhé je relační operátor, zkoumám, je-li A1 rovno 100 nebo ne, nabývá tedy odpovídající logický výraz hodnoty PRAVDA nebo NEPRAVDA a oba operandy jsou známé veličiny. První rovnítko je přiřazení výsledku, v Excelu tedy zapsání (před výpočtem neznámého) výsledku do příslušné buňky – vyzkoušejte si to!

Kvantifikátory. Při práci s výroky používáme často kvantifikátorů, pomocí kterých určujeme mezní případy, pro hodnoty proměnné. Jedná se o používání následujících kvantifikátorů:

• univerzálního (obecného, velkého, značíme ), výrok je pravdivý platí-li pro všechny prvky dané množiny (o množinách v další kapitole)
• existenčního (malého, značíme ) výrok je pravdivý, jestliže v dané množině existuje prvek (alespoň jeden) takový, že příslušný výrok je pro něj pravdivý

Příklad 1.3: Skutečnost, že ke každému reálnému číslu existuje (alespoň jedno) reálné číslo větší se přesně vyjádří takto: Pro všechna (pro každé) x z R existuje y z R (takové, že) x < y. Pomocí kvantifikátorů jej ekvivalentně zapíšeme ve tvaru (xIR) (yIR) tak, že(x < y). Jedná se o výrok pravdivý; stačí volit y = x + 1. Z technických příčin není použito obvyklého způsobu zápisu. Ten vypadá spíše takto:

_{xIR yIR} (x < y)

Cvičení 1.3: Uvažte , který z následujících výrazů je pravdivý a který ne:

(xIR) (yIR) tak, že (x/y IR) je výrok pravdivý,

(xIR) (yIR) tak, že (y/x IR) je výrok nepravdivý

(xIR) (yIR) tak, že (y/x IR) je výrok nepravdivý

(yIR) (xIR) takové, že (y/x IR) je výrok nepravdivý

Zdůvodněte!

Úlohy

E1 59 Dokažte, že výrok(aTb (non bTnon a) je tautologie. Sestavte tabulku. Řešte obdobný případ např. některý jednodušší z E1 str.59

Zapište obdobu některého případu ze  cvičení 1.3 na kvantifikátory a analyzujte jej

Nechť a = 100, b = 50. Jaké hodnoty nabývá (relační) výraz a + b < 150?