Zákon rozdìlení poruch

Zákon rozdìlení poruch

Nejsnadnìjší zjištìní zkouškou z velkého poètu systémù

Záznamy

Doby poruch jednotlivých systémù

Poèty poruch systémù v krátkém èasovém intervalu (vzhledem k trvání testu)

následuje statistické zpracování

Prostá tabelace poruchovosti (nepraktické, nepoužívá se)

Porovnání prùbìhu poruchovosti s nìkterým standardním rozdìlením a urèení parametrù rozdìlení

Nalezené (zvolené) rozdìlení umožní dopoèítat všechny potøebné charakteristiky (vèetnì dalších stavù jako napø.: èekání na opravu, bezporuchovost, porucha zálohy aj.)

Rozdìlení spojité náhodné promìnné

Exponenciální rozdìlení: jeden parametr l>0 pro t0

výhodné: jednoduché analytické výrazy

pøi nedostatku údajù o chování systému se snadnìji urèí

R(t)=exp(-l.t)

Q(t)=1-exp(-l.t)

f(t)= l.exp(-l.t)

l(t)= l

T_S=1/l

D=1/l

Pozn. (1) Nejèastìji užívané !

Støední doba bezporuchového provozu 1/l rozložení je urèeno støední hodnotou.

Vhodná aproximace chování systémù v období normálního provozu !

Neodpovídá chování v období poèáteèního provozu a období dožívání systému !

Nìkteré typy systémù s promìnnou intenzitou poruch (l) nejsou pro popis exp. rozdìlením vhodné.

Rayleightovo rozdìlení je urèeno jedním parametrem, intenzita poruch roste lineárnì s èasem

parametr rozdìlení: k0 pro t0

R(t)=exp()

Q(t)=1- exp()

f(t)=k.t. exp()

l(t)=k.t

T_S=

D=(2-)/k=

Wiebullovo rozdìlení: pùvodnì 3 parametry, pro úèely spolehlivosti se    parametr posunutí v èase nuluje.

parametry rozdìlení: m>0

t₀>0 pro t

R(t)=exp()

Q(t)=1- exp()

f(t)=. exp()

l(t)=

T_S=t₀^1/mG()

D= t₀^2/m G()-G ()]

Wiebullovo rozdìlení zahrnuje exponenciální rozdìlení a Rayleightovo rozdìlení jako spec. pøípady.

pro m=1 exp. rozdìlení

pro m=2 Rayleightovo rozdìlení

Charakteristiky Wiebullova rozdìlení pro m<1 aproximují období poèáteèního provozu systému

Po exponenciálním rozdìlení je Wiebullovo rozdìlení 2. Nejpoužívanìjší

Rozdìlení gama: dva parametry m>0, c>

èas t0

uplatnìní pøi popisu soustav se zálohováním

f(t)=

T_S=m.c

D=m.c²

je-li m celé èíslo, je tedy:

f(t)=

kde: m…zmìna tvaru funkce f(t)

c…zmìna mìøítka na osách

rozdìlení gama je pro m=1 exponenciálním rozdìlením s l=1/c

hodnoty a F(t) jsou tabelovány

Normální rozdìlení: dva parametry m, s > 0

èas t0

f(t)=

kde

…distr. funkce normovaného rozdìlení, tj.: m_n

s_n

tedy :

hustota pravdìp. normálního rozdìlení:

POZOR, pro úèely spolehlivosti se pracuje s t0 tj. pravdìp. je =0, t<0 tj. charakteristiky bezporuchovosti pro „useknuté“ rozdìlení: t>0

pro m > s je T_S liší minimálnì od m

„useknuté“ normované rozložení (viz obr.) je vhodné pro aproximaci charakteristik bezporuchovosti v období dožívání výrobku

Logaritmické – normální rozdìlení

logaritmus náhodné promìnné t má normální rozdìlení, tedy:

x=ln(t) t>

hustota pravdìp.

kde:

dosazením:

kde: konstanta M0,4343 je pro pøevod lnlog

Støední doba rozdìlení:

logaritmováním a dosazováním za M:

Rozptyl:

pro malé velikosti s < 0.1 je podobné normální rozdìlení, použití v dobì obnovy soustavy

pøedchozí jednoduchá rozdìlení neaproximují dostateènì pøesnì soustavu po celou dobu jejího života kombinace jednoduchých rozdìlení

Superpozice dvou exponenciálních rozdìlení

aproximace bezporuchovosti v obdobích poèáteèního provozu + normálního provozu

R(t)=c₁exp(-l .t) + c₂exp(-l .t)

f(t)= l c₁exp(-l .t) + l c₂exp(-l .t)

musí platit:

tedy:

poèáteèní hodnota: l(0) l c₁+ l c₂

je-li (typicky) l < l pøi dostateènì velkém t je exp(-l t) blíže k 0 než
exp(-l t)>>1 pøejde rozdìlení v exponenciální rozdìlení s l(t) l₁(t)

Kombinace exponenciálního a useknutého normálního rozložení

vhodné pro aproximaci poruchovosti v obdobích normálního provozu + dožívání výrobku

výsledná intenzita poruch: l(t)= l₁(t)+ l₂(t)

potom pravdìp. bezporuchového provozu

všechna tøi období provozu lze aproximovat dobøe Wienbullovým rozdìlením nebo superpozicí dvou exp. rozdìlení vždy v kombinaci s useknutým normálním rozdìlením (t0)

Rozdìlení s intenzitou poruch po úsecích lineární

tzv. „vanová køivka“

úseky konstantní intenzita poruch exp. rozdìlení

rostoucí intenzita poruch Reiteighovo rozdìlení

klesající intenzita poruch viz dále

Situace s klesající intenzitou poruch

Pro t=0 poèáteèní hodnota l jež lineárnì klesá k 0

tedy  l(t)=l -K₁t

l(t) l(t)0 t0

rozdìlení je dvouparametrové

l ,K₁

nicménì nesplòuje podmínku, že pro
t

øešení zavedení konstantní složky l(t)=konst

nebo l(t)=fce(t) rostoucí s t

pravdìp. bezporuchového provozu se stanoví integrací l(t) dle t

rozdìlení oboru integrace na 3 intervaly (viz pøedchozí obr.) dosazením do vztahu

tedy pro po èástech lineární rozložení platí (viz obr.)

t; 0tt₁: l(t)=l -K₁t

R(t)=exp(-l t+0,5K₁t²)=R₁t

mez intervalu:

t; t₁tt₂: l(t)=l

R(t)=exp(-l t+0,5K₁t₁²-l(t-t₁))

dosazením ze rovnice:

R(t)=R₁(t₁)exp(-l(t-t₁))=R₂(t)

t; t₂tt₃: l(t)=l+K₂(t)

R(t)= R₂(t₂)exp(-l(t-t₂)-0,5K₂(t-t₂)²)

*

Pozn. 1) Souèiny výrazù výše ozn. * reprezentují souèasný výskyt jevù
(pravdìp.), že: „porucha nenastala do zaèátku intervalu“ x
x „pravdìp. bezporuchového provozu uvnitø intervalu“

2) mez intervalu t₃ je možno posouvat až do .