Zákon rozdělení poruch

Zákon rozdělení poruch

Nejsnadnější zjištění zkouškou z velkého počtu systémů

Záznamy

Doby poruch jednotlivých systémů

Počty poruch systémů v krátkém časovém intervalu (vzhledem k trvání testu)

následuje statistické zpracování

Prostá tabelace poruchovosti (nepraktické, nepoužívá se)

Porovnání průběhu poruchovosti s některým standardním rozdělením a určení parametrů rozdělení

Nalezené (zvolené) rozdělení umožní dopočítat všechny potřebné charakteristiky (včetně dalších stavů jako např.: čekání na opravu, bezporuchovost, porucha zálohy aj.)

Rozdělení spojité náhodné proměnné

Exponenciální rozdělení: jeden parametr l>0 pro t0

výhodné: jednoduché analytické výrazy

při nedostatku údajů o chování systému se snadněji určí

R(t)=exp(-l.t)

Q(t)=1-exp(-l.t)

f(t)= l.exp(-l.t)

l(t)= l

T_S=1/l

D=1/l

Pozn. (1) Nejčastěji užívané !

Střední doba bezporuchového provozu 1/l rozložení je určeno střední hodnotou.

Vhodná aproximace chování systémů v období normálního provozu !

Neodpovídá chování v období počátečního provozu a období dožívání systému !

Některé typy systémů s proměnnou intenzitou poruch (l) nejsou pro popis exp. rozdělením vhodné.

Rayleightovo rozdělení je určeno jedním parametrem, intenzita poruch roste lineárně s časem

parametr rozdělení: k0 pro t0

R(t)=exp()

Q(t)=1- exp()

f(t)=k.t. exp()

l(t)=k.t

T_S=

D=(2-)/k=

Wiebullovo rozdělení: původně 3 parametry, pro účely spolehlivosti se    parametr posunutí v čase nuluje.

parametry rozdělení: m>0

t₀>0 pro t

R(t)=exp()

Q(t)=1- exp()

f(t)=. exp()

l(t)=

T_S=t₀^1/mG()

D= t₀^2/m G()-G ()]

Wiebullovo rozdělení zahrnuje exponenciální rozdělení a Rayleightovo rozdělení jako spec. případy.

pro m=1 exp. rozdělení

pro m=2 Rayleightovo rozdělení

Charakteristiky Wiebullova rozdělení pro m<1 aproximují období počátečního provozu systému

Po exponenciálním rozdělení je Wiebullovo rozdělení 2. Nejpoužívanější

Rozdělení gama: dva parametry m>0, c>

čas t0

uplatnění při popisu soustav se zálohováním

f(t)=

T_S=m.c

D=m.c²

je-li m celé číslo, je tedy:

f(t)=

kde: m…změna tvaru funkce f(t)

c…změna měřítka na osách

rozdělení gama je pro m=1 exponenciálním rozdělením s l=1/c

hodnoty a F(t) jsou tabelovány

Normální rozdělení: dva parametry m, s > 0

čas t0

f(t)=

kde

…distr. funkce normovaného rozdělení, tj.: m_n

s_n

tedy :

hustota pravděp. normálního rozdělení:

POZOR, pro účely spolehlivosti se pracuje s t0 tj. pravděp. je =0, t<0 tj. charakteristiky bezporuchovosti pro „useknuté“ rozdělení: t>0

pro m > s je T_S liší minimálně od m

„useknuté“ normované rozložení (viz obr.) je vhodné pro aproximaci charakteristik bezporuchovosti v období dožívání výrobku

Logaritmické – normální rozdělení

logaritmus náhodné proměnné t má normální rozdělení, tedy:

x=ln(t) t>

hustota pravděp.

kde:

dosazením:

kde: konstanta M0,4343 je pro převod lnlog

Střední doba rozdělení:

logaritmováním a dosazováním za M:

Rozptyl:

pro malé velikosti s < 0.1 je podobné normální rozdělení, použití v době obnovy soustavy

předchozí jednoduchá rozdělení neaproximují dostatečně přesně soustavu po celou dobu jejího života kombinace jednoduchých rozdělení

Superpozice dvou exponenciálních rozdělení

aproximace bezporuchovosti v obdobích počátečního provozu + normálního provozu

R(t)=c₁exp(-l .t) + c₂exp(-l .t)

f(t)= l c₁exp(-l .t) + l c₂exp(-l .t)

musí platit:

tedy:

počáteční hodnota: l(0) l c₁+ l c₂

je-li (typicky) l < l při dostatečně velkém t je exp(-l t) blíže k 0 než
exp(-l t)>>1 přejde rozdělení v exponenciální rozdělení s l(t) l₁(t)

Kombinace exponenciálního a useknutého normálního rozložení

vhodné pro aproximaci poruchovosti v obdobích normálního provozu + dožívání výrobku

výsledná intenzita poruch: l(t)= l₁(t)+ l₂(t)

potom pravděp. bezporuchového provozu

všechna tři období provozu lze aproximovat dobře Wienbullovým rozdělením nebo superpozicí dvou exp. rozdělení vždy v kombinaci s useknutým normálním rozdělením (t0)

Rozdělení s intenzitou poruch po úsecích lineární

tzv. „vanová křivka“

úseky konstantní intenzita poruch exp. rozdělení

rostoucí intenzita poruch Reiteighovo rozdělení

klesající intenzita poruch viz dále

Situace s klesající intenzitou poruch

Pro t=0 počáteční hodnota l jež lineárně klesá k 0

tedy  l(t)=l -K₁t

l(t) l(t)0 t0

rozdělení je dvouparametrové

l ,K₁

nicméně nesplňuje podmínku, že pro
t

řešení zavedení konstantní složky l(t)=konst

nebo l(t)=fce(t) rostoucí s t

pravděp. bezporuchového provozu se stanoví integrací l(t) dle t

rozdělení oboru integrace na 3 intervaly (viz předchozí obr.) dosazením do vztahu

tedy pro po částech lineární rozložení platí (viz obr.)

t; 0tt₁: l(t)=l -K₁t

R(t)=exp(-l t+0,5K₁t²)=R₁t

mez intervalu:

t; t₁tt₂: l(t)=l

R(t)=exp(-l t+0,5K₁t₁²-l(t-t₁))

dosazením ze rovnice:

R(t)=R₁(t₁)exp(-l(t-t₁))=R₂(t)

t; t₂tt₃: l(t)=l+K₂(t)

R(t)= R₂(t₂)exp(-l(t-t₂)-0,5K₂(t-t₂)²)

*

Pozn. 1) Součiny výrazů výše ozn. * reprezentují současný výskyt jevů
(pravděp.), že: „porucha nenastala do začátku intervalu“ x
x „pravděp. bezporuchového provozu uvnitř intervalu“

2) mez intervalu t₃ je možno posouvat až do .