Úrokové počty

Časová hodnota peněz – finanční metoda sloužící ke srovnání dvou a více peněžních částek v různých časových obdobích.

Základní předpoklad časové hodnoty peněz:

Stejné nominální částky mají v různých obdobích různou hodnotu.

(Koruna získaná dnes má jinou hodnotu než koruna získaná zítra)

Z časové hodnoty peněz vyplývá fakt, že peněžní částky lze za určitých podmínek během doby zhodnocovat (zvyšovat jejich hodnotu). Pokud se o jejich zhodnocování nesnažíme, dochází vlastně k jejich znehodnocování a měli bychom je přenechat někomu (bance, podniku, investičnímu fondu, atd.), kdo je zhodnotit dokáže.

Jednoduché úročení vs. složité úročení

Jistina – peněžní částka (vklad či půjčka), z níž se počítá úrok.

Úrok – absolutní částka, jež je odměnou za poskytnutí peněžní částky (jistiny) po určité období.

Úroková míra – poměr úroku a jistiny, vyjadřovaný v % nebo jako desetinné číslo. Vždy je udávána za určité období (roční, půlroční, čtvrtletní, měsíční, atd.)

Anuita – platba plynoucí pravidelně ve stejné výši po určitý počet období.

Perpetuita – platba plynoucí pravidelně ve stejné výši po nekonečně dlouhou dobu

Jednoduché úročení

Úrok se počítá pouze z jistiny bez získaných úroků. Vložíme-li do banky 100 Kč na 3 roky při úrokové míře 10 %, kolik budeme mít po 3 letech v bance?

Jelikož se úrok počítá pouze z jistiny, dostaneme jej na konci každého roku ve výši 10 Kč. Na konci 3 let máme tedy jistinu 100 Kč + 3 x 10 Kč úroku, dohromady 130 Kč.

Složité úročení

Úrok se počítá nejen z jistiny, ale i ze získaných úroků. Jistina tedy narůstá o úroky z předešlých let. Vložíme-li do banky 100 Kč na 3 roky při úrokové míře 10 %, kolik budeme mít po 3 letech v bance?

Jistina v každém roce narůstá o úroky za daný rok získané. Z této jistiny se pak počítají úroky pro další rok. Na konci 3 let máme tedy opět jistinu 100 Kč a celkem 33,1 Kč na úrocích, což je o 3,1 Kč více než při jednoduchém úročení. K celkové hodnotě peněžní částky můžeme dojít také pomocí úročitele.

Jednorázové platby (vklady)

Úročitel udává kolikrát se zvýší peněžní částka (v určité současné hodnotě[1]) za n období při úrokové míře i. Vynásobíme-li úročitelem danou peněžní částku, zjistíme její budoucí hodnotu (BH). Budoucí hodnotu našich současných 100 Kč (SH) uložených při 10 % úrokové míře na 3 roky spočítáme jako 100 x (1+0,1)³ =133,1 Kč.

Pokud bychom naopak chtěli mít za 3 roky v bance 100 Kč (BH) při stejné úrokové míře, musíme zjistit jakou částku (SH) musíme v současnosti vložit. To zjistíme pomocí odúročitele.

Současná hodnota 100 Kč za tři roky je tedy 100 x (1+0,1)^-3 = 75,13 Kč. Dnes bychom tedy museli mít 75,13 Kč, abychom za 3 roky měli při 10 %ní úrokové míře 100 Kč.

Pravidelné platby (vklady)

Pokud chceme opakovaně vkládat stejně velkou částku každý rok (vždy na konci roku), bude nás zajímat, kolik za určitou dobu získáme. To nám řekne střadatel. Pomocí něho zjistíme budoucí hodnotu pravidelně se opakujících plateb po určité období – anuit. Chceme-li například zjistit, kolik budeme mít v bance za 3 roky, pokud budeme při 10 %ní roční úrokové míře ukládat pravidelně na konci každého roku anuitu 100 Kč, vynásobíme tuto anuitu příslušným střadatelem. Výpočet tedy bude následující: 100 x ((1+0,1)³-1)/0,1 = 331 Kč. Pokud budeme vkládat anuitu vždy na začátku roku, bude mít střadatel následující tvar.

Po třech letech bychom tedy měli částku 364,1 Kč.

Pokud chceme naopak získat po určité době určitou částku, potřebujeme vědět, jakou anuitu k jejímu vytvoření potřebujeme. K tomu slouží fondovatel. Příklad: Kolik musíme na konci každého roku ukládat, abychom měli při 10 %ní roční úrokové míře po třech letech částku 300 Kč. Výše anuity bude tedy 300 x 0,1/((1+i)³-1) = 90,63 Kč.

Zásobitel umožňuje zjistit peněžní částku, jíž musíme v současnosti mít, aby nám přinášela po určitou dobu pravidelnou anuitu. Příklad: Kolik musíme dnes vložit do banky, abychom po tři roky získávali na konci roku částku 100 Kč při 10 %ní úrokové míře a po uplynutí této doby neměli v bance nic. Výpočet potřebné částky je následující: 100 x (1-(1+0,1)^-3)/0,1 = 248,68 Kč.

Pokud bychom chtěli částku 100 Kč pobírat nejen po tři roky, ale donekonečna (čili jde o perpetuitu), zjistíme potřebnou současnou částku podle současné hodnoty perpetuity. Výpočet potřebné částky: 100 / 0,1 = 1000 Kč.

Umořovatel slouží ke zjištění anuit, jejichž současná hodnota bude rovna určité částce. Příklad: Jestliže si dnes vypůjčím od banky částku 300 Kč na tři roky s roční úrokovou mírou 10 %, jakou částku budu na konci každého roku splácet, abych dluh po třech letech splatil? Výpočet každoroční splátky: 300 x 0,1/(1-(1+0,1)^-3) = 120,63 Kč (tato částka v sobě obsahuje jak splátku jistiny, tak úrok)

Amortizační schéma

Splátka, vypočtená pomocí umořovatele, v sobě obsahuje jak úrok, tak úmor. Výše těchto částek se však v jednotlivých obdobích mění. Tento průběh znázorňuje amortizační schéma. Příklad: V bance si půjčíme 1 mil. Kč na 4 roky s roční úrokovou mírou 12 %. Jaká bude výše úroků a úmorů v jednotlivých splátkách?

Splátka = úrok + úmor

Přepočet denní, měsíční, čtvrtletní, aj. úrokové míry na roční úrokovou míru.

Chceme-li porovnávat úrokové míry za různá období, musíme je převést na stejné období, třeba na roční úrokovou míru.

kde m je počet úrokovacích období během roku (je-li úroková míra měsíční, je počet období 12, atd.)

i_m je úroková míra, kterou převádíme na roční úrokovou míru

Příklad: Čtvrtletní úrokovou míru ve výši 3 % převedeme na roční jako (1+ 0,03)⁴-1 = 0,12551. Roční úroková míra 12,551 % je ekvivalentní čtvrtletní úrokové míře ve výši 3 %.

Přepočet roční úrokové míry na denní, měsíční, čtvrtletní, aj. úrokovou míru.

kde i_m je úroková míra, na kterou chceme roční úrokovou míru převádět

m je počet úrokovacích období během roku pro i_m

Chceme-li například převést roční úrokovou míru ve výši 3 % na čtvrtletní, m bude rovno 4 a hledaná čtvrtletní úroková míra, jež je ekvivalentní zadané roční úrokové míře bude 0,742 %.

Definice

Úročitel – budoucí hodnota jednorázové platby jednotkové po uplynutí n úrokovacích období při úrokové míře i

Odúročitel – současná hodnota jednorázové platby jednotkové placené po uplynutí n úrokovacích období při úrokové míře i

Střadatel – budoucí hodnota pravidelných jednotkových plateb placených po n úrokovacích období při úrokové míře i

Fondovatel – nominální hodnota platby placené po n úrokovacích období při úrokové míře i, která dá budoucí hodnotu jednotkovou

Zásobitel – současná hodnota součtu budoucích plateb jednotkových placených po n úrokovacích období při úrokové míře i

Umořovatel – nominální hodnota stejně velkých plateb placených po n úrokovacích období na konci při úrokové míře i, které dají současnou hodnotu jednotkovou

Úroková míra a četnost skládání úroků

Jestliže máme úrokovou míru za určité období i_nom, avšak za toto období se úroky skládají m-krát, skutečná (efektivní) úroková míra za dané období je i_efektivní.

Příklad: Vložíme-li do banky 100 Kč s roční úrokovou mírou 12 % budeme mít při ročním skládání úroků za rok 112 Kč. Při měsíčním skládání to bude 100 x 1,01¹² = 100 x 1,1268 = 112,68 Kč. Skutečná úroková míra je tedy 12,68 %.

Pokud nám banka nabídne roční úrokovou míru 12 %, ale my budeme ukládat měsíčně částku 1 000 Kč, budeme mít za rok v bance 1 000 x (1,01¹² – 1) / 0,01 = 12 682,50 Kč.

Příklady:

Kolik budu mít v bance po 4 letech, jestliže dnes vložím 500 tis. Kč při roční úrokové míře 5 %? BH = 500 000 x 1,21551 = 607 755 Kč

Kolik budu mít v bance jestliže bude úroková míra pololetní? BH = 500 000 x 1,47746 = 738 730 Kč

Kolik musím dát dnes do banky peněz, abych tam měl za 3 roky 1 mil. Kč při čtvrtletní úrokové míře 2 %? SH = 1 000 000 / 1,26824 = 788 494,29 Kč

Jestliže spoříte každý měsíc 500 Kč a ukládáte je do banky s 0,5 %ní měsíční úrokovou mírou, budete si moci za tři roky pořídit počítač za 25 000 Kč? BH = 500 x 39,336 = 19 668 Kč

Kolik byste museli spořit, abyste si jej pořídili? A = 25 000 / 39,336 = 635,55 Kč

Chcete si dnes pořídit televizor v ceně 30 000 Kč na splátky. Akontace je 10 % a prodejna po vás požaduje 3 % čtvrtletní úrokovou míru. Kolik budete čtvrtletně splácet, máte-li splatit televizor do jednoho roku?

A = 27 000 x 0,2690247 = 7 263,73 Kč

Sestavte amortizační schéma a zjistěte kolik celkově zaplatíte na úrocích a úmoru.

Suma úroků je 2 054,92 Kč, úmorů 27 000 Kč.

Pokud by vaši rodiče chtěli, abyste po dobu studia (standardně tedy 5 let) pobírali měsíčně částku 3 000 Kč při měsíční úrokové míře 0,25 %, kolik by museli dnes vložit do banky? Uvažujte dvě možnosti – a) vložené peníze si na konci pěti let znovu vyberou, nebo b) chtějí, aby v bance po pěti letech nic nezbylo.

a)       SH = 3 000 / 0,0025 = 1 200 000 Kč

b)       SH = 3 000 x 55,653312 = 166 959,94 Kč

Která z nabízených úrokových měr je pro vás výhodnější?

a)       měsíční úroková míra 1 %

b)       čtvrtletní úroková míra 3 %

c)       pololetní úroková míra 6 % Převod na roční 12,683 %, 12,551 %, 12,36 %.

Máte dům, jehož hodnota je dnes 1 mil. Kč. Zájemce o jeho koupi Vám nabízí 7 ročních splátek na konci roku ve výši 200 000 Kč. Roční úroková míra je 12 %. Prodáte mu dům?

SH = 200 000 x 4,5637 = 912 751,30 Kč. Musel by platit 219 120 Kč

Při jaké úrokové míře je lepší mít dnes 10 000 Kč než za dva roky 20 000 Kč? Při i větší než 41 %

Pan Pracháč si 1.1.1995 uložil 20 000 Kč při úrokové míře 10 %. Počátkem roku 1999 se rozhodl, že peníze převede do peněžního ústavu s úrokovou sazbou 15 % a zároveň bude s toutéž sazbou ukládat pravidelně vždy na konci roku stejně vysokou částku tak, aby na konci roku 2005 měl 200 000 Kč. Kolik musí ukládat?

BH₁₉₉₉ = 29 282 Kč,  BH₂₀₀₅ = 29 282 x 2,66 + A x 11,0668 = 77 890,70 + A x 11,0668 = 200 000, A = 11 033,84 Kč

Pan Prachatý půjčil 10 000 Kč paní Chytré, která by ráda částku vracela tak aby to pro ni bylo výhodné. Nakonec se dohodli, že první rok vrátí 8 000 Kč a druhý rok 4 000 Kč při roční úrokové sazbě 10 %.

a) je to pro paní Chytrou výhodné?  SH = 10 578,512 Kč

b) při jaké úrokové míře to bude výhodné? i = 14,833 %

c) jaká by musela být druhá splátka, aby to bylo výhodné? 3 300 Kč

Paní Spořivá by si ráda koupila za tři roky byt za 1 mil. Kč. Má v současnosti pouze 500 tis. Kč a ví, že je schopna na konci každého měsíce ukládat 5 000 Kč (roční úroková míra je 12 %).

a) Bude mít za tři roky dostatek peněz?

b) V případě, že ne – jak velikou částku si bude muset vypůjčit?

c) Získá-li potřebnou částku u peněžního ústavu s úrokovou mírou 15 % a dobou splatnosti 15 let, jak veliké budou pravidelné splátky na konci roku?