KINEMATIKA HMOTného bodu

Rovinný pohyb hmotného bodu je dán parametrickým vyjádřením , kde m.s^-1, m.s^-1, m.s^-2. Určete a) velikost počáteční rychlosti hmotného bodu, b) úhel, který svírá tečna k trajektorii s osou x v čase 0 s, c) čas, ve kterém je vektor rychlosti rovnoběžný s osou x a souřadnici bodu v tomto čase, d) souřadnici v čase, kdy je souřadnice .

a) 5 m.s^-1, b) 53 °, c) 1 s, x = 3 m, y = 2 m, d) 0 m, 6 m

Polohový vektor charakterizující pohyb hmotného bodu je dán rovnicí: . Pro libovolný čas t a potom pro čas t₁ = 3 s určete:

a)      jeho souřadnice a vzdálenost od počátku,

b)      vektory rychlosti a zrychlení a jejich velikost,

c)      velikost zrychlení tečného a normálového

[a) [11 m, -9 m, 9 m], b) , , 11 m.s^-1, 6,32 m.s^-2, c) , 2 m.s^-2]

Kolikrát je rychlost střely na konci hlavně větší, než v její polovině? Předpokládejme, že se střela pohybuje rovnoměrně zrychleným pohybem.

Hmotný bod se pohybuje po kružnici o poloměru 0,2 m, závislost úhlové dráhy na čase je vyjádřena předpisem , kde A = 6 rad, B = 4 rad.s^-1, C = 2 rad.s^-2. Pro čas t = 0,5 s určete a) obvodovou rychlost hmotného bodu, b) tečné a c) normálové zrychlení, d) úhel a, který svírá průvodič bodu a vektor celkového zrychlení.

a) 1,2 m.s^-1, b) 0,8 m.s^-2, c) 7,2 m.s^-2, d) 6° 20´

Hmotný bod se pohybuje po kružnici s konstantním úhlovým zrychlením 0,01 rad.s^-2 a s nulovou počáteční rychlostí. Za jakou dobu od začátku pohybu bude celkové zrychlení hmotného bodu svírat se směrem jeho rychlosti úhel b

[10 s]

Další doporučené příklady:

D1.Řidič automobilu jede mezi dvěma vzdálenými místy. Během své jízdy projíždí několika uzavřenými osadami, kde je jeho rychlost omezena na 60 km.h^-1. Průjezd těmito osadami odpovídá čtvrtině celkové dráhy. Na úseku délky osminy celkové dráhy je vozovka v rekonstrukci, jede tedy sníženou rychlostí 40 km.h^-1. Jakou rychlostí se musí pohybovat na zbývající trati, aby dosáhl průměrné rychlosti 80 km.h^-1?

33,3 m.s^-1

D2.Osobní automobil dojíždí rychlostí 30 m·s^-1 nákladní vůz, jehož rychlost je 10 m.s^-1. Ve vzdálenosti s0 od nákl. vozu zjistí řidič osobního auta, že nákladní vůz nelze předjet, proto začne brzdit a dále se pohybuje s konst. zpomalením o velikosti 5 m.s^-2. Nákladní vůz jede dál konstantní rychlostí. Nastane srážka vozidel? Pokud ano, určete, na kterém místě a jaký je rozdíl rychlostí vozidel při srážce. Pokud srážka nenastane, určete nejmenší vzdálenost mezi vozidly. Řešte pro vzdálenost: a) s₀ = 30 m b) s₀ = 40 m c) s₀ = 50 m

a) 50 m, 10 m.s^-1, b) 80 m, 0 m.s^-1, c) nesrazí se, 10m

D3.Kolo o poloměru 0,1 m se otáčí tak, že úhel otáčení závisí na čase vztahem , kde A = 2 rad, B = 5 rad.s^-3. Pro čas t = 2 s vypočtěte rychlost, tečné a normálové zrychlení bodů na obvodu kola a popište slovně, o jaký pohyb se jedná.

60 rad.s^-1, 6 m.s^-1, 6 m.s^-2, 360 m.s^-2, nerovnoměrně zrychlený pohyb

dynamika hmotného bodu

Dvě tělesa o hmotnostech 2 kg a 3 kg se nacházejí na vodorovné dokonale hladké podložce a jsou spojena nehmotným lanem. Na jedno z těles působí ve vodorovném směru síla 10 N. Určete, a) jaké zrychlení síla tělesům udílí, b) jakou silou je napjato lano mezi tělesy? (Nakreslete obrázek!) Jakou hybnost tělesa získají po 5-ti sekundách působení této síly? Jaký impulz síla tělesům za 5 s udělí?

[2 m.s^-2, 6 N]

Na vozíku hmotnosti 10 kg stojí chlapec o hmotnosti 45 kg. Vozík se pohybuje rychlostí 2 m.s^-1. Chlapec během jízdy vyhodí z vozíku kámen o hmotnosti 0,6 kg ve směru jízdy pod elevačním úhlem 30° rychlostí 10 m.s vzhledem k zemi. Jaká bude po vyhození kamene rychlost vozíku i s chlapcem, jakým směrem se budou pohybovat? Tření a odpor vzduchu zanedbejte.

[1,93 m.s^-1 v původním směru]

Další doporučené příklady:

D4.Určete, jakou rychlostí se začne pohybovat člověk, který stojí na velmi hladké ledové kře, poté, co odhodí kámen, který drží v rukou. Hmotnost člověka i s kamenem je 76 kg, hmotnost kamene 1 kg, počáteční rychlost kamene je 4 m.s^-1.   [0,053 m.s^-1]

D5.Střela o hmotnosti 10 g, pohybující se rychlostí 200 m.s^-1, prorazila desku do hloubky 4 cm. Za předpokladu, že pohyb v desce je rovnoměrně zpomalený, určete dobu, po kterou se střela v desce pohybovala a velikost síly, kterou působila deska na střelu. [4.10^-4 s, 5 000 N]

D6.Kaskadér s automobilem o hmotnosti 1250 kg a rozvoru 2,5 m opouští molo rovnoběžné se zemským povrchem rychlostí 108 km/hod a bezpečně dosedá na bližší konec pramice dlouhé 43 m tak, že zadní kola sedají na okraj. Brzdí na hranici určené součinitelem smykového tření 0,8. Jakou rychlostí narazí do bariéry připevněné na vzdálenějším okraji pramice, je-li vzdálenost od čela vozu po přední osu 0,5 m? [58 km.h^-1]

D7.Jak daleko od mola může být bližší okraj pramice, aby na ni doletěl automobil o rozvoru 2,5 m a hmotnosti 1250 kg, který opouští molo rovnoběžné se zemským povrchem rychlostí 81 km/hod při svislé vzdálenosti mezi povrchem mola a povrchem pramice 5 m? Určete hybnost automobilu v okamžiku opuštění mola. [20 m, 31250 kg m·s^-1]

D8.Při rychlostech přes 320 km·h^-1 se nemůže pilot poškozeného letounu kvůli okolnímu proudícímu vzduchu dostat ze stroje vlastní silou, musí se katapultovat. Vypočítejte sílu působící při katapultáži na sedačku s pilotem ze znalosti následujících údajů: hmotnost sedačky s pilotem je 150 kg, za dobu 0,1 s dosáhne rychlosti 25 m·s^-1. 37,5 kN]

D9.Centrifuga pro výcvik letců se otáčí s frekvencí 18 min^-1. Poloměr otáčení je 7 m. Jakému přetížení je letec při výcviku vystaven? [2,5g

práce, výkon, energie hmotného bodu

Jak velkou práci vykoná za první dvě sekundy síla , jejíž působiště se v čase pohybuje po trajektorii ? Jak velká by byla práce stejné síly, pokud by se její působiště pohybovalo se stejným časovým průběhem ale podél osy x, tj. ?

[8 J; 19,2 J]

Jak velkou práci je zapotřebí vykonat, abychom rovnoměrným přímočarým pohybem odtáhli za provaz bednu o hmotnosti 50 kg po vodorovné podlaze do vzdálenosti 6 m. Provaz svírá se směrem posunutí úhel 30°. Součinitel smykového tření mezi bednou a podlahou je 0,3.

[0,77 kJ]

Určete na jaké dráze s zvýší konstantní síla F, působící na hmotný bod m, jeho rychlost na n­-násobek původní rychlosti v₀?

Další doporučené příklady:

D10.                                                                                                  Lano vydrží zatížení 6.10⁴ N. S jak velkým zrychlením můžeme zvedat břemeno o hmotnosti 5 tun, aniž by se lano přetrhlo?

[2,2 m.s^-2]

D11.                                                                                                  Na svahu skloněném pod úhlem 37° má být zřízen lyžařský vlek, jehož lano se má pohybovat rychlostí 12 km.h^-1. Jak velký musí být příkon motoru lanovky, má-li být zabezpečena současná doprava 80 lyžařů, z nichž každý má průměrně hmotnost 75 kg a předpokládá-li se účinnost 30 %.

[393,4 kW]

D12.                                                                                                  Ze stanice vyjíždí rovnoměrně zrychleně vlak. Tažná síla F lokomotivy je konstantní. Po projetí dráhy s nabude vlak rychlosti v. Jak velká je hmotnost vlaku, předpokládáme-li, že lokomotiva musí při pohybu trvale překonávat odporovou sílu rovnu n-tině tíhy vlaku.

gravitační pole

Největší planeta sluneční soustavy, Jupiter, obíhá kolem Slunce ve střední vzdálenosti 7,8.10⁸ km. Hmotnost Slunce je 2.10³⁰ kg. Jakou hmotnost má planeta Jupiter, přitahuje-li ho Slunce gravitační silou o velikosti 4,2.10²³ N? Jak velké zrychlení uděluje Slunce Jupiteru? Jak velké zrychlení uděluje Jupiter Slunci?

[1,9.10²⁴ kg, 2,2.10^-4 m.s^-2, 2,1.10^-7 m.s^-2]

Jakou počáteční rychlost musíme ve vodorovném směru udělit tělesu, aby délka vrhu byla rovna n-násobku výšky, ze které bylo těleso vrženo?

Jakou počáteční rychlostí a pod jakým elevačním úhlem musíme hodit kámen, abychom ho přehodili přes řeku širokou 35 m, aby let trval pouze 1 s?

[7°58´, 35,4 m.s^-1]

Mějme dvě tělesa. První vrhneme svisle vzhůru počáteční rychlostí 4,9 m.s^-1. Současně z maximální výšky, které toto těleso může dosáhnout, vrháme druhé těleso se stejnou počáteční rychlostí. Určete čas, kdy se tato tělesa střetnou, vzdálenost od povrchu Země, ve které ke střetu dojde, rychlosti obou těles v okamžiku srážky.

[0,125 s, 0,53 m, 3,67 m.s^-1, 6,12 m.s^-1]

Další doporučené příklady:

D13.                                                                                                  Určete gravitační zrychlení na povrchu Venuše, jestliže střední hustota látek, které tvoří planetu Venuši, je 4900 kg.m^-3 a její poloměr je 6200 km.

[8,5 m.s^-2]

D14.                                                                                                  Ve kterém místě na spojnici středů Země a Měsíce se a) jejich přitažlivé síly vzájemně ruší, b) intenzita výsledného gravitačního pole obou těchto těles rovná nule?Uvažujme, že hmotnost Země je 81-krát vyšší než hmotnost Měsíce. Vzdálenost (R) středů Země a Měsíce je rovna 60-ti násobku poloměru Země.

[9/10 R]

D15.                                                                                                  Jakou rychlostí musí být vrženo těleso svisle vzhůru z povrchu Země, aby vystoupilo do výšky rovné poloměru Země?

[7910 m.s^-1]

D16.                                                                                                  Určete celkovou mechanickou energii soustavy Země – umělá družice, obíhá-li družice o hmotnosti m kolem Země (o hmotnosti M) po kružnici o poloměru R.

mechanika tuhého tělesa

Jakou maximální rychlostí by mohl jet po vodorovném povrchu rychlobruslař, opisuje-li oblouk o poloměru 100 m a je-li součinitel smykového tření mezi bruslemi a ledem 0,4?
O jaký úhel by se musel při této rychlosti odklonit od svislého směru?

[20 m.s^-1, 22°]

Těleso na konci nakloněné roviny s úhlem sklonu 30° dosáhlo pouze poloviční rychlost, které by mohlo dosáhnout při pohybu bez tření. Určete součinitel smykového tření.

Přes pevnou kladku je vedené lanko, na jehož koncích visí ve stejné výšce dvě závaží různých hmotností. Po dvou sekundách od začátku jejich pohybu je rozdíl jejich výšek 48 cm. Určete hmotnost těžšího závaží, pokud lehčí závaží má tíhu 10 N.

[1,045 kg]

Motor o výkonu P = 0,1 kW pohání soustruh. Na soustruhu je upnut dřevěný válec o průměru d = 60 mm a otáčí se s frekvencí 100 Hz. Určete velikost síly, kterou působí nůž na válec, je-li výkon při soustružení roven 80 % výkonu motoru.

[4,24 N]

Homogenní tyč o délce 0,8 m a hmotnosti 6 kg je zavěšena na dvou vláknech o stejné délce 0,5 m (dle obrázku). Určete tahové síly, kterými vlákna působí na tyč.

[50 N]

Setrvačník s momentem setrvačnosti 50 kg.m² se roztáčí z klidu. Za jakou dobu dosáhne frekvence 10 Hz, působí-li na něj moment síly o velikosti 314 N.m?

[10 s]

Tenká tyč o hmotnosti 1 kg a délce 1 m je otáčivá kolem vodorovné osy jdoucí koncovým bodem tyče kolmo k tyči. Tyč dáme do nejvyšší polohy a uvolníme. Určete, jakou rychlostí proběhne koncový bod tyče nejnižší polohou. Jak velkou silou je namáhána osa při průchodu tyče nejnižší polohou?

[7,7 m.s^-1, 39,2 N]

Další doporučené příklady:

D17.                                                                                                  Dřevěnou bednu o výšce 1 m a šířce 0,6 m překlopíme účinkem síly 350 N, kterou působíme ve vodorovném směru proti horní hraně tělesa. Jaká je hmotnost bedny?

[119 kg]

D18.                                                                                                  Plný válec hmotnosti m a poloměru r klouže bez tření po nakloněné rovině se sklonem α. Moment setrvačnosti válce je J_o = m r² . Jakou rychlostí dospěje na konec nakloněné roviny, začíná-li se pohybovat z výšky H? Jakou rychlostí by dospěl válec na konec nakloněné roviny, kdyby se bez prokluzování valil?

D19.                                                                                                  Malé těleso klouže bez tření po nakloněné rovině, která na konci přechází ve svislou válcovou plochu o poloměru R. Určete, z jaké výšky musíme těleso vypustit, aby těleso vykonalo celou obrátku.

[5/2 R]

D20.                                                                                                  Jakou nejmenší rychlostí musí vjet cyklista do svislé kruhové smyčky poloměru 5 m, aby jí bez nehody projel? Těžiště kola a cyklisty je ve výšce 1,2 m. Tření a odpor vzduchu zanedbejte.

[2,2 m.s^-2]

D21.                                                                                                  Těleso se pohybuje po nakloněné rovině s úhlem sklonu 15°, součinitel smykového tření je 0,1.

a)      určete zrychlení pohybu,

b)      do jaké vzdálenosti na nakloněné rovině vystoupí těleso, které je z úpatí vrženo vzhůru po nakloněné rovině rychlostí 5 m.s^-1?

c)       Jaký by musel být úhel sklonu nakloněné roviny, aby se těleso vlivem své tíhy pohybovalo rovnoměrně?

D22.                                                                                                  Z homogenního čtverce o straně a vystřihneme trojúhelník. Určete polohu těžiště zbylého útvaru.

těžiště je na ose symetrie ve vzdálenosti a/9 od středu čtverce

D23.                                                                                                  Určete těžiště poloviny homogenní koule o poloměru R.

[těžiště leží na ose souměrnosti ve vzdálenosti 3R/8 od středu koule]

mechanické kmitání

Těleso koná netlumený harmonický pohyb s amplitudou výchylky 3 m, frekvencí 4 Hz. V čase t = 0 s se nachází ve vzdálenosti 1,5 m od rovnovážné polohy. Napište rovnice pro okamžitou výchylku, rychlost a zrychlení tělesa.

[, ; ]

Těleso hmotnosti 2 kg koná netlumený harmonický pohyb podle rovnice (m,s). Ve vzdálenosti 0,1 m od rovnovážné polohy má potenciální energii 0,09 J. Určete v této poloze jeho kinetickou energii.

[0,27 J]

Součinitel útlumu je 3 s^-1. Určete dobu, za kterou klesne energie tlumených kmitů na 20

[0,27 s]

Vodorovná deska kmitá harmonicky ve svislém směru s periodou 0,5 s. Jak velká může být amplituda pohybu, aby závaží položené na desku nebylo při pohybu vymrštěno?

[6,2 cm]

Další doporučené příklady:

D24.                                                                                                  Závaží o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu. Pružina se tím prodlouží o 16 cm vzhledem ke své nezatížené délce.

a) Jaká je tuhost pružiny?

b) Dané závaží odstraníme a na tutéž pružinu zavěsíme závaží o hmotnosti 0,5 kg. Poté pružinu ještě poněkud protáhneme a uvolníme. Jaká bude perioda vzniklých kmitů?

[a) 245,25 N.m^-1, b) 0,284 s]

D25.                                                                                                  Těleso koná netlumený harmonický pohyb tak, že jeho rychlost v rovnovážné poloze je 3 m/s a zrychlení v bodě vratu má velikost 27 m/s². Vypočítejte jeho úhlovou frekvenci.

[9 rad.s^-1]

D26.                                                               Výchylka harmonicky kmitající částice je v jistém okamžiku rovna jedné polovině amplitudy. Jaká část celkové mechanické energie má v tomto okamžiku formu energie a) potenciální,   b) kinetické?

[a) E/4, b) 3E/4]

D27.                                                                                                  Horizontální deska koná harmonický pohyb ve vodorovném směru s periodou T = 5s. Těleso, které leží na desce začíná klouzat, jestliže amplituda kmitů dosáhne hodnoty x₀ = 0.5 m. Jaký je koeficient tření mezi závažím a deskou?

D28.                                                                                                  Uvažujte tlumené kmity, jejichž doba kmitu je T a součinitel útlumu je b. Poměr dvou po sobě jdoucích krajních výchylek na tutéž stranu je útlum . Vyjádřete útlum.

[]

D29.                                                                                                  Energie tlumených kmitů kyvadla se za 2 min zmenší 100 krát. Určete koeficient odporu prostředí, je-li hmotnost kyvadla 0,1 kg.

mechanické vlnění

Bodovou řadou postupuje vlna rychlostí 300 m/s. Perioda T = 0,04 s. a) Určete fázový rozdíl dvou kmitajících bodů, které jsou ve vzdálenosti 10 m a 16 m od zdroje vlnění. b) Určete fázový rozdíl kmitání bodu nacházejícího se ve vzdálenosti 10 m od zdroje v časech 0,01 s a 0,02 s.

p rad, p/2 rad]

V homogenním prostředí se šíří vlna (m,s). Vypočítejte, poměr fázové rychlosti tohoto vlnění a maximální rychlosti kmitajících částic prostředí.

p

Hladinu intenzity zvuku zvětšíme o 30 dB. Kolikrát se zvýší jeho intenzita?

[1000 krát]

Další doporučené příklady:

D30.                                                                                                  Určete hladinu výsledné intenzity zvuku L_v, sečteme-li dva zvuky o stejných intenzitách I.

o 3 dB vyšší, než hladina intenzity jednotlivých zvuků

D31.                                                                                                  Jakou rychlostí se pohyboval závodní motocykl, jestliže poměr kmitočtů blížícího se a vzdalujícího se vozidla byl pro stojícího pozorovatele 5/4 (velká tercie)? Rychlost zvuku je 340 m/s.

[136 km.h^-1]

hydrodynamika

Nad hladinou benzínu v nádrži je tlak 3 atm (1 atm = 101 325 Pa). Benzín má hustotu 660 kg.m^-3. Jakou rychlostí začal benzín stříkat malým otvorem v hloubce 50 cm? Rychlost pohybu hladiny zanedbejte.

[25 m.s^-1]

Ve dně válcové nádoby poloměru R je kruhový otvor poloměru r, kterým vytéká kapalina. Určete rychlost klesání hladiny v nádobě v závislosti na výšce x hladiny nade dnem nádoby.

[]

Další doporučené příklady:

D32.                                                                                                  V nádobě je voda s hladinou ve výšce 50 cm. Jak vysoko nad dnem musíme udělat ve stěně nádoby otvor, aby voda stříkala co nejdále na vodorovnou rovinu, na které je nádoba postavená? [25 cm]

D33.                                                                                                  Vypočítejte průtok čerpadla a ideální rychlost, kterou stříká voda z trysky vysokotlakého vodního čerpadla s tlakem 400 MPa, je-li průměr trysky 0,5 mm. [894 m·s^-1; 10,5 l·min^-1]

D34.                                                                                                  Kolik vody za minutu musíme dodávat do nádrže s výškou hladiny 3 m a s otvorem o průměru 2 cm ve dně, aby hladina zůstávala v konstantní výšce? Zúžení proudu v otvoru zanedbáváme.  [1,72 l]

D35.                                                                                                  Jak velkou silou musíme působit na píst stříkačky o průměru 5 cm, má-li voda vytékat z otvoru o průměru 5 mm rychlostí 30 m s^-1?  [0,98 N]

D36.                                                                                                  Vítr při vichřici obtéká střechu domu rychlostí 110 km/h. Hustota vzduchu je 1,2 kg m^-3.

a) Jaký je rozdíl tlaků v prostoru nad střechou a pod střechou, který se snaží střechu nadzvednout a odnést?

b) Jaká bude síla nadnášející střechu o obsahu 90 m²?  [560 Pa; 50,4 kN]

molekulová fyzika a termodynamika

Válec ze zlata zahřejeme z teploty 10°C na 90°C. Určete v procentech: a) změnu objemu, b) změnu obsahu povrchu, c) změnu hustoty, d) změnu výšky. Uvažujte lineární závislost mezi délkou a teplotou. Teplotní součinitel délkové roztažnosti zlata je 14,3 10^-6 K^-1.

[a) 0,34 %, b) 0,23 %, c) –0,34 %, d) 0,11 %]

Ocelová kulička je vržena svisle dolů z výšky 20 m počáteční rychlostí 4 m.s^-1. Po dopadu se odrazí do výšky 4 m. O kolik stupňů se přitom ohřeje, předpokládáme-li , že jen 60% práce vykonané při deformování kuličky se mění v teplo? Měrné teplo železa je 452 J kg^-1 K^-1.

[0,22 °C]

Do 200 g vody v nádobě byla vhozena kostka ledu hmotnosti 50 g. Počáteční teplota vody byla 25 °C, ledu –15 °C. Jaká bude konečná teplota vody v nádobě po ustavení rovnováhy? Vodu s ledem považujte za izolovanou termodynamickou soustavu. Předpokládejte konstantní hodnoty měrného skupenského tepla tání ledu 333,7 J g^-1, měrné tepelné kapacity ledu 2090J kg^-1 K^-1 a měrné tepelné kapacity vody 4180J kg^-1 K^-1.

[2,5 °C]

Voda o hmotnosti 300 kg a teplotě 30⁰C se má za normálního tlaku smícháním se sytou vodní párou zahřát na teplotu 80⁰C. Určete hmotnost potřebné páry; měrné skupenské teplo varu vody je za normálního tlaku 2,257 MJ kg^-1 K^-1.

[26,8 kg]

Odhadněte rozdíl hmotnosti vzduchu v nevytápěném sále o objemu 50 m³ v letním a zimním období, jestliže budeme předpokládat letní teplotu 30 °C a zimní 0 °C. Tlak vzduchu bude normální, tj. 1,01325 10⁵ Pa.

[6,4 kg]

Nádrž objemu 0,015 m³ obsahuje dvouatomový plyn ve stavu s tlakem 2 10⁵ Pa a teplotou 30°C. Vypočtěte výsledný tlak a teplotu, jestliže plyn přijme 16,8 10³ J tepla.

[982,15 K; 6,48.10⁵ Pa]

Za normálního tlaku měl plynný dusík o látkovém množství teplotu t₁ = 30°C. Teplota plynu byla při nezměněném tlaku zvýšena na t₂ = 190 °C. Určete změnu vnitřní energie, teplo plynu dodané a práci, kterou plyn vykonal.

[2,7.10⁴ J; 3,7.10⁴ J; 10 kJ]

Kompresor vyrobí za hodinu 50 m³ stlačeného vzduchu o tlaku 8.10⁵ Pa. Je přitom chlazen vodou, takže je děj možno pokládat za izotermický. Vnější vzduch má tlak 10⁵ Pa. Jaký výkon musí mít motor kompresoru, je-li jeho účinnost 60%?

[38,5kW]

Carnotův motor má při teplotě chladiče 10 °C účinnost 38%. O kolik stupňů se musí zvýšit teplota ohřívače, aby účinnost dosáhla 45%? Předpokládáme, že teplota chladiče zůstává stejná.

[58 °C]

Další doporučené příklady:

D37.                                                                                                  Prázdná skleněná nádoba má tíhu 0,981 N, naplněná rtutí při teplotě 0°C má tíhu 14,038 N. Jestliže nádobu ohřejeme na teplotu 40°C, část rtuti vyteče a nádoba se rtutí má tíhu 13,96 N. Vypočítejte, jaký je teplotní součinitel objemové roztažnosti rtuti, znáte-li hustotu rtuti při 0°C (13,53 10³ kg m^-3) a teplotní součinitel délkové roztažnosti skla 10.10^-6 K^-1 [18.10^-5 K^-1]

D38.                                                                                                  Kus ledu o hmotnosti 250 g a teplotě -10 °C vložíme do směšovacího kalorimetru, jehož tepelná kapacita má hodnotu 3 100 J K^-1. V kalorimetru je 900 g vody o teplotě 50 °C. (a) Roztaje všechen led ? (b) Určete výslednou teplotu v kalorimetru po vyrovnání teplot. (c) Jakou teplotu by musela mít voda před vložením ledu, aby se roztopila právě polovina hmotnosti ledu ? Tepelnou výměnu s okolím kalorimetru zanedbejte. Předpokládejte konstantní hodnoty měrného skupenského tepla tání ledu 333,7 J g^-1, měrné tepelné kapacity ledu 2090 J kg^-1 K^-1 a měrné tepelné kapacity vody 4180 J kg^-1 K^-1.  [(a) Ano, (b) 32,18 °C, (c) 6,84 °C]

D39.                                                                                                  Ideální plyn expandoval mezi stavy I a II (Obrázek 1.). Stavu I příslušela teplota 45°C. a) Jakého počtu molů plynu se p-V diagram týká? b) Jakou práci během expanze plyn vykonal? c) Určete teplotu plynu ve stavu II.

[0,76 mol; 8 kJ; 2 848 K]

D40.                                                                                                  Píst velmi rychle, proto lze předpokládat adiabaticky, stlačil kyslík na 1/50 původního objemu. Jestliže byla počáteční teplota vodíku 20 °C, jaké teploty bylo dosaženo po stlačení? [1129 °C]

D41.                                                                                                  Kyslík má počáteční teplotu 200 °C a koná ideální Carnotův kruhový děj. Nejprve expanduje izotermicky na dvojnásobek objemu, poté expanduje adiabaticky na trojnásobek počátečního objemu aby byl stlačen izotermicky na takový objem, který umožní následnou adiabatickou kompresí uzavřít celý cyklus. Kyslíku je 2000 mol. Vypočtěte práci kyslíku v každé ze čtyř částí kruhového děje. Stanovte účinnost daného kruhového děje. Použijte hodnotu Poissonovy konstanty 1,4.

[]

Elektrostatické pole

Vyjádřete obecně poměr velikosti Coulombovy síly F_el a gravitační síly F_g , kterou na sebe působí dva protony ze vzdálenosti r. Náboj protonu označte e a jeho hmotnost m_p. Vyhledejte v tabulkách hodnoty příslušných konstant a dopočítejte číselně.

Dva stejné bodové náboje umístěné ve vzdálenosti 20 cm působí na sebe ve vzduchu elektrostatickou silou F. V jaké vzdálenosti by musely být umístěny v oleji o relativní permitivitě 5, aby velikost elektrostatické síly, kterou na sebe vzájemně působí byla stejná. [8,9 cm]

Kde na spojnici nábojů Q a 4Q vzdálených l = 0.9 m je třeba umístit třetí náboj Q tak, aby výslednice elektrostatických sil byla nulová? Jak se změní řešení úlohy v případě nesouhlasných zdrojových nábojů (Q a ‑4Q)? [0,3 m]

Do homogenního elektrického pole vstupuje nabitá částice (Q = 5·10^-6 C) s kinetickou energií 12 mJ a vystupuje z tohoto pole s kinetickou energií 28 mJ. Pohyb částice v poli se děje pouze vlivem elektrické síly. Vypočítejte napětí mezi deskami. [3,2 kV]

Desky kondenzátoru o ploše 2 m² jsou ve vakuu ve vzdálenosti 5 mm. Na kondenzátoru je napětí 10⁴ V. Stanovte kapacitu kondenzátoru, náboj každé desky, plošnou hustotu náboje a intenzitu pole mezi deskami. Co se změní, dáme-li mezi desky kondenzátoru pertinax o relativní permitivitě ε_r = 5?

[3,54 nF; 3,54.10^-5 C;1,77.10^-5 C·m^-2;2.10⁶ V·m^-1]

V soustavě kondenzátorů dle obr. je bod O uzemněn a v bodě M je udržován potenciál 1200 V. Určete náboj každého kondenzátoru a potenciál v bodě N. Kapacita prvního kondenzátoru je 3 mF, druhého 4 mF a třetího 2 mF.

[2,4.10^-3 C; 1,6.10^-3 C; 0,8.10^-3 C; 400 V]

Energie 2,7 mJ je akumulována v kondenzátoru, na němž je napětí 85 V. Určete kapacitu kondenzátoru a náboj na jeho deskách.

^-7 F; 6,35.10^-5 C]

Další doporučené příklady:

D42.                                                                                                  Homogenním elektrostatickým polem E = 15 kV/m prochází svazek elektronů tak, že jejich počáteční rychlost v₀ je kolmá na vektor intenzity E. Po uražení dráhy x = 0,05 m se odkloní od vodorovného směru o y = 1.10^-3 m. Stanovte velikost počáteční rychlosti v₀.

[5,7.10⁷ m.s^-1]

D43.                                                                                                  Částice (+Q ,m) se pohybuje rychlostí v. Na jakou vzdálenost R se může částice přiblížit ke kladnému bodovému náboji +q? Řešte obecně a pak pro pozitron s rychlostí 5,7·10⁶ m/s a částici a.

[3,1.10^-11 m]

D44.                                                                                                  Při radioaktivním rozpadu je z jádra atomu polonia emitována a částice (jádro He) s rychlostí 1,6.10⁷ m/s. Vypočítejte její kinetickou energii (v eV). Jakým potenciálovým rozdílem by musela a částice projít, aby získala stejnou rychlost? Hmotnost a částice považujte za konstantní.

[5,3 MeV; 2,67.10⁶ V]

elektrický proud

Dává-li baterie proud 3 A, je její svorkové napětí 24 V. Při proudu 4 A klesne svorkové napětí na 20 V. Určete vnější odpor v obou případech, vnitřní odpor baterie a její elektromotorické napětí.

8 Ω; 5 Ω; 4 Ω; 36 V]

Vypočítejte proud jdoucí odporem R₃ v síti podle obrázku. Je dáno e = 20 V, e = 30 V, R₁ = 200 W, R₂ = 50 W, R₃ = 100 W. Vnitřní odpory zdrojů můžeme zanedbat.

A]

Vlákno svítící žárovky o výkonu 1 kW při napětí 220 V má teplotu 1600 °C. Stanovte teplotní koeficient odporu tohoto vlákna, je-li jeho odpor za studena (při 0°C) 4 W

^-3 K^-1]

Jaký odpor bychom museli předřadit žárovce o výkonu P = 3 W a pro napětí U = 6 V, chceme-li ji připojit k napětí U = 220 V ? Nakreslete schéma zapojení.

Jaká úprava nám umožní použít miliampérmetru s rozsahem I_m = 200 mA a odporem cívky R_a = 2,8 W, k měření proudů do  I´_m = 3 A? Nakreslete schéma zapojení.

bočník

Další doporučené příklady:

D45.                                                                                                  Jak velký odpor má za studena ( při 0°C) vlákno wolframové žárovky 60 W/220 V, vztahují-li se údaje na provozní teplotu 2 500°C. Teplotní součinitel odporu je 48·10^-4 K^-1. Jak velký je proud při svícení a jak velký je nárazový proud v okamžiku rozsvícení?

W; 273 mA; 3,5 A]

D46.                                                                                                  Jaká úprava nám umožní použít voltmetr s maximálním povoleným napětím U_m= 25 V a vnitřním odporem R_a = 25 kW, k měření napětí do  U´_m = 250 V?

[předřadný odpor 225 kW

D47.                                                                                                  Jaký odpor je třeba předřadit obloukové lampě, na níž je při průchodu proudu I₀ = 6 A spád napětí U₀ = 39 V, máme-li ji připojit ke zdroji napětí U = 60 V?

W

D48.                                                                                                  Demonstrační přístroj o rozsahu 0-1mA je třeba použít pro měření proudů do  I´_m = 1 A. Stanovte odpor potřebného bočníku, je-li vnitřní odpor miliampérmetru R_a = 100 W

W

magnetické pole

Velmi dlouhý tenký, přímý proudovodič, kterým teče proud I = 2.5 A, vytváří v určitém místě kruhový závit o průměru D₀ = 4.14 cm, ležící v rovině proložené proudovodičem. Vypočítejte magnetickou indukci ve středu uvedeného závitu (ve vzduchu)!

mT]

Vypočtěte magnetickou indukci uvnitř solenoidu s jádrem délky l = 25 cm, majícího N = 2000 závitů, protéká-li jím proud I = 0,5 A, relativní permeabilita jádra je m_r = 250. Předpokládáme, že délka solenoidu je mnohem větší než jeho průměr.

p T

Deuteron urychlený neznámým potenciálovým rozdílem obíhá v magnetickém poli o indukci B = 1,5 T po kruhové dráze o poloměru 40 cm. Určete rychlost deuteronu, dobu jednoho oběhu a urychlovací napětí.

m·s^-1 ; 8,7.10^-7 s; 8,8 MV]

Další doporučené příklady:

D49.                                                                                                  Vypočtěte magnetickou indukci uvnitř toroidu o středním poloměru R = 10 cm, majícího N = 1000 závitů, protéká-li jím proud I = 0,5 A, nejdříve bez jádra, pak s jádrem o relativní permeabilitě m_r

mT; 0,5 T]

D50.                                                                                                  Jaký poloměr musí mít dlouhá cívka vinutá měděným drátem o průměru 1,2 mm závit vedle závitu v jedné vrstvě, aby při průtoku proudu 2 A byl magnetický indukční tok touto cívkou 3.10^-6 Wb? Pole uvnitř cívky pokládejte za homogenní.

[2,1 cm]

D51.                                                                                                  Vedením v elektrárně může při zkratu procházet proud až 10⁴ A. Jakou silou na sebe v tomto případě působí dvě rovnoběžná vedení dlouhá 3 m a vzdálená od sebe 0,5 m?

[120 N]

D52.                                                                                                  Mezi póly magnetu je homogenní magnetické pole indukce 0,1 T. V poli je umístěn měděný vodič délky 70 cm tak, že je kolmý k indukčním čarám. Jaký proud by musel procházet vodičem, aby se v magnetickém poli vznášel? Hustota mědi je 8930 kg·m³, poloměr drátu je 1,2 mm. Za jakých podmínek a za jak dlouho by mohlo dojít k roztavení vodiče (teplota tání mědi je 1083°C; měrná tepelná kapacita c = 383 J·kg^-1·K^-1; měrný odpor 17,8·10^-6W·m; teplotní součinitel odporu 4·10^-3 K^-1)? 

[3,96 A]

elektromagnetické pole, střídavé proudy

Chceme-li připojit žárovku pro napětí 6 V a výkon 5 W k síti 220 V ( frekvenci 50 s^-1), můžeme to učinit tak, že jí předřadíme kondenzátor. Vypočtěte potřebnou kapacitu a účiník zapojení.

mF; 0,027]

Kolik závitů musí mít primární vinutí transformátoru s jádrem o průřezu S = 4.10^-3 m²? Primární napětí je U₁ = 220 V a transformátor má pracovat při maximální indukci B = 1 V, f = 50 Hz. Nepřihlížíme k rozptylu, hysterezním ztrátám ani k ohmickému odporu vinutí!

Do oscilačního elektrického obvodu je ke kondenzátoru o kapacitě C₁ paralelně připojen další kondenzátor o kapacitě C₂ = 3C₁. Poté se frekvence kmitů zmenší o 500 Hz. Určete frekvenci kmitů původního obvodu.

1000 Hz]

Cívka s odporem vinutí R = 10W a o indukčnosti L se zapojí sériově s kondenzátorem o kapacitě C = 100 mF. Při frekvenci 50 Hz je obvod v rezonanci. Vypočtěte napětí na kondenzátoru a proud procházející cívkou, je-li napětí na celém obvodu U = 110 V.

350 V, 11 A]

Další doporučené příklady:

D53.                                                                                                  Přímá kovová tyč délky 1 m se otáčí kolem jednoho svého konce v rovině kolmé k indukčním čarám homogenního magnetického pole o indukci 1 T. Jak velké indukované napětí mezi oběma konci tyče vzniká při frekvenci otáčení 10 s^-1?

[31,4 V]

D54.                                                                                                  Obvodem s ohmickým odporem protéká při napětí 220 V a frekvenci 50 s^-1 proud 10 A. Stanovte kapacitu kondenzátoru, který je nutno zařadit do obvodu, aby proud klesl na 6 A. Určete hodnoty napětí na odporu a na kondenzátoru pro toto zapojení.

mF; 132 V; 176 V]

optika

Potápěč je 10 m pod hladinou klidného jezera. Jaký je průměr kruhu na hladině, kterým může potápěč vidět svět vně vody? Když se potápěč ponoří hlouběji, jak se změní průměr tohoto kruhu? Index lomu vody je 1,33.

[22,8 m]

Určete předmětovou vzdálenost předmětu tak, aby duté zrcadlo vytvořilo jeho převrácený,  a) 4krát větší; b) 4krát menší obraz.

[1,25f ; 5f]

Poloměr vypuklého zrcadla je 20cm.Ve vzdálenosti 30cm od zrcadla je umístěn předmět velikosti 1cm. Vypočítejte, kde vznikne obraz a jak bude velký.

[-7,5 cm; 0,25 cm]

Předmět je pozorovaný lupou, která je ve vzdálenosti c = 0,02 m od oka. Vypočítejte ohniskovou vzdálenost lupy, jestliže při 6-ti násobném úhlovém zvětšení se obraz vytvoří ve vzdálenosti 0,3 m od lupy.

[0,045m]

Předmět je umístěn 8cm před rozptylkou, která má ohniskovou vzdálenost 24cm. Vypočítejte obrazovou vzdálenost a příčné zvětšení předmětu.

[–0,06m ; 0,75]

Určete nejvyšší řád spektra, ve kterém je ještě možno pozorovat červenou čáru vlnové délky 700 nm pomocí optické mřížky, která má 300 vrypů na milimetr.

Svazek bílého světla dopadá kolmo na optickou destičku tloušťky 400nm a indexu lomu 1,5. Destička je ve vzduchu. Vypočítejte, které vlnové délky viditelné části spektra se v odraženém světle zesilují a odhadněte, jaké barvy jim odpovídají.

[480 nm

Další doporučené příklady:

D55.                                                                                                  Jakou minimální výšku v musí mít rovinné zrcadlo visící na svislé stěně, aby pozorovatel výšky 180cm v něm mohl vidět celou svou postavu?  [0,9 m]

D56.                                                                                                  Vypočítejte zvětšení mikroskopu s optickým intervalem 0,16m, přičemž předmětové ohniskové vzdálenosti objektivu a okuláru jsou 2mm a 20mm.

D57.                                                                                                  Na štěrbinu o šířce 0,5 mm dopadá kolmo světlo o vlnové délce 760 nm. Vypočítejte vzdálenost 1. tmavého pruhu od středu obrazu štěrbiny na stínítku vzdáleném 2,5m od štěrbiny. [3,8 mm]

atomová a jaderná fyzika

Na kovovou desku dopadá monochromatické světlo o vlnové délce 0,413.10^-6 m. Tok elektronů emitovaných z kovu je úplně zastaven brzdícím napětím 1 V. Určete výstupní práci kovu a mezní vlnovou délku.

[2 eV; 619 nm]

Při fotoefektu s platinovou katodou bylo naměřeno brzdné napětí 0,8 V. Výstupní práce platiny je 5,3 eV. Vypočítejte a) vlnovou délku světla, kterého bylo použito; b) mezní vlnovou délku.

[234 nm; 203 nm]

Konečným produktem radioaktivního rozpadu je . Kolik a a částic se při rozpadu uvolní?

[6 x a, 4 x ]

Poločas a-rozpadu izotopu plutonia je 24 100 let. Kolik % z původního počtu atomů plutonia se rozpadne po 20 000 letech?

[87,8 mg]

Další doporučené příklady:

D58.                                                                                                  Určete kolik gramů helia vznikne ze 12 g čistého po 20 000 letech (viz př. 67)? Do výsledného množství helia nezahrnujte helium, které vzniká rozpadem vedlejších produktů reakce.

D59.                                                                                                  Vypočítejte krátkovlnnou hranici spojitého rentgenového spektra v případě, že na RTG lampě je napětí 30 kV.

[4,14.10^-11 m]

D60.                                                                                                  Jaká je vlnová délka fotonu, který se vyzáří při přechodu elektronu ze čtvrté na druhou kvantovou dráhu podle Bohrova modelu atomu vodíku?

[0,485.10^-6 m]

D61.                                                                                                  Vypočítejte parametry fotonu (energii, kmitočet, vlnovou délku, vlnočet, hmotnost a hybnost), má-li ionizovat atom cesia. Ionizační potenciál cesia má hodnotu 3,88 V.

E = 6,208 10^-19 J; ν = 0,937 10¹⁵ Hz; l 10^-7 m; s 10⁶ m^-1; m = 0,69 10^-35 kg; p = 2,07 10^-27 kg m s^-1

D62.                                                                                                  Při léčbě rakoviny se užívá nuklid s poločasem rozpadu 2,7 dní. Jakou hmotnost tohoto nuklidu potřebujeme, abychom dosáhli aktivitu 250 Ci? Jednotka curie (Ci) je přibližně rovna aktivitě 1 g , tj. má hodnotu 3,7·10¹⁰ Bq.

[1,02 mg]

D63.                                                                                                  Aktivita v dřevěném uhlí hmotnosti 5 g odpovídá 63 rozpadům za minutu. Živý strom má aktivitu 15,3 rozpadů za minutu z 1 gramu. Poločas rozpadu je 5730 let. Jak starý je vzorek dřevěného uhlí?

[1600 let]

D64.                                                                                                  Spočtěte energii Q reakce pro štěpení na dva stejné fragmenty. Hmotnosti, které budete k výpočtu potřebovat, jsou: 97,90541u pro a 48,95002u pro .

[5 MeV]