Rezonanční transformátor

Schéma zapojení rezonančního transformátoru je nakresleno na obr. 1. Budící impulsy pro feritový transformátor vyrábí impulsní LC oscilátor, tvořený řídicí elektronikou, cívkou L₁ a kondenzátorem C₁. Cívka L₁ zároveň tvoří primární vinutí fritového transformátoru. Na sekundární cívku L₂ transformátoru je připojen kondenzátor C₂. Pro správnou funkci rezonančního transformátoru je nutné, jak již vyplývá z názvu, aby primár transformátoru byl v rezonanci se sekundárem. To znamená, že rezonanční kmitočet sekundární cívky L₂ a kondenzátoru C₂ se musí rovnat, nebo být celistvým násobkem rezonančního kmitočtu primáru. Platí tedy:

1 1

------------- = k ----- ----- -------- , pro k = 1, 2, 3,… (1)

2p (L₁C₁)  2p (L₂C₂)

Po úpravě dostaneme tuto rovnici:

L₁C₁ = k² L₂C₂  (2)

Odtud získáme vzorec pro výpočet velikosti kondenzátoru C₂:

C₁ L₁

C₂ = ---------- (3)

k² L₂

Víme, že indukčnost cívky je přímo úměrná druhé mocnině počtu závitů N. Vzorec (3) můžeme tedy přepsat na tvar

C₁ N₁

C₂ = ------ (-----)² (4)

k² N₂

Poznámka: Jak dále uvidíme, situace v rezonančním transformátoru je trochu složitější. Přesto praxe ukázala, že vzorce (3) a (4) jsou užitečné (alespoň pro k = 1, 2).

Nyní si řekneme něco málo o teorii transformátorů. Transformátor tvoří dvě cívky (nebo více cívek), které jsou vázány společným magnetickým tokem (obr. 2). Je-li primární cívka připojena ke zdroji střídavého napětí U₁, protéká jejím vinutím proud I₁, který vybudí magnetický tok F , který má dvě složky: vazební F_v a rozptylovou F_r. Vazební složka mag. toku se uzavírá sekundárním vinutím, v němž indukuje napětí U₂. Působením indukovaného napětí U₂ protéká uzavřeným sekundárním obvodem proud I₂, který v cívce vybuzuje magnetický tok F F_2v F_2r. Vazební složka se uzavírá závity primární cívky. Vinutí primární a sekundární cívky jsou vázána společným magnetickým tokem, který je dán rozdílem obou vazebních toků:

F_v F_1v F_2v  (5)

Tomuto toku odpovídá vazební indukčnost L_v, která je dána poměrem vazebního toku F_v a proudu I₁ procházejícího primární cívkou.

F_v

L_v = -------  (6)

I₁

Napětí indukovaná vazebním tokem jsou v přímém poměru k počtu závitů

U₁ 4,44 f F_v N₁  N₁

------ = ----- ----- -------- = ------ = p  (7)

U₂ 4,44 f F_v N₂  N₂

Vztah mezi proudy se u ideálního, bezeztátového transformátoru odvodí z rovnosti výkonů:

P₁ = P₂

U₁I₁ = U₂I₂

I₁ U₂ N₂ 1

(8)

I₂ U₁ N₁ p

Závislost mezi magnetickým tokem cívky a její indukčností (6) umožňuje nahradit primární a sekundární cívku transformátoru sériovým zapojením vazební a rozptylové cívky:

L₁ = L_1v + L_1r   (9a)

L₂ = L_2v + L_2r  (9b)

Vztah mezi celkovou indukčností cívky a její vazební složkou se udává pomocí činitele vazby k:

L_1v L_2v

k = ------ = -------  (10)

L₁ L₂

Na přenosu energie se podílejí pouze vazební indukčnosti. Jejich geometrická střední hodnota se rovná činiteli vzájemné indukčnosti M:

______ ________

M = L_1vL_2v  = kL₁ kL₂

_____

M = k L₁L₂  (11)

Pro reaktanční složky vyjádřené činitelem vazby dostáváme vztah

L_1r = L₁ – L_1v = L₁ – kL₁ = L₁(1 - k)

Na obr. 3 je nakresleno náhradní schéma transformátoru. Všimněte si, že prvky sekundární části transformátoru se přepočítávají na transformátor o převodu p = 1. Tento způsob má své fyzikální zdůvodnění, neboť přepočítáváním se velikosti veličin převádějí na hodnoty, kterými ovlivňují primární obvod.

Na základě tohoto náhradního schématu si pro naše účely vytvoříme zjednodušené náhradní schéma rezonančního transformátoru, které najdete na obr. 4.

V tomto schématu jsme zanedbali ztráty v železe, rozptylové indukčnosti a kapacitu primárního vinutí. Pro jednoduchost také předpokládáme, že převod p = 1.

Obvod z obr. 4 budeme řešit standardními metodami teorie obvodů. Pro odvození napěťového přenosu se lépe hodí metoda uzlových napětí. Pomocí této metody sestavíme obvodové rovnice:

U₁ - U_x U_x U_x – U₂

----- ----- ------ = ------ + -----------

R₁ + 1/pC₁ pL R₂

U_x – U₂

----------- = U₂pC₂

R₂

Rovnice upravíme do tvaru:

U₁ = (R₁ + 1/pC₁)(U_x(1/pL – 1/R₂) – U₂/R₂) + U_x

U_x =U₂(pR₂C₂ + 1)

V první rovnici dosadíme za U_x a po úpravách dostaneme výsledný vztah pro přenos:

U₂  p²LC₁

U₁ p³LC₁C₂(R₁ + R₂) + p²(R₁R₂C₁C₂ + L(C₁ + C₂)) + p(R₁C₁ + R₂C₂) + 1

Označíme:

A = LC₁

B = LC₁C₂(R₁ + R₂)

C R₁R₂C₁C₂ + L(C₁ + C₂)

D = R₁C₁ + R₂C₂

A dostaneme tento tvar Laplaceova přenosu:

U₂ p²A

U₁ p³B+ p²C + pD + 1

Za operátor p dosadíme jw a dostaneme frekvenční přenos:

U₂(jw -w A -w A

U₁(jw -jw B - w C + jwD + 1 (1- w C) + j(wD - w B)

Zlomek rozšíříme výrazem (1- w C) - j(wD - w B), čímž odstraníme komplexní číslo ze jmenovatele přenosu:

U₂(jw) w A[(w C - 1) + j(D - w B)w

(12)

U₁(jw) (1- w C)² + (D - w B)²w

V rezonanci bude platit rovnice

D - w B = 0  (13)

Tím se nám frekvenční přenos (12) zjednoduší na:

U₂(jw) w A

pro w w_rez (14)

U₁(jw) 1- w C

Po zpětném dosazení za proměnné B a D dostaneme podmínku rezonance ve tvaru

R₁ C₁ + R₂ C₂ = w C₁ C₂ L (R₁ + R₂),

odkud

R₁ C₁ + R₂ C₂

w (15)

C₁ C₂ L (R₁ + R₂)

V případě, že R₁ = R₂, což se dá u transformátoru s převodem p = 1 předpokládat, zjednoduší se výraz (15) na tvar

1

w (16)

2 L C_x

kde C_x je kapacita kondenzátorů C₁ a C₂ zapojených v sérii:

C₁ C₂

C_x = -----------  (17)

C₁ + C₂

Naopak, pokud C₁ = C₂ = C, potom dostaneme standardní vzorec pro rezonanční kmitočet:

1

w

L C

Nyní dosadíme za proměnné A a C ve vzorci pro přenos (14):

U₂ w LC₁

-------- = -------- ----- ------ ------- pro w w_rez (18)

U₁ 1- w (R₁R₂C₁C₂ + L(C₁ + C₂))