ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ

Fakulta Elektrotechnická

Systémy a modely

Rozpoznání systému HELIKOPTÉRA 2

Úkol

Úkolem je identifikovat systém tvořený vstupem napětí na pomocný rotor, přičemž výstupem je azimut vrtulníku.

Fyzikální model

Nákres systému:

Popis obrázku:

T - Těžiště vrtulníku

F1 – Síla vyvolaná od točivého momentu hlavního rotoru

F1’ – Síla vyvolaná zadním rotorem (tato síla vyrovnává působení síly F1 v pracovním bodě vrtulníku).

F2 – Síla vyvolaná zvýšením napětí na zadním rotoru oproti ustálené hodnotě (v pracovním bodě vrtulníku).

M1 – Moment vyvolaný účinkem síly F1, M1 = F1 . r1

M1 – Moment vyvolaný působením síly F1’ (momenty M1 a M1 se sobě rovnají)

Další vyplývající vztah:

Ms – Setrvačný moment hmoty vrtulníku. (Působí proti silám snažícím se otáčet vrtulníkem. Je dán vztahem Ms = Is . e, kde e je úhlové zrychlení a Is je setrvačný moment)

Pro náš případ byl vrtulník zaaretován ve vodorovné poloze a mohl se otáčet pouze kolem své svislé osy. Hlavní rotor tedy neměl funkční vliv na elevaci vrtulníku a sloužil pouze k vyvození síly F₁ (potažmo momentu M₁) a tedy k nastavení pracovního bodu systému.

Pokud síla F₁’ je tak velká, že M₁ = M₁’, tedy F₁ . r₁ = F₁’ . r₂, tak se model vrtulníku neotáčí - toto je výsledkem nastavení pracovního bodu.

V našem případě byl pracovní bod zvolen následovně: Napětí na motoru hlavního rotoru bylo 0,6 a motoru zadního rotoru 0,13. Při těchto hodnotách setrvával model vrtulníku v klidu a nedocházelo k jeho otáčení.

Pokud dojde ke změně napětí motoru zadního rotoru o DU, pak začne působit síla F₂, která má za následek vyvození momentu M₂ a tím porušení rovnováhy systému - vrtulník se tedy začne otáčet.

Síla F₂ je při tom úměrná té to změně napětí: F₂ = k₁(t) . DU, kde k₁(t) je konstanta úměrnosti mezi změnou napětí a působící sílou. Jelikož je zadní rotor fyzikální těleso s působením momentu setrvačnosti apod. není změna otáček rotoru skoková a tím ani změna síly není skoková. Proto je k₁ závislá na čase.

Působící síla F₂ začne vyvozovat moment M = F₂ . r₂ , lze tedy psát M = k₁(t). DU. r₂.

Zjednodušíme tuto rovnici zavedením konstanty k(t) = k₁(t). r₂, pak tedy M = DU . k(t).

V otáčení modelu vrtulníku ale brání brzdný moment, který je úměrný rychlosti otáčení (tedy úhlové rychlosti) w a dále setrvačný moment M_S. Lze tedy psát, že: M_B = B.w, kde B je konstanta úměrnosti brzdného momentu.

Systém lze tedy popsat rovnicí:

(1)

Po dosazení za momenty:

(2)

Působící moment M, jak již bylo zmíněno výše, je časově závislý, neboť fyzikální vlastnosti zadního rotoru vrtulníku nedovolují jeho skokovou změnu se změnou napětí. Předpokládali jsme jeho chování jako chování systému 1. řádu, tedy:

, (3)

kde t představuje zpoždění tohoto podsystému.

Přenos a stavové rovnice

Pro jednoduchost uvažujme nyní podsystém zadního rotoru vrtulníku za ideální s odezvou M = k . DU (bez časové závislosti). (4)

Pak bude Laplaceova transformace rovnice (2) vypadat následovně:

(5)

Pro sestavení přenosu bude k.DU představovat jednotkový skok - jeho Laplaceova trasformace je . (6)

Přenos systému podle (5) a (6) tedy bude:

(7)

Toto lze upravit zavedením nové konstanty na jednodušší tvar: (8)

(9)

Neboť zadní rotor vrtulníku nemá takto ideální přenos, provedeme zahrnutí jeho nezjednodušeného přenosu do rovnice (9).

Nejprve provedením Laplaceovy transformace rovnice (3):

(10)

Dosazením transformace jednotkového skoku (6) za změnu DU dostaneme:

(11)

Spojením rovnic (11) a (9) (a vynecháním konstanty k z rovnice (11), neboť se jedná o totéž k, které je již zahrnuto v rovnici (9) původně uvažovaného ideálního podsystému) dostaneme:

(12)

Vztah (12) zjednodušíme zavedením nové konstanty K:

(13)

Dostaneme tedy:

(14)

Stavové rovnice vyjádříme nejprve pro zjednodušený případ podle (4), tedy pro ideální odezvu zadního rotoru vrtulníku:

Vyjdeme z tvaru rovnice (2) upravené podle výše zmíněné podmínky na tvar (5):

Základním předpokladem je substituce:

(15)
Dosazením získáme:

(16)

Z toho dosazením za J a K:

(17)

Normalizovaný tvar stavových rovnic:

(18)

Pak porovnáním tvaru (18) s tvarem (17) dostáváme:

(19)

Pro nezjednodušený model podsystému zadního rotoru vyjdeme z rovnice (14) a jejího převedení do časové oblasti:

(20)

Vztah zjednodušíme zavedením substituce V = K.t (21)

(22)

Řešit budeme obdobně jako pro zjednodušení model:

tj. provedeme substituci:

(23)

Dosazením získáme:

(24)

Stavová rovnice (po porovnání s norm. tvarem) a přepisem do maticového tvaru je:

(25)

Nalezení simulačního modelu

Pro zjednodušující případ ideální odezvy podsystému zadního rotoru vrtulníku můžeme uvažovat, že úhlové zrychlení e je přímo funkcí změny napětí U. Model vrtulníku by pro takový případ vypadal takto:

Toto schéma odpovídá stavu, kdy po příchodu skokové změny napětí na motor zadního rotoru vrtulníku je tento model přidržen ve stálé poloze do doby, než se rotor vrtulníku roztočí na otáčky odpovídající novému napětí a změna polohy je uvažována až od doby jeho uvolnění. V měřených charakteristikách se tedy neprojevuje postupně narůstající síla F₂, ale model se chová tak, jako by se tato síla měnila skokově ihned. Tomuto chování odpovídá rovnice (9).

U reálného vrtulníku není změna síly F₂ skoková, ale mění se postupně podle rovnice (3). Model reálného vrtulníku tedy vychází z rovnice (12) a vypadá takto:

Zesílení zesilovače „Gain“ odpovídá hodnotě J t, zesílení „Gain2“ pak hodnotě K.t, pdle rovnice (21), resp (24).

Nalezení konstant

Nejprve bylo nutno stanovit pracovní bod modelu, neboť pro malé změny napětí zaního rotoru v blízkosti nulového napětí (nulových otáček) je chování motoru silně nelineární.

Hodnoty pracovního bodu byly stanoveny takto:

Napětí hlavního rotoru: U_HR = 0,6V

Napětí zadního rotoru vyrovnávající moment působený hlavním rotorem: U_ZR = 0,13V

K nalezení konstant K a J bylo použito zjednodušeného modelu vrtulníku.

Konstanty byly stanoveny tak, aby průběh odezvy na skok změny napětí motoru zadního rotoru vrtulníku byl totožný v simulovaném modelu a reálném systému.

Pro konstanty J = 0,1 a K = 6,0 a skokovou změnu napětí U = 0,2V byly změřeny a odsimulovány následující charakteristiky:

Pro stanovení zbývající konstanty t, tedy časového zpoždění působící síly F₂, bylo použito úplného modelu vrtulníku.

Pro hodnotu t = 2,3 byly změřeny druhé charakteristiky na předchozí straně.

Pomocí těchto konstant můžeme jejich dosazením do rovnice (25) psát výsledné stavové rovnice:

Porovnání přechodových charakteristik obou modelů systému (tj. se skokovou změnou síly F₂ a s pozvolnou změnou F₂):

Pomocí modelu Simulinku jsme stanovili dále síť přechodových charakteristik pro různě velké změny napětí U na motoru zadního rotoru vrtulníku:

Závěr

Podle předloženého modelu vrtulníku byl stanoven fyzikální a matematický popis chování tohoto systému na zadanou změnu vstupního parametru - tj. změnu napětí na motoru zadního rotoru.

Nejzdlouhavější částí práce bylo nalezení vhodných konstant K, J a t tak, aby matematicko-fyzikální model měl stejnou časovou odezvu na tuto změnu jako reálný systém.