Fysiikan Laboraatio - Kimmokertoimen määrittäminen

Tiivistelmä

Laboraatiossa oli tehtävänä mitata kappaleen kimmokerroin kahdella eri menetelmällä. Ensimmäiseksi suoritettiin lattametallin kimmokertoimen mittaus taivuttamalla, jonka jälkeen siirryttiin mittaamaan metallilangan venymää. Mittauksissa käytettiin apuna punnuksia, joita lisättiin yksitellen. Lankavenymää mitatessa viittä kappaletta noin 500 gramman painoisia ja tangon venymää mitatessa kolmea kappaletta noin 500 grammaisia ja yhtä noin kilon painoista punnusta.

Mittaustulokset analysoitiin Graphical Analysis ohjelmalla ja regressiosuorista saatiin seuraavat kulmakertoimet.

Lattametalli: (0.0038865 0.0000059) mm/g

Metallilanka: (0.0011092 0.0000049) mm/g

Laskennalla saadaan kimmokertoimiksi,

Lattametallilla E=(0.21*10¹² 0.002*10¹²) Pa

Metallilangalla E=(0.18*10¹⁴ 0.0011*14) Pa

Laskennassa käytettiin putoamiskiihtyvyytenä (g) 9.822m/s²

Teoria

Kimmokertoimen määritys sauvaa taivuttamalla

Kun kahden tuen päällä vapaasti lepäävää vaakasuoraa sauvaa kuormitetaan keskeltä pystysuoralla voimalla F, on tämän voiman aiheuttama taipuma tukipisteiden puolivälissä

Kaava 1.

I on sauvan aksiaalinen pintamomentti (neliömomentti). Suorakulmion muotoisen poikkipintaleikkauksen tapauksessa I = ab³/12, missä a on poikkileikkauksen leveys ja b korkeus.

Sauvan taipuma mitataan useilla erikokoisilla kuormituksilla. Käytettäessä punnuksia kuormana, on F = mg, jolloin Kaavan 1 mukaan taipuma y on suoraan verrannollinen punnuksen massaan m. Havaintopisteiden kautta voidaan jälleen piirtää suora, nyt m, y-koordinaatistossa. Kimmokertoimen laskeminen käy suoran kulmakertoimen avulla samoin, kuin edellisessä kohdassa, nyt . Kaava 2.

Kimmokertoimen määritys lankaa venyttämällä.

Voima F jännittää lankaa, jonka pituus on l ja poikkipinta A, ja aiheuttaa langassa muutoksen Dl. Mikäli suhteellisuusrajaa ei ylitetä on voimassa Hooken laki

eli Kaava 3.

on langan jännitys ja on langan venymä eli suhteellinen pituuden muutos. E on

lankamateriaalin kimmokerroin.

Langan pituuden muutos mitataan useilla erikokoisilla kuormituksilla. Langan mutkien oikaisemiseksi on langalle syytä panna jokin sopiva alkukuorma. Sen jälkeen lisättyjen punnusten aiheuttamat pituuden muutokset mitataan. Jokaiselle langalle on olemassa tietty maksimikuorma jota ei pidä ylittää, koska lanka voi katketa tai se ei enää palaudu alkuperäiseen pituuteensa kuorman poistamisen jälkeen.

Koska , on kaavan 3 mukaan.

Kaava 4.

joten Dl on suoraan verrannollinen kuormana olevan punnuksen massaan. Havaintopisteiden (m₁, Dl₁), (m₂, Dl₂) jne. pitäisi siis asettua suoralle m, Dl-koordinaatistossa.

Työselostukseen piirretään pisteisiin parhaiten liittyvä suora ja lasketaan sen kulmakerroin k joko kuvasta tai suoraan havaintopisteistä pienimmän neliösumman menetelmällä. Kun k tunnetaan, on E laskettavissa, koska kaavan 4 mukaan

Kaava 5.

Työnkuvaus

Välineet:

Mittaviivotin

Mittanauha

Mikrometri

Teräslanka

Punnukset

Venymämittalaite

Taipumamittalaite

Taipumamittaus:

Taipumamittaus suoritettiin laitteella, jossa Lattametalli asetettiin kahden tukipisteen väliin. Lattametallia kuormitettiin lisäämällä punnuksia yksitellen. Taipumamittauslaitteella mitattiin lattametallin taipumat joka kuormalla erikseen. Mittaus toistettiin kolmesti mittalaitteiden mahdollisimman tarkan otannan vuoksi.

Venymämittaus:

Ensin mitattiin telineessä roikkuvan teräslangan pituus ja paksuus molemmista päistä. Sen jälkeen lankaa kuormitettiin lisäämällä yksitellen punnuksia, jonka jälkeen mitattiin kuinka paljon lanka venyi. Mittaus suoritettiin siis joka kerta kun painoa lisättiin.

Tulokset

Lattametallin mitat ja mittaustulokset

Pituus 600mm

Leveys (kolmesta kohdasta mitattuna) 25.00mm, 24.96mm, 24.96mm

Paksuus (neljästä kohtaa mitattuna) 2.98mm, 2.98mm, 2.99mm, 2.98mm

Sijoitetaan kaavaan esimerkkilukemat.

Kaavaa 2 käytten sijoitetaan Graphical analysis ohjelmasta saatu kulmakerroin k ja ratkaistaan kimmokerroin E :

Metallilangan mitat ja mittaustulokset:

Pituus 1402mm

Paksuus yläpää 29,8mm

Paksuus alapää 29,8mm

Sijoitetaan Graphical Analysis ohjelmasta saatu k kaavaan 5 jolloin saadaan ratkaistua kimmokerroin E. Muokataan kaava ensin muotoon. ja suoritetaan sijoitus.

Mittaustulokset syötettiin Graphical Analyzer ohjelmaan, jolla piirsimme kummankin mittausmenetelmän käyrät. Kimmokertoimet saatiin regressiosuorien kulmakertoimista.

Lattametalli: (0.0038865 0.0000059) mm/g

Metallilanka: (0.0011092 0.0000049) mm/g

Virhearviointi

Taipumamittaus:

Kaava 6.

Kaava 7.

a:n keskiarvon keskivirhe Da saadaan kaavasta, jossa a:n keskiarvo on

b:n virhe Db lasketaan samalla menetelmällä ja vastaukseksi saadaan 0.75*10^-5. Saadut luvut sijoitetaan kaavaan 7.

Pituuden l mittauksessa arvioimme mittavirheeksi Dl 0.5mm, kulmakertoimen virhe saatiin Graphical Analysis ohjelmasta

Kimmokertoimen virhe lasketaan sijoittamalla saadut arvot kaavaan 6.

E = Materiaalin kimmokerroin

I = Sauvan aksiaalinen pintamomentti

Venymämittaus:

langan pituus l = 1402mm

langan ylä- ja alapään halkaisija d = 29.8mm.

_{Kaava 8.}

_{Kaava 9.}

_{Kaava 10.}

_{Kaava 11.}

_{Kaava 12.}

_{Langan halkaisijan virheeksi Dd tulee 0, koska molemmat mittaukset antoivat saman tuloksen. Laskennalliselta kannalta asia ei ole kovinkaan merkittävä, mutta todellisuudessa tilanne ei voi näin olla. Tämä taas aiheuttaa sen, että myös DA on 0.}

_{Kaavoja yhdistelemällä päädytään sijoittamaan kaavaan 10 lukuarvot.}

Päätelmät

Lattametallin tapauksessa mittauksien laajan otoksen vuoksi voidaan olettaa, että tulos on lähellä aitoa. Riittävän monella mittauksella saadaan virhemäärät minimoitua ja tulokset lähenevät totuutta. Langan venymämittaus tehtiin vain kerran, joten tuloksiin ei ole niinkään suuri luottaminen. Kaiken kaikkiaan kuitenkin olettaisin, että laboraatio oli onnistunut. Pientä heittoa ilmeni lattametallin mittauksissa, koska mittalaitteisto oli hieman arveluttavassa kunnossa. Kuitenkin loppujen lopuksi saatiin suhteellisen lähellä toisiaan olevat mittaustulokset ja tyydyimme näihin.

Liitteet

Graphical Analysis ohjelman tulosteet 2 kpl. Etummaisessa lattametallin ja jälkimmäisessä metallilangan regressiosuorat.