DETERMINANTS

DETERMINANTS

1. INTRODUCTION.

Le point de départ de notre étude est le suivant :
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n rapporté à une base B et S=(v₁,…., v_n) un systÈme de n vecteurs de E définis par leurs composantes dans la base B . On a déjà étudié des techniques de détermination du rang par des manipulations sur la matrice représentant S dans B .
En particulier la méthode du pivot de Gauss nous ramÈne à une matrice triangulaire équivalente, de rang n si et seulement si aucun des coefficients diagonaux n’est nul.
Il est alors naturel de se demander s’il est possible de construire en marge de cette démarche une expression synthétique portant sur les composantes initiales des vecteurs de S et dont l’analyse permettrait de déterminer simplement si S est à son tour une base de E.
(On peut penser au produit des éléments de la diagonale de la matrice triangulaire obtenue)
Bien sÛr on aimerait que l’expression en question ne dépende que des composantes initiales des vecteurs de S, et non pas de la suite de manipulations exécutée.

On va voir que la réponse est positive mÊme s’il faudra nuancer le qualificatif ‘simple’ concernant les calculs à effectuer. Par contre le champ d’application de ces ‘déterminants’ dépassera trÈs vite l’objectif premier , on les mettra à profit pour l’inversion des matrices, la résolution des systÈmes linéaires, la théorie de la diagonalisation, dans les situations de la géométrie Euclidienne généralisée (orientation de l’espace, classification des isométries).
Il s’agit donc d’un outil extrÊmement riche mais dont la définition est un peu délicate à mettre en place. En effet si sur le plan théorique on ne fait que reprendre et améliorer d’une certaine maniÈre les idées de la méthode de Gauss, sur le plan pratique on est confronté à des problÈmes de notations quelquefois assez lourdes à gérer.
Aussi nous commencerons dans cette introduction à examiner la situation sur des espaces de petite dimension.

_ Pour n=1 le problÈme est vite réglé.
Soit B =(e₁) base d’une droite vectorielle E. Le systÈme S réduit au seul vecteur v₁=xe₁ est libre si et seulement si v₁ est non nul c’est à dire si x ¹0.
On appelle alors déterminant de S dans la base B la quantité det_B (v₁)=x.

_ Pour n=2.
Considérons un systÈme S=(v₁, v₂) de deux vecteurs de E exprimés dans la base B =(e₁, e₂)
suivant : v₁=xe₁+ye₂ et v₂=x’e₁+y’e₂.
a) Si x est non nul, la séquence transforme la matrice représentant S dans B en la forme triangulaire .

S sera alors libre si et seulement si la quantité xy’-x’y est non nulle.

b) Si x est nul et x’ différent de 0, un raisonnement symétrique en échangeant les deux vecteurs donne : S libre x’y-xy’ ¹ xy’-x’y ¹0

c) Enfin si (x, x’)=(0, 0) , les deux vecteurs de S sont multiples du mÊme vecteur e₂ et constituent donc un systÈme lié. Remarquons que dans ce cas xy’-x’y=0.

On définira donc naturellement ici le déterminant de S dans la base B comme l’élément de K
noté et représenté par : det_B (S)=xy’-x’y=
Ce qui précÈde établit l’équivalence entre la dépendance linéaire de S et l’annulation de son déterminant.

_ Pour n=3.
Soit B =(e₁, e₂, e₃) base de E et S=(v₁, v₂, v₃) systÈme dont la matrice représentative dans B est A=.
_ Si x non nul on effectue les manipulations sur colonnes suivantes :

Cette matrice est donc de rang 3 si et seulement si ses deux derniÈres colonnes forment un systÈme libre, ou encore, vu l’étude précédente appliquée dans le plan engendré par (e₂, e₃ ), si le déterminant D= est non nul.

_ Si x est nul mais qu’une des deux composantes x’ ou x’’ est différente de 0, un raisonnement analogue en permutant v₁ et v₂ ou v₁ et v₃ aboutit à la mÊme caractérisation de l’indépendance du systÈme.

_ Enfin si x=x’=x’’=0, les trois vecteurs de S sont combinaisons du mÊme systÈme (e₂, e₃ ) donc forment un systÈme lié par application du théorÈme fondamental de la dimension.
Remarquons que dans ce cas l’expression D ci dessus est nulle.

On définira donc ici le déterminant de S dans la base B comme la quantité D apparaissant dans cette étude. AprÈs calculs et regroupements adéquats on peut donner de D les expressions suivantes :

D=. (Développement dit suivant la premiÈre colonne)

D=

RÈgle dite de Sarus que l’on retient en comptant positivement les produits des termes des diagonales descendantes et négativement les produits des termes des diagonales ascendantes dans la matrice de Sarus :

2) FORMES MULTILINEAIRES ALTERNEES.

A) Vers une généralisation.
Il est facile de déceler des propriétés algébriques communes aux trois déterminants que nous avons défini précédemment.

_ Il s’agit d’applications f allant de Eⁿ vers K. (A tout systÈme S de n vecteurs de E on associe un scalaire f(S) )

_ Ces applications agissent de maniÈre linéaire sur chacun des vecteurs composant le systÈme S, les n-1 autres vecteurs étant fixés. (Propriété dite de multilinéarité)

Par exemple pour le déterminant d’ordre 3 considéré comme fonction de v₁ seul, les vecteurs v₂ et v₃ étant figés, on obtient une application K-linéaire de E vers K dont la matrice dans le couple de base (B , ) est

_ Pour n ³2 , l’échange de deux vecteurs du systÈme S transforme l’image f(S) en l’opposé de sa valeur. (Propriété dite d’alternance : )
La vérification est également immédiate sur les formules établies plus haut.

Ces traits communs nous suggÈrent la définition générale suivante, pour n ³

B)PremiÈres remarques.

Rappelons que les corps considérés sont supposés de caractéristique nulle, donc qu’en particulier : 1_K ¹ -1_K . (2.1_k ¹0_K)
_ Supposons f alternée et considérons un systÈme S=(v₁,…, v_n) tel que v_i=v_j pour un couple d’indices distincts.

La permutation de ces deux vecteurs au sein de S laisse donc S invariant, mais d’aprÈs l’alternance doit changer f(S) en son opposé.
On a donc nécessairement f(S)=- f(S) d’oÙ l’on tire 2f(S)=0_K , c’est à dire (1_K+1_K) f(S)=0_K.
On en déduit alors f(S)=0_K vu l’hypothÈse 2.1_K ¹0_K.

_ Réciproquement si f(S) s’annule dÈs que 2 vecteurs de S sont égaux, considérons deux indices distincts i <j et à partir d’un élément quelconque S de Eⁿ définissons les 4 systÈmes déduits chacun de S par les manipulations suivantes :

S_{(i, j)} obtenu par
S_i obtenu par
S_j obtenu par
S’ obtenu par

En faisant jouer la linéarité par rapport à chacune des deux variables d’indice i et j, on écrit la décomposition : f(S_{(i, j)})= f(S_i)+ f(S)+ f(S’)+ f(S_j).

Or f s’annule par hypothÈse sur les systÈmes S_{(i, j)}, S_i et S_j admettant chacun deux composantes identiques.
Il reste donc l’égalité f(S’)=- f(S) exprimant l’alternance de f dans l’échange des composantes d’ordre i et j.

2) Une forme n-linéaire alternée s’annule nécessairement sur tout systÈme lié.

En effet si S est lié, un des vecteurs de S pourra s’écrire comme combinaison linéaire des autres. Si on en déduit par linéarité de f par rapport à la variable d’ordre i et en utilisant les notations précédentes, la relation : f(S)==0
(f s’annule sur chacun des S_j dont les composantes d’ordre i et j égalent v_j)

On a donc bien là une piste pour la caractérisation qui nous préoccupe : une forme n-linéaire alternée f permet de conclure la liberté d’un systÈme S dont l’image f(S) est non nulle.

Subsistent deux interrogations essentielles :

_ Qu’en est-il de la réciproque : ( S libre Þ f(S)¹0 ) ?

_ Comment définir de telles formes sur un espace de dimension finie quelconque n et quel est l’éventail des constructions possibles.

Les réponses vont nous Être données par le théorÈme fondamental suivant, véritable clef de tout le chapitre.

C) ThéorÈme d’existence des déterminants.

Nous allons procéder par récurrence forte sur l’entier n.

_ Examinons le cas initial n=2. Avec les notations précédentes, si f est bi-linéaire alternée on pourra écrire :
Soit, en utilisant l’alternance :

On voit donc que f est nécessairement multiple du déterminant d’ordre 2 défini dans le paragraphe d’introduction et dont les caractÈres de multi-linéarité et d’alternance se vérifient immédiatement.
La condition f(B )=1_K donne effectivement pour f(S) la valeur xy’-x’y, ce qui assure la cohérence de l’appellation déterminant pour cette valeur 2.

_ Pour n=3 la tri-linéarité et l’alternance de f permet de mÊme de réduire le calcul de f(S) à:

f(S)= f(xe₁+ye₂+ze₃, x’e₁+y’e₂+z’e_3, x’’e₁+y’’e₂+z’’e₃)=xy’z’’f(e₁, e₂, e₃)+xz’y’’f(e₁, e₃, e₂) +
yx’z’’f(e₂, e₁, e₃)+yz’x’’f(e₂, e₃, e₁)+zx’y’’f(e₃, e₁, e₂)+zy’x’’f(e₃, e₂, e₁).

Soit en utilisant à nouveau l’alternance pour retrouver dans chaque cas l’image de la base ordonnée initialement :

f(S)=[xy’z’’+yz’x’’+zx’y’’-yx’z’’-xz’y’’-zy’x’’ ] f(e₁, e₂, e₃)

Ici aussi on retrouve les multiples des déterminants d’ordre 3 définis dans l’introduction et précisément le déterminant dans la base B si on impose la condition f(B )=1_K.

_ Etude de l’hérédité de la propriété étudiée.

Soit n un entier supérieur ou égal à 3. Nous ferons l’hypothÈse que le théorÈme est valable pour tout entier inférieur ou égal à n et nous allons essayer d’en déduire l’extension de ce résultat au rang n+1. Pour faciliter la rédaction introduisons les notations suivantes :

_ B =(e₁,….., e_n, e_n+1) la base de E en question dans le théorÈme.

_ Pour chaque indice i de  :

E_i désigne la somme directe des droites vectorielles engendrées par les vecteurs de B distincts de e_i a. B_i est la base de E_i obtenue en supprimant e_i de B , les autres vecteurs de B restant dans l’ordre initial.

q_i est la projection vectorielle sur E_i parallÈlement à la droite engendrée par e_i.

_ Pour chaque couple (i, j) d’indices distincts de  :

E_{(i, j)} est la somme vectorielle des droites engendrées par les vecteurs de B_i distincts de e_j
B _{(i, j)} est la base de E_{(i, j)} obtenue en éliminant le vecteur e_j de la base B_i , les autres vecteurs de B_i restant dans l’ordre initial.
Enfin x_{(i, j)} est le terme générique de la matrice A représentant le systÈme S=(v₁,…,v_n, v_n+1) dans la base B jI v_j=x_{(1, j)}e₁+x_{(2, j)}e₂+……+x_{(n+1, j)}e_n+1

Analyse . Si f est une forme répondant aux exigences du théorÈme, on doit avoir nécessairement, en faisant jouer la linéarité par rapport à la premiÈre variable, la décomposition : f(S)=
Ecrivons ensuite v₂=x_{(i, 2)}e_i+q_i (v₂). En utilisant la linéarité par rapport à la deuxiÈme variable on peut écrire .

Or le premier terme de cette somme est nul en tant qu’image par f d’un systÈme oÙ deux vecteurs sont identiques. Si on répÈte l’opération pour chacune des autres variables de S soit v₃,.., v_n+1 , on obtient : f(S) =
Considérons alors pour chaque indice i l’application f_i de E_iⁿ vers K définie par la formule :
f_i (w₁, w₂,…,w_n)=f(e_i ,w₁,w₂,…,w_n).

_ On voit immédiatement que la multi-linéarité de f entraine la linéarité de f_i par rapport à chacune de ses n variables.

_ Il est aussi clair que f_i s’annule sur tout systÈme dont deux des vecteurs sont identiques, ceci d’aprÈs l’alternance de f.

D’aprÈs l’hypothÈse de récurrence, f_i est donc multiple du déterminant dans la base B_i que nous noterons de maniÈre abrégée det_i , en tant que forme n-linéaire alternée sur l’espace E_i de dimension n. La constante multiplicative n’est autre que le scalaire a_i =f(e_i ,B_i ) d’aprÈs la spécification det_i (B_i )=1_K

Examinons cette constante. Il s’agit de l’image par f d’un systÈme formé par les vecteurs de la base initiale B , listés en désordre par rapport à l’agencement initial, sauf bien sÛr pour i=1.
a_i =f(e_i ,B_i )=f (e_i , e₁,…,e_i-1, e_i+1,…,e_n+1)

Pour retrouver l’ordre initial, il suffit d’échanger successivement le vecteur décalé en tÊte e_i avec chacun des i-1 vecteurs le suivant, soient e₁, e₂,…., e_i-1.

A chacune de ces transpositions élémentaires, la valeur de f est changée en son opposée, toujours d’aprÈs l’alternance de f. On obtient donc à terme : a_i =(-1)^{i –1}f(B )

Ainsi une forme n+1 linéaire alternée f sur E de dimension n+1 est nécessairement définie par une formule du type :

avec a=f(e₁,….,e_n+1).et det_i désignant rappelons le, le déterminant dans la base B_i de E_i.

SynthÈse. Reste à vérifier que l’application f définie comme précédemment avec a=1_K est bien effectivement n+1 linéaire alternée. Elle sera alors le déterminant d’ordre n+1 dans la base B de E dont toutes les formes n+1 linéaires alternées sur E sont effectivement multiples.

a) La multilinéarité est facile à prouver.

_ Pour l’établir par rapport à la premiÈre variable v₁, il suffit de remarquer que si v₂,…,v_n+1 sont fixés, les quantités b_i=(-1)^{i –1}det_i (q_i (v₂),…, q_i (v_n+1)) sont constantes et donc que l’application v₁ a f(v₁,….v_n+1) est une forme linéaire sur E dont la matrice dans le jeu de bases (B , (1_K)) n’est autre que la ligne L=

_ Pour la linéarité par rapport à la variable d’ordre j ¹1, remarquons que q_i étant linéaire (projecteur de l’espace E) et det_i étant linéaire par rapport à la variable d’indice j-1, l’application v_j a b_i=(-1)^{i –1}det_i (q_i (v₂),…,q_i(v_j ),…, q_i (v_n+1)) sera linéaire pour chaque i d’aprÈs le théorÈme de composition.

Les composantes x_{(i, 1)} étant ici constantes car v₁ fixé, l’application v_j a f(v₁,..,v_j ,..,v_n+1) est bien linéaire comme combinaisons de formes linéaires sur E.

b) Pour l’alternance.

La multilinéarité étant établie, on sait qu’il suffit de montrer l’annulation de f sur tout systÈme comportant deux vecteurs identiques.

_ Cela est évident si ces deux vecteurs sont d’indice distinct de 1, car dans ce cas chacun des b_i sera nul par alternance de det_i .

_ Si un des deux indices en question est 1, en utilisant le résultat précédent on pourra toujours se ramener au cas oÙ le second indice est 2. Reste donc à montrer que f s’annule si v₁=v₂.

Pour cela développons chacun des b_i comme nous l’avons fait initialement sur f dans l’analyse précédente en faisant jouer la linéarité par rapport à chacune des variables et l’alternance.
Il vient, en utilisant les notations précisées tout au début :

b_i=

Or pour chaque couple (i, j) avec i¹j, l’application g_{(i, j)} définie sur E_{(i, j)}^n-1 par la formule :
est de maniÈre évidente une forme n-1 linéaire alternée.
(Les propriétés de la forme n linéaire alternée det_i se répercutent immédiatement sur g_{(i, j)} g_{(i, j)} est donc par hypothÈse de récurrence un multiple du déterminant dans la base B_{(i, j)}.,
le coefficient multiplicatif n’étant autre que det_i (e_j , B_{(i, j)}).

Etudions ce scalaire suivant les positions relatives de i et j.

_ Si j >i det_i (e_j , B_{(i, j)})=
Il s’agit donc de l’image par le déterminant dans la base B_i d’un systÈme de vecteurs qui n’est autre que ceux de cette mÊme base B_i mais listés en désordre par rapport à la situation initiale.
Pour retrouver cet ordre originel il suffit d’échanger successivement le vecteur en tÊte e_j avec chacun des j-2 vecteurs e₁,…,e_j-1 précédant e_j+1.
Vu l’alternance de det_i on obtient donc à terme l’expression : det_i (e_j , B_(i,j))=(-1)^j-2.

_ Si j <i det_i (e_j , B_{(i, j)})=

Ici j-1 transpositions élémentaires seront nécessaires pour amener e_j à sa bonne place dans la base B_i . On aura alors det_i (e_j , B_(i,j))=(-1)^j-1. Ainsi l’expression de f(S) peut se décomposer :



Puisque par hypothÈse v₁=v₂ , l’expression précédente peut s’écrire S₁+S₂ avec :

S₁ la somme des correspondant aux couples de T₁=

S₂ la somme des correspondant aux couples de T₂=

T₁ étant en bijection avec T₂ par la correspondance (i, j) a(j, i) , il est facile d’en déduire l’égalité S₂=-S₁

Ainsi on a bien vérifié que f s’annule sur S pour lequel les deux premiers vecteurs coÃ�ncident, ce qui achÈve la démonstration.

D) Conséquences.

1) Application à l’étude de l’indépendance d’un systÈme.
Comme premiÈre conséquence de ce théorÈme nous pouvons maintenant énoncer la caractérisation complÈte de l’indépendance linéaire pour un systÈme de n vecteurs.

_ On savait déjà que le déterminant dans B s’annule sur tout systÈme lié et donc que S est libre si son déterminant dans B est non nul.

_ Réciproquement, supposons S libre, donc base de E car son cardinal coÃ�ncide avec la dimension de cet espace.
Le déterminant dans S est alors une forme n-linéaire alternée sur E qui est donc multiple du déterminant dans B par un scalaire a d’aprÈs le théorÈme fondamental.
(a n’étant autre que le déterminant de B dans S)

En particulier on peut écrire 1_K=det_S(S)=adet_B (S) et par suite le déterminant dans B de S est non nul.

2) Formule du changement de base. Notation quotient.

Si B et B sont deux bases du K-espace E, le théorÈme fondamental montre que le déterminant dans B est égal au produit du déterminant dans B par le scalaire a qui n’est autre que le déterminant de B dans B .
(C’est le schéma que l’on a appliqué ci dessus au couple (B ,S) ).

Cette formule de passage est plus commode à écrire et à mémoriser si on utilise la notation dite ‘quotient’ dans laquelle on écrira pour désigner le déterminant de S dans B.
On rencontre aussi la version .
La proportionnalité se traduit alors par la relation : Pour tout systÈme S de n vecteurs de E

ou par

On en déduit en particulier en prenant S=B₂ que les déterminants et sont inverses l’un de l’autre.

3) Inversibilité d’une matrice carrée.

Si A est un élément de M_n(K), son rang est celui du systÈme S de ses n vecteurs colonnes considérés comme vecteurs de E=Kⁿ décomposés dans la base canonique B de cet espace.

D’aprÈs le théorÈme fondamental on peut donc dire que A est de rang n, ou encore est inversible, si et seulement si le déterminant de S dans B est non nul.
Ce déterminant sera appelé naturellement déterminant de la matrice A et est noté det(A).

L’intervention de cette notation permet de formuler de façon plus pratique la relation de définition par récurrence des déterminants généraux.

En effet le déterminant d’ordre n noté dans la démonstration :
n’est autre que le déterminant de la matrice carrée A_i obtenue à partir de A en supprimant la premiÈre colonne et la ligne d’indice i.
La construction se résume alors à : 

Formule dite du développement suivant la premiÈre colonne de A.

4) Déterminant d’un endomorphisme.

Soit u un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension n et B une base de E.

On vérifie trÈs facilement que l’application de Eⁿ vers K définie par :
S=(v₁,….,v_n) a avec u(S)=(u(v₁),…., u(v_n)) , est une application n-linéaire alternée donc est multiple du déterminant dans la base B. Le coefficient multiplicatif sera le scalaire c’est à dire le déterminant de la matrice A représentant u dans la base B.
Pour tout systÈme S on a donc la relation a (1)

Examinons l’influence d’un changement de base. Si on repÈre maintenant l’espace E à l’aide d’une nouvelle base B’, on sait que le déterminant dans B’ d’un systÈme quelconque s’obtient en multipliant le déterminant dans B de ce mÊme systÈme par la constante a=

En multipliant par a les deux termes de l’égalité précédente (1) on obtient alors :

Pour tout systÈme S de n vecteurs de E :

En prenant S=B’ on en déduit que det(A)=det(A’) avec A’ matrice représentant u dans B’.

Le déterminant de la matrice A représentant initialement u n’est donc pas affecté par le changement de base effectué. Il s’agit d’un invariant, au mÊme titre que la trace de la matrice, c’est une constante attachée à l’endomorphisme u et que l’on appellera donc naturellement déterminant de cet endomorphisme. (notation det(u) )

La caractérisation : A matrice carrée inversible det(A) ¹0 se traduit alors par :

l’endomorphisme u est bijectif det(u) ¹0 .

La relation de proportionnalité (1) se transcrit alors simplement : Pour tout élément S de Eⁿ et

toute base B de E on a l’égalité

5) Déterminant d’un produit.

D’aprÈs ce qui précÈde, si u et v sont deux endomorphismes de E et B une base de cet espace, on peut écrire : det(vu)=

Le déterminant d’un composé est donc le produit des déterminants. det(vu)=det(v).det(u)

L’application de L_K(E) vers K qui à chaque endomorphisme associe son déterminant est donc un morphisme de la loi vers la loi produit dans K.

Comme on a vu que u était inversible si et seulement si det(u) ¹0, l’application u adet(u) apparait comme un morphisme du groupe ( GL_K(E),) vers le groupe multiplicatif (K-, . )

On retrouve ainsi en particulier det(I_E)=1_K et uI GL_K(E) :

6) Inversion d’un automorphisme.
Soit u un automorphisme de E de matrice représentative A dans la base B.
Pour tout vecteur y de E, u^-1(y)=x y=u(x)

On va voir que la théorie des déterminants permet d’expliciter facilement les coordonnées de l’antécédent x de y à partir de celles de y.
Posons . Par linéarité de u il vient : .

Notons alors S le systÈme image et pour chaque indice i de désignons par S_{(i, y)} le systÈme obtenu à partir de S en remplaçant le vecteur u(e_i) par y.

Notons enfin S_{(i, j)} le systÈme obtenu toujours à partir de S en remplaçant u(e_i) par u(e_j)

D’aprÈs la linéarité du déterminant dans B par rapport à la variable d’indice i on peut écrire la décomposition :
Or S_{(i, j)} est un systÈme dont les composantes vectorielles d’indice i et j sont identiques, son déterminant dans B sera donc nul pour i ¹j d’aprÈs la propriété d’alternance.

Le seul terme non nul de la somme précédente est donc celui d’indice j=i. Remarquons alors que S_{(i, i)} n’est autre que le systÈme initial S dont le déterminant dans B est, par définition, le déterminant de l’automorphisme u.
On en déduit la relation : iI :

Ces formules exprimant les coordonnées de l’antécédent x de y par u sont dites de Cramer.

On peut en donner une expression plus pratique en faisant appel à la matrice A représentant u dans la base B.
En effet le numérateur apparait alors comme le déterminant de la matrice carrée obtenue à partir de A en remplaçant la colonne d’indice i par la colonne des composantes de y dans B.

Si on note A_(i,y) cette matrice, on obtient finalement : i I :

3) TECHNIQUES DE CALCUL DES DETERMINANTS.

Pour l’instant le seul mode de calcul à notre disposition est la formule dite du développement suivant la premiÈre colonne, qui nous a servi à établir le théorÈme fondamental.
On va voir dans ce paragraphe qu’il existe d’autres techniques d’évaluation, générales comme le développement suivant une colonne ou une ligne quelconque, ou adaptées à des configurations particuliÈres (matrices triangulaires, ou matrices définies par blocs).
La connaissance de ces méthodes n’est pas indispensable, surtout depuis l’essor des logiciels de calcul formel, mais permet souvent de conduire plus efficacement le développement ou la factorisation des déterminants étudiés.
Elle aide aussi sur le plan théorique à renforcer la compréhension de la transposition des matrices.

Les notations seront celles développées dans la démonstration du théorÈme fondamental.
S systÈme de n vecteurs v_j de E représenté dans la base B par la matrice A de coefficient générique x_{(i, j)}

A) Développement suivant une colonne quelconque.

Nous écrirons ici simplement det pour parler du déterminant dans la base B.

Soit jI. Echangeons successivement le vecteur v_j de S avec chacun des j-1 vecteurs le précédant au sein de ce systÈme. On obtient à terme un nouveau systÈme S’ tel que, vu la propriété d’alternance : det(S)=(-1)^j-1det(S’).

Remarquons d’abord que la matrice A’ représentant S’ dans B est obtenue en portant en tÊte la colonne d’indice j, les autres colonnes restant dans l’ordre initial.
Supprimer la premiÈre colonne de A’ revient donc à supprimer la colonne d’indice j de A.

Développons alors le déterminant de S’ suivant la premiÈre colonne.
det(S’)= , avec pour A_i’ la matrice carrée d’ordre n-1obtenue à partir de A’ en supprimant la premiÈre colonne et la ligne d’indice i.

Vu la remarque faite ci dessus, A’_i =A_{(i, j)} avec A_{(i, j)} matrice d’ordre n-1 obtenue à partir de A en supprimant la colonne d’ordre j et la ligne d’indice i.

Comme (-1)^{j –1}.(-1)^{i –1}=(-1)^i+j , on obtient la formule de développement suivant la colonne j :



B) Développement suivant la premiÈre ligne.
Considérons l’application f de Eⁿ vers K qui à tout systÈme S représenté par A dans B fait correspondre le scalaire , avec A_{(1, j)} désignant comme précédemment la matrice d’ordre n-1 obtenue en éliminant de A la premiÈre ligne et la colonne d’indice j.
Montrons que f est n-linéaire alternée.

_ Linéarité par rapport à la variable d’ordre k.

a Pour j ¹k le coefficient x_{(1, j)} est figé et le déterminant de A_{(1, j)} dépend linéairement du vecteur v_k de S .

En effet det(A_{(1, j)})=det(q₁(S_j)) avec pour S_j le systÈme obtenu en supprimant de S le vecteur v_j et q₁ la projection définie par : x₁e₁+….+x_ne_n ax e +…+x_ne_n , le déterminant étant évalué dans la base B₁ =(e₂,…,e_n).

a Pour j=k. c’est le déterminant de A_{(1, k)} qui est alors figé, puisque la colonne représentant la composante variable v_k a été éliminée. Par contre le coefficient x_{(1, k)} premiÈre composante de v_k dans B dépend linéairement de ce vecteur v_k.

_ Alternance.
Supposons que v_l=v_k pour l <k.

Les matrices A_{(1, j)} ont donc deux colonnes identiques pour j et sont donc de déterminant nul. Il reste donc f(S)=(-1)^l+1x_{(1, l)}det(A_{(1, l)})+(-1)^k+1x_{(1, k)}det(A_{(1, k)})

Examinons ces deux déterminants résiduels.

Si on note C₁,C₂,,C_n les colonnes de A privées du coefficient relatif à la premiÈre ligne on a :
det(A_{(1, l)})=det(C₁,C₂,…,C_l-1,C_l+1,…C_k-1,C_k…….,C_n)
det(A_{(1, k)})=det(C₁,C₂, ,C_l-1,C_l ,……,C_k-1,C_k+1,….,C_n)

On passe donc puisque C_l=C_k de la premiÈre matrice à la seconde en échangeant successivement la colonne C_k avec chacune des k-l-1 colonnes la précédant.

Vu l’alternance, on en conclÛt : det(A_{(1, k)})=(-1)^k-l-1det(A_{(1, l)}) et par suite f(S)=0 puisque les coefficients x_{(1, l)} et x_{(1, k)} coÃ�ncident.

D’aprÈs le théorÈme fondamental il existe donc un scalaire a tel que pour tout systÈme S on ait la relation de proportionnalité : f(S)=adet(S)=adet(A).

Or pour S=B on trouve A=I_n et de maniÈre évidente f(B)=1.det(I_n-1)=1
Ainsi a=1 et f coÃ�ncide avec le déterminant dans la base B sur tout systÈme S.

On a donc une formule de développement d’une matrice carrée suivant la premiÈre ligne analogue à celle du développement suivant la premiÈre colonne.



(avec A_{(1, j)} déduite de A par suppression de la premiÈre ligne et de la colonne d’indice j.)

Cette relation va jouer un rôle clef dans le théorÈme suivant concernant le déterminant d’une matrice transposée.
C) Déterminant d’une transposée.

La démonstration s’effectue ici par récurrence sur l’ordre n de la matrice.

_ Pour n £3 la vérification est immédiate en examinant les formules explicitant les déterminants correspondants.

_ Supposons la propriété vraie pour un entier n donné et considérons une matrice carrée A d’ordre n+1 de terme générique a_{(i, j)} et sa transposée B=^tA de coefficient général b_{(i, j)}=a_{(j, i)}.
Evaluons le déterminant de B en développant suivant la premiÈre ligne.

Or b_{(1, j)}=a_{(j, 1)} et B_{(1, j)} est la matrice obtenue en éliminant de B=^tA la premiÈre ligne et la colonne d’ordre j , c’est à dire en fait la transposée de la matrice A_{(j, 1)} obtenue en supprimant de A la premiÈre colonne et la ligne d’ordre j.

Par hypothÈse de récurrence on peut donc dire que : j I det(B_{(1, j)})=det(A_{(j, 1)})
Ainsi on obtient . Mais ceci n’est autre que la formule du calcul du déterminant de A suivant la premiÈre colonne. On a donc bien établi que le théorÈme s’étend à l’entier suivant n+1 : det(^tA)=det(A) pour A carrée quelconque d’ordre n+1.
Ceci achÈve la démonstration.

Les manipulations de type Gauss sur les colonnes vont donc se traduire par des manipulations analogues sur les lignes avec les mÊmes conséquences liées aux caractÈres de multilinéarité et d’alternance des déterminants. En résumé :



D) Développement suivant une ligne quelconque.

Vu le résultat sur la transposition, la formule du développement du déterminant suivant une colonne d’indice quelconque se traduit immédiatement, si on l’applique à la transposée d’une matrice donnée A, par une formule analogue dite de développement suivant une ligne :

i I
A_{(i, j)} désignant toujours la matrice carrée d’ordre n-1 obtenue à partir de A en supprimant la ligne d’indice i et la colonne d’indice j.

E) Déterminant d’une matrice triangulaire.

Vu le théorÈme sur la transposée il suffit en fait de traiter le cas d’une matrice triangulaire supérieure.
Ici encore une récurrence sur l’ordre n de la matrice donne facilement le résultat.

_ Pour n £3 les vérifications sont immédiates sur les formules de calcul.

_ Supposons la propriété vraie pour un entier n et examinons une matrice triangulaire supérieure A d’ordre n+1 de coefficient générique a_{(i, j).}

En développant son déterminant suivant la premiÈre colonne, la formule se résume en fait à :
det(A)=a_(1,1)det(A_(1,1)) avec pour A_(1,1) la matrice carrée d’ordre n obtenue en supprimant la premiÈre ligne et la premiÈre colonne de A.
A_(1,1) étant de maniÈre évidente aussi triangulaire supérieure, son déterminant sera par hypothÈse de récurrence le produit de ses éléments diagonaux principaux.
Ainsi det(A)=a_(1,1).a_(2,2)…….a_(n+1,n+1)

Le théorÈme est donc bien encore vérifié pour le rang suivant n+1, ce qui termine la preuve par récurrence.

F) Déterminant d’une matrice définie par blocs.

Toute matrice carrée M d’ordre n+p peut Être considérée dans sa représentation sous forme de tableau comme la juxtaposition de quatre sous tableaux appelés blocs définis comme suit :

_ A IM_n(K) formé des termes m_{(i, j)} tels que i £n et j £n.

_ B IM_p(K) formé des termes m_{(i, j)} tels que n <i £n+p et n <j £n+p.

_ T I M_{(p, n)}(K) formé des termes m_{(i, j)} tels que n <i £n+p et j £n.

_ S IM_{(n, p)}(K) formé des termes m_{(i, j)} tels que i £n et n <j £n+p.

On peut écrire en abrégé

Ici encore, grace au résultat sur la transposition il suffit de traiter le cas oÙ T est nul.
La démonstration s’effectue alors facilement par récurrence sur n.

_ Pour n=1, il s’agit simplement de la formule du développement suivant la premiÈre colonne.

_ Si le résultat est supposé vrai pour un entier donné n (et sous-entendu pour un entier p quelconque), considérons M d’ordre n+1+p décomposée en blocs comme indiqué plus haut mais avec A carré d’ordre n+1 et T identiquement nul.

En développant det(M) suivant la premiÈre colonne on obtient alors avec les notations usuelles :
Or pour chaque indice i la matrice M_(i,1) peut se décomposer en blocs sous la forme :
avec S_i déduit de S par suppression de la ligne d’indice i.

D’aprÈs l’hypothÈse de récurrence on peut donc écrire det(M_(i,1))=det(A_(i,1)).det(B) et par suite
soit encore det(M)=det(A).det(B).
L’hérédité du principe de calcul est donc vérifiée, ce qui achÈve la preuve par récurrence.

Déterminants. Exercices.

Exprimer sous forme de produits de facteurs élémentaires les déterminants :

Montrer que les déterminants suivants sont des polynômes de la variable x et déterminer leurs racines :

Factoriser les déterminants suivants :

On considÈre la matrice avec a paramÈtre réel.
Déterminer les valeurs de a pour lesquelles A est inversible et exprimer dans ce cas A^-1 en utilisant les formules de Cramer.

On considÈre la matrice à coefficients réels
Examiner le produit ^tM.M . Que peut on en déduire au sujet du déterminant de M ?

Factoriser le déterminant :

Montrer que tout endomorphisme f d’un plan vectoriel E satisfait toujours à la relation dite de Cayley-Hamilton : f ²-trace(f).f + det(f).I_E=0

Calculer le déterminant de la matrice carrée A d’ordre n dont tous les coefficients sont égaux au scalaire a exceptés les termes de la diagonale principale prenant tous la valeur x.

On considÈre les deux matrices avec racine cubique de l’unité. Examiner le produit AB puis en déduire une expression factorisée du déterminant de la matrice A.

On considÈre le polynôme
Montrer que P(X) peut s’interpréter comme le déterminant de la matrice carrée A d’ordre n+1 définie comme suit :

_ La premiÈre ligne est formée des coefficients du polynôme, listés dans l’ordre des degrés décroissants, soit : a_n , a_n-1,….., a₁, a₀.

_ La ligne d’ordre i >1 a son coefficient diagonal égal à X, son terme d’indice colonne i-1 égal à –1, et tous les autres coefficients nuls.

Soit S=(a₁, a₂,….., a_n) un systÈme de n réels donnés.
Calculer le déterminant de la matrice carrée M d’ordre n dont la ligne d’indice i quelconque est définie comme suit :

_ Les i premiers coefficients sont tous égaux à a_i..
_ Les n-i termes suivants sont, dans l’ordre initial, les n-i derniers termes du systÈme S.

Par exemple : L₃=( a₃, a₃, a₃, a₄, a₅,…..,a_n )

Déterminants bordants.
B=(e₁,…., e_n) désigne une base d’un K-espace vectoriel E.

On note pour chaque i de , p_i la projection sur la droite engendrée par e_i parallÈlement à l’espace E_i engendré par les vecteurs de B distincts de e_i.

Soit k est un entier fixé strictement inférieur à n. On note q=p₁+p₂+…..+p_k la projection sur Vec_K(e₁,…,e_k) parallÈlement à Vec_K(e_k+1,…,e_n)
On considÈre enfin un systÈme S=(v₁,….., v_k) de k vecteurs de E tel que son image par q soit un systÈme libre.

Montrer qu’un vecteur quelconque w de E appartient au sous-espace engendré par S si et seulement si chacun des n-k déterminants suivants d’ordre k+1 est nul :
i I désigne le déterminant dans la base B_i= (e₁,…,e_k ,e_i ) du systÈme
S_i=(q(v₁)+p_i(v₁),…., q(v_k)+p_i(v_k), q(w)+p_i(w) )

Déterminant de Vandermonde.

A tout systÈme S=(x₁,…., x_n) de n scalaires (n ³2) on associe le déterminant D_n d’ordre n de la matrice A de coefficient générique a_{(i, j)}=(x_i)^j-1
Etablir par récurrence sur l’entier n la formule :

Déterminant fonction d’une variable réelle.

On note D(x) le déterminant de la matrice carrée A(x) d’ordre n dont le coefficient générique d’indice ligne i et colonne j est a_{(i, j)}(x) avec a_{(i, j)} fonction définie sur un intervalle I de R à valeurs dans R. (Fonctions dites composantes).

a) Montrer que si chacune des fonctions composantes est continue sur I, alors la fonction
x aD(x) est aussi continue sur I.

b) Montrer que si les fonctions composantes sont toutes dérivables sur I, D se dérive sur I par addition des n déterminants obtenus en remplaçant successivement chacune des colonnes de la matrice A(x) par celle des dérivées des fonctions la composant.

Dérivée d’un déterminant.
Les notations sont celles de l’exercice précédent.

a) On note O(h) une matrice carrée d’ordre n dont les coefficients sont des fonctions composantes négligeables devant h en 0. Montrer que pour toute matrice carrée A d’ordre n à coefficients indépendants de h, on a au voisinage de 0 : det(A+O(h))=det(A)+o(h)

b) En déduire, toujours au voisinage de 0 : det(I_n+h.A+O(h))=1+trace(A).h+o(h)

c) Si toutes les fonctions composantes de la matrice A(x) sont dérivables et si A(x) est inversible quelque soit x de l’intervalle I, déduire de ce qui précÈde la formule de
dérivation :

Soit A IM_n(K) et . On construit à partir d’elles la matrice C de M_2n(K) définie par blocs suivant le schéma :
Montrer que det( C)=(det(A))².(det(B))ⁿ

(On pourra faire apparaitre un carré inférieur d’ordre n nul afin d’appliquer le principe de calcul du déterminant par blocs)

Soit N une matrice carrée d’ordre n nilpotente.

a) Montrer que N est semblable à une matrice triangulaire supérieure dont tous les éléments diagonaux sont nuls. On pourra procéder par récurrence sur l’ordre de nilpotence de N c’est à dire le plus petit entier k tel que N ^k=0.

b) En déduire que pour une telle matrice on a det(I_n+N)=1.

c) Soit N nilpotente et A une matrice carrée inversible de mÊme taille et commutant avec N . Montrer en utilisant ce qui précÈde que det(A+N)=det(A).

Soit f un endomorphisme d’un C-espace vectoriel E de dimension n tel que f ³-I_E soit non injectif. Montrer qu’il existe un nombre complexe a tel que f-aI_E soit non injectif.

Calculer le déterminant de la matrice carrée T_n d’ordre n dont la ligne d’indice i quelconque n’est autre que la ligne d’ordre i du triangle de Pascal complétée par des zéros et privée de son dernier terme pour la derniÈre ligne .

iI j I t_{(i, j)}= et j >i+1 t_{(i, j)}=0
j I t_{(n, j)}=

Calculer le déterminant D_n de la matrice d’ordre n dont tous les coefficients sont égaux à 1 sauf ceux de la diagonale principale listés de haut en bas suivant la série des entiers successifs : 2, 3,…, n, n+1.

Exercices sur les Déterminants. Solutions.

Convention générale : Pour simplifier la rédaction, chaque fois qu’une manipulation de type Gauss conduit à la mise en facteur d’un scalaire l dans une colonne ou une ligne, nous ne mentionnerons pas la factorisation évidente de l dans le déterminant étudié déduite de la multilinéarité.

Pour le premier déterminant, les manipulations sur colonnes conduisent d’abord à

On conclut par
Pour le deuxiÈme on peut commencer par la séquence
On poursuit avec soit, en développant suivant la derniÈre ligne :

a) La séquence amÈne la forme triangulaire
b)
c)

conduit à la factorisation :
.

On termine en développant suivant la premiÈre colonne, ce qui donne :
2(cos(y)-cos(x))(cos(z)-cos(x))(cos(z)-cos(y))

b) conduit à la forme triangulaire :
c’est à dire à la forme factorisée :


c) conduit à l’expression :

La séquence donne det(A)=
A est donc inversible si et seulement si a est différent de .
On peut alors déterminer A^-1 grace à l’équivalence :
Les formules de Cramer permettent d’exprimer le triplet (x, y, z) en fonction de (x’, y’, z’):

et de mÊme.
Ce qui donne pour inverse de A la matrice :

Un calcul élémentaire donne ^tM.M=(a²+b²+c²+d²)I₄.
On en déduit det(^tM).det(M)= (a²+b²+c²+d²)⁴ d’aprÈs la rÈgle du produit,
puis (det(M))²= (a²+b²+c²+d²)⁴ grace au théorÈme sur le déterminant d’une transposée.
Ainsi det(M)= (a²+b²+c²+d²)² puisque les coefficients sont supposés réels.

Remarquons alors que si (b, c, d) est un triplet donné fixé, le déterminant de M considéré comme fonction de la variable a seule est un polynôme de degré 4 de terme dominant a⁴.
Il suffit pour s’en assurer de considérer les monômes obtenus en développant ce déterminant suivant la premiÈre colonne.
(Plus généralement on peut montrer facilement par récurrence que si AIM_n(K), la fonction
x a det(A+xI_n) est un polynôme de terme dominant xⁿ)

On en déduit finalement la relation det(M)= (a²+b²+c²+d²)².

On peut par exemple faire apparaitre des 0 sur la premiÈre ligne et la premiÈre colonne grace aux manipulations : puis
, ce qui donne
Soit en développant: qui se factorise facilement en –(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)

Soit A= une matrice carrée quelconque d’ordre 2 à coefficients dans K.
On a immédiatement A²=
Posons t=trace(A)=a+d et D=det(A)=ad-bc.

Il vient alors a²+bc=a(a+d)+bc-ad=ta-D et d²+bc=d(d+a)+bc-ad=td-D.

Ainsi on a A²==t.A-D.I₂
Tout endomorphisme f d’un plan vectoriel E vérifie donc bien la relation de Cayley :

f ²-trace(f).f +det(f).I_E=0.

Commençons par remplacer C₁ par la somme C₁+C₂+….+C_n. La premiÈre colonne est alors formée de coefficients tous égaux à x+(n-1)a ce qui nous permet d’écrire
det(A)=[x+(n-1)a]det(B) avec B identique à A sauf pour ce qui concerne sa premiÈre colonne dont tous les termes sont maintenant égaux à 1.

Soustrayons alors la premiÈre ligne de B à chacune des n-1 lignes suivantes de B.
B est ainsi transformée en une matrice triangulaire supérieure dont tous les termes diagonaux égalent x-a. On peut donc conclure det(A)=[x+(n-1)a](x-a)^n-1

Un calcul élémentaire donne

A.B= avec s, s’, s’’ sommes définies par s=a+b+c ; s’=a+jb+j²c ; s’’=a+j²b+jc. ( ceci d’aprÈs j³=1)

On en déduit d’aprÈs la rÈgle du produit et la multilinéarité du déterminant, la relation det(A).det(B)=s.s’.s’’.det(B).
Or le déterminant de B n’est pas nul, on obtient sa valeur rapidement en remplaçant par exemple sa premiÈre colonne par la somme des trois, ce qui donne vu l’égalité classique 1+j+j²=0 : det(B)=
Ainsi det(A)= s.s’.s’’=(a+b+c).(a+jb+j²c).( a+j²b+jc).

La démonstration s’effectue facilement par récurrence sur le degré n du polynôme.

_ Pour n=0 et n=1 la vérification est immédiate.

_ Supposons la propriété vraie pour tout polynôme de degré au plus n et examinons un polynôme P(X) de degré n+1,.soit : .

Développons suivant la premiÈre colonne le déterminant supposé reconstituer P(X) selon les données de l’énoncé. On obtient det(A_n+1)=a_n+1det(T_n)-(-1)det(A_n) avec pour T_n une matrice triangulaire inférieure d’ordre n+1 dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à X et A_n matrice carrée d’ordre n+1 dont le déterminant coÃ�ncide, d’aprÈs l’hypothÈse de récurrence, avec a₀+a₁X+….+a_nXⁿ. On en déduit donc bien : det(A_n+1)=a_n+1 X ⁿ⁺¹+ a₀+a₁X+….+a_nXⁿ=P(X) ce qui achÈve la récurrence.

Effectuons sur les colonnes de la matrice donnée M la série de manipulations suivante :
Dans chaque colonne d’indice j+1 >1 les termes au dessus de la diagonale principale sont tous égaux à a_j+1-a_j et ceux sur ou en dessous de cette diagonale sont nuls.
On peut donc écrire d’aprÈs la multilinéarité :

det(M)=, avec pour A une matrice d’ordre n dont la premiÈre colonne n’est autre que celle de M et pour laquelle toute colonne d’indice j >1 est formée de 1 au dessus de la diagonale principale tandis que ses autre termes sont nuls.

En développant det(A) suivant la derniÈre ligne, dont seul le premier coefficient a_n est non nul, on obtient det(A)=(-1)ⁿ⁺¹a_ndet(T) avec pour T une matrice triangulaire supérieure d’ordre n-1 dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1.
En conclusion : det(M)=(-1)ⁿ⁺¹a_n.(a_n-a_n-1).(a_n-1-a_n-2)……(a₂-a₁)=

_ Si w appartient au sous-espace engendré par S, on pourra donc l’écrire comme combinaison linéaire w=a v a_kv_k. Il s’ensuit par linéarité que pour tout indice i >k on aura q(w)+p_i(w)=a (q+p_i)(v₁)+…..+a_k(q+p_i)(v_k) , d’oÙ l’on déduit que D_i est nul en tant que déterminant d’un systÈme lié.

_ Réciproquement, supposons chacun des n-k déterminants D_i nuls.

Pour un indice i >k donné, le vecteur (q+p_i)(w) est donc combinaison linéaire du systÈme
S_i=( (q+p_i)(v₁),……,(q+p_k)(v_k) ).

En effet, l’image par q de ce systÈme, soit (q(v₁),….,q(v_k)) est libre par hypothÈse. Il s’ensuit que S_i est nécessairement libre. Or la matrice représentant S_i dans B_i est formée des k premiÈres colonnes de la matrice de déterminant D_i. Cette matrice d’ordre k+1 de déterminant nul et dont les k premiÈres colonnes forment un systÈme libre est donc de rang k et sa derniÈre colonne sera combinaison des k premiÈres. On peut donc écrire l’égalité :

(1) .

En appliquant l’endomorphisme q à cette égalité on en déduit la relation (2) :

(2) car qp_i=0 et qq=q

Ainsi le coefficient ne dépend pas de l’indice i car il n’est autre que la composante a_j sur q(v_j) de q(w) dans la base (q(v₁),….,q(v_k) ). En revenant à l’égalité (1) on en déduit alors par différence, la relation p_i(w)=a p_i(v₁)+……+a_kp_i(v_k)

Enfin, en additionnant (2) avec les n-k égalités précédentes pour i variant de k+1 à n on obtient finalement w=a v a_kv_k qui assure l’appartenance de w au sous-espace engendré par S.

Démonstration par récurrence sur n.
_ Pour n=2 résultat évident :

_ Supposons la propriété vraie pour un entier n ³2 et examinons un déterminant de Vandermonde D_n+1 d’ordre n+1.

Transformons d’abord chacune des n premiÈres lignes L_i en L_i -L_n+1.
La premiÈre colonne voit alors tous ses termes nuls sauf le dernier égal à 1.

En développant suivant cette colonne on obtient donc D_n+1=(-1)ⁿ⁺²det(A_n) avec A_n carrée d’ordre n dont le terme générique est a_{(i, j)}=(x_i)^j-(x_n+1)^j.

En utilisant la linéarité suivant chaque ligne on peut alors ‘sortir’ du déterminant de A_n chacune des différences x_n+1-x_i .
Ceci conduit à , avec pour coefficient générique de B_n :
b_{(i, j)}=

Effectuons alors la séquence de remplacement : , pour j variant en décroissant de n à 2. Le terme générique de la ligne i pour j ³2 devient alors :

La premiÈre colonne de B_n ne comportant que des 1, det(B_n) est donc un déterminant de Vandermonde d’ordre n relatif à la suite d’indéterminées x₁,….,x_n.

Par hypothÈse de récurrence on peut donc écrire det(B_n)= , et par suite :
D_n+1=, ce qui justifie l’extension de la formule de calcul à l’ordre n+1.

a) Démonstration facile par récurrence sur n.
_ Pour n=2 D(x)= définit évidemment une fonction continue sur l’intervalle I d’aprÈs les théorÈmes sur la somme et le produit de fonctions continues sur un intervalle.

_ Supposons la propriété vraie pour un entier n ³2 et examinons un déterminant fonctionnel D(x)=det(A(x)) d’ordre n+1. En le développant suivant la premiÈre colonne on obtient la formule classique : D(x)=
A_i(x) désignant la matrice d’ordre n obtenue à partir de A(x) en supprimant la premiÈre colonne et la ligne d’indice i.
D’aprÈs l’hypothÈse de récurrence, la fonction D_i définie sur I par D_i(x)=det(A_i(x)) est donc continue sur tout cet intervalle et ceci pour tout i de .
D est donc bien continue sur I comme combinaison linéaire de produits de fonctions continues.

b) Ici aussi récurrence sur n.

_ Pour n=2 [a_(1,1).a_(2,2)-a_(1,2).a_(2,1)]’=a’_(1,1).a_(2,2)-a’_(1,2).a_(2,1) +a_(1,1).a’_(2,2)-a_(1,2).a’_(2,1)
Ceci d’aprÈs les rÈgles de dérivation des produits et sommes de fonctions dérivables.
On obtient bien la technique de dérivation annoncée.

_ Supposons la propriété vraie à l’ordre n et examinons avec les notations du a) un déterminant D(x) fonctionnel d’ordre n+1. La formule de développement employée plus haut montre que D est dérivable sur I suivant la formule :
D’(x)=
La premiÈre somme est le développement suivant la premiÈre colonne du déterminant de la matrice obtenue en remplaçant la premiÈre colonne de A(x) par celle des dérivées des fonctions composantes la constituant. Etudions la deuxiÈme somme.

D’aprÈs l’hypothÈse de récurrence on peut écrire pour chaque i de  :
avec pour A_{(i, j)}(x) la matrice obtenue en remplaçant la colonne d’ordre j de A_i(x) par celle des dérivées, c’est à dire la matrice obtenue en supprimant la premiÈre colonne et la ligne d’ordre i de la matrice B_j+1(x) déduite de A(x) en remplaçant la colonne d’ordre j+1 par celle des dérivées des composantes.

Par permutation des indices la deuxiÈme somme s’écrit :

On a donc bien D’(x)= conformément à la formule attendue pour le rang n+1. Ceci achÈve la preuve par récurrence.

a) Démonstration par récurrence sur n. On notera o_{(i, j)}(h) le terme générique de la matrice O(h) et a_{(i, j)} celui de A.

_ Pour n=1 et n=2 les vérifications sont évidentes.

_ Supposons la propriété vraie à l’ordre n et examinons la situation à l’ordre suivant.
En développant suivant la premiÈre colonne on a, toujours avec les notations classiques :
det(A+O(h))=
Or O_(i,1)(h) est la matrice carrée d’ordre n obtenue à partir de O(h) en supprimant la premiÈre colonne et la ligne d’indice i. Ses coefficients sont donc tous négligeables devant h en 0 et l’hypothÈse de récurrence permet alors d’écrire det(A_(i,1)+O_(i,1)(h))=det(A_(i,1))+o(h).
On en déduit alors le développement :
On obtient bien pour h voisin de 0 : det(A+O(h))=det(A)+o(h) ce qui conclut la récurrence.

b) D’aprÈs l’étude précédente on peut déjà écrire le développement au voisinage de 0 :

det(I_n+hA+O(h))=det(I_n+hA)+o(h).
On peut alors montrer facilement par récurrence sur n la relation : det(I_n+hA)=1+trace(A).h+o(h). Ici aussi les vérifications initiales sont triviales et l’hérédité se montre encore en développant suivant la premiÈre colonne. det(I_n+1+hA)=[1+ha_(1,1)][1+trace(A_(1,1))h+o(h)]+

En effet la matrice obtenue en éliminant de I_n+1+hA la premiÈre ligne et la premiÈre colonne n’est autre que I_n+hA_(1,1) à laquelle on peut appliquer l’hypothÈse de récurrence.

Quand au déterminant obtenu en éliminant la premiÈre colonne et la ligne d’indice i >1, il peut s’écrire, en développant suivant la premiÈre ligne, sous la forme hD_i(h) avec D_i fonction continue de h.
En regroupant tous les termes négligeables devant h en 0 on obtient finalement : det(I_n+1+hA)=1+h[a_(1,1)+trace(A_(1,1)]+o(h)=1+htrace(A)+o(h).

En conclusion on a bien pour tout n : det(I_n+hA+O(h))=1+h.trace(A)+o(h)
c) Si on note A’(x)= la matrice obtenue en remplaçant chacun des coefficients de la matrice variable A par sa dérivée au point x, on obtient trÈs facilement le développement au voisinage de 0 : A(x+h)=A(x)+hA’(x)+O(h).

Si A(x) est supposée inversible on peut écrire A(x+h)=A(x).[I_n+hA^-1(x).A’(x)+O(h)]

On en déduit d’aprÈs la rÈgle du produit et l’étude précédente, la relation :

det(A(x+h))=det(A(x)).[1+htrace(A^-1(x).A’(x))+o(h)]

Ceci n’est autre qu’un développement d’ordre 1 de det(A(x+h)) au voisinage de h=0
On en déduit la formule de dérivation :

_ Examinons d’abord le cas particulier c=0. Le bloc inférieur gauche cA d’ordre n étant nul on a alors det( C )=det(aA).det(dA)=aⁿ.det(A).dⁿ.det(A)=[det(A)]².[det(B)]ⁿ

_ Si c est non nul, transformons le bloc inférieur droit dA en 0 grace à la séquence de manipulations sur colonnes : , pour i variant de 1 à n.
Le bloc supérieur droit est changé dans cette opération en
Effectuons alors la suite d’échanges pour i variant de 1 à n afin de se ramener au cas oÙ le bloc inférieur gauche est nul. On en déduit :
det(C)=(-1)ⁿ
On obtient bien det(C)=[det(A)]².[det(B)]ⁿ.

a) Soit k le plus petit entier tel que N ^k=0.(ordre de nilpotence de N). Nous allons montrer par récurrence sur k que N est toujours semblable à une matrice triangulaire supérieure de diagonale principale nulle.

_ Si k=1 la vérification est évidente puisque N=0.

_ Supposons la propriété vraie pour k et examinons le cas d’une matrice N de M_n(K) d’ordre de nilpotence k+1. Notons f l’endomorphisme de Kⁿ représenté par N dans la base canonique.

Vu que f ^k+1=0 et f ^k ¹0 , la restriction g de f à F=Im(f) est nilpotente d’ordre k.


Par hypothÈse de récurrence il existe donc une base B de F telle que la matrice A représentant g dans B=(u₁,…., u_p) soit triangulaire supérieure de diagonale principale nulle.

Complétons B en une base B’ de l’espace total Kⁿ. La matrice de f dans B’ est alors aussi du type demandé. En effet ses p premiÈres colonnes ne sont autres que celles de A complétées par des coefficients nuls, et l’image par f d’un vecteur de B’-B est combinaison des vecteurs de B puisque ce systÈme est une base de Im(f).

La propriété étudiée se transmet donc bien du rang k au rang k+1.

b) D’aprÈs ce qui précÈde, I_n+N sera semblable à une matrice triangulaire supérieure dont tous les éléments de la diagonale principale seront égaux à 1. On a donc par conservation du déterminant lors d’un changement de base : det(I_n+N)=1

c) Ecrivons A+N=A(I_n+A^-1.N). On en déduit det(A+N)=det(A).det(I_n+M) avec M=A^-1.N.

Par hypothÈse, N commute avec A et donc aussi avec A^-1.
Puisque N est nilpotente d’ordre k on peut donc écrire la relation : M ^k=(A^-1)^k.N ^k=0.
M est donc aussi nilpotente.

D’aprÈs b) on peut donc écrire det(I_n+M)=1 , et par suite : det(A+N)=det(A).

Si 1, j, j² désignent les trois racines complexes de l’unité, on déduit immédiatement de l’égalité polynômiale X ³-1=(X-1)(X-j)(X-j²), la factorisation dans L_K(E) suivante :

f ³-I_E=(f-I_E)(f-jI_E)(f-j²I_E).
Il suffit en effet d’appliquer le morphisme classique de K-AlgÈbre reliant K[X] à L_K(E) et transformant X en f.

f^{i 3}-I_E n’étant pas injectif, son déterminant sera nul et on en déduit d’aprÈs le théorÈme du produit que det(f-I_E).det(f-jI_E).det(f-j²I_E)=0.

Un des trois facteurs est donc nécessairement nul, ce qui assure la non injectivité de l’endomorphisme f-aI_E pour au moins un a de .

Effectuons la séquence de manipulations sur les lignes : pour i variant en décroissant de n à 2. Vu la relation fondamentale de construction du triangle de Pascal, le coefficient d’indice j de la ligne i devient :

_ 1-1=0 si j=1.

_ si 2 £j £i

_ si j=i+1.

_ 0 si j >i+1.



En développant alors ce déterminant suivant la premiÈre ligne on obtient la relation :
det(T_n)=det(T_n-1). On termine en calculant det(T₂)=
Ainsi n ³2 : det(T_n)=1.

En utilisant la linéarité par rapport à la derniÈre colonne on peut d’abord décomposer D_n en la somme A_n+B_n des deux déterminants obtenus en remplaçant respectivement la derniÈre colonne de la matrice d’origine d’une part par une colonne formée uniquement de 1 et d’autre part par la colonne dont tous les termes sont nuls sauf le dernier, égal à n.

_ En développant B_n suivant cette mÊme derniÈre colonne, il vient : B_n=nD_n-1.

_ En soustrayant à chaque ligne de A_n la derniÈre ligne du tableau, on obtient un déterminant triangulaire inférieur dont les termes de la diagonale principale sont les entiers 1, 2,, n-1, 1

On en déduit immédiatement A_n=(n-1)! et par suite la relation de récurrence :
D_n=(n-1)!+nD_n-1 valable pour tout n ³2.
Remarquons alors que cette relation peut s’écrire aussi  :
Par sommation, l’indice variant entre 2 et n, on en déduit l’égalité :
Or D₁=2 . On en déduit la formule :