LIMITES

LIMITES

1) GENERALITES

A) Introduction.

Le cadre d’étude de ce chapitre est celui des fonctions à valeurs réelles, définies sur une partie quelconque de R. En ne se bornant pas aux seules fonctions définies sur un intervalle ou une réunion finie d’intervalles on englobe donc les suites numériques réelles , fonctions particuliÈres définies sur un ensemble discret, le plus souvent N ou une section de N.
Plus tard nous étendrons la théorie aux suites et fonctions à valeurs complexes.

En langage approximatif , un problÈme dit de limite apparait pour une fonction f lorsque le comportement des images f(x) nous interpelle pour des valeurs de la variable x de plus en plus proche d’un réel donné a (étude au voisinage d’un point ), ou lorsqu’on s’intéresse à des valeurs extrÊmes de la variable (étude au voisinage de l’infini).
Par exemple : comment évolue le quotient pour x voisin de 0, ou la puissance (1+)ⁿ lorsque l’entier n devient de plus en plus grand ?

Parmi tous les comportements possibles il en est d’assez réguliers, obéissant au schéma suivant :
Les images étudiées f(x) pourront toujours Être rendues aussi proches que l’on veut d’un nombre l en prenant x suffisamment voisin du point d’étude a.
On dira alors que f admet pour limite l en a, ou que f(x) tend vers l lorsque x tend vers a.

On voit bien que cette définition est encore floue et qu’une des conditions pour en faire une base de la théorie est de préciser les notions de proximité dont il est fait mention.
Parmi les nombreuses procédures possibles nous choisirons celle reposant sur la notion ensembliste de voisinage, permettant de traduire de façon concise et rigoureuse les idées intuitives développées ci dessus.

B) Notions de base et définitions élémentaires.

1) Compactifié de R
Pour unifier dans un seul énoncé les concepts de limites sans distinguer les cas purement réels des comportements extrÊmes, il est commode d’adjoindre à R deux symboles appelés points à l’infini, notés +¥ et -¥.
La réunion =R est appelée compactifié de R.

_ Si on perçoit R comme une droite géométrique graduée, ces nombres correspondent à des points fictifs aux deux horizons opposées de cette droite.

_ On peut aussi s’aider de la bijection naturelle f entre ]-, [ et R définie par la tangente : x a f(x)=tan(x). Compactifier R revient à prolonger f aux bornes de son intervalle de définition. (+¥ correspond alors à l’image de et -¥ à celle de -.)
Le prolongement ainsi bati relie bijectivement l’intervalle fermé borné [-,] au compactifié .

On peut également prolonger la relation d’ordre usuelle sur R en posant :
x I ¥ £ x £ ¥
Ceci permet entre autre d’accepter -¥ et +¥ comme bornes d’intervalles fermés.
Ainsi =[-¥ ¥].

2) Voisinages fondamentaux.

Ceci permet déjà de préciser la notion dite de localité :

Effectuer une étude locale en un point a de signifie se placer sur un voisinage de a. On parle aussi étude au voisinage du point a.
On dira par exemple que la fonction f vérifie localement une propriété P au voisinage de a si et seulement si il existe un voisinage V de a tel que la restriction de f à V vérifie P.

Ainsi la fonction partie entiÈre est localement constante au voisinage de chaque élément de
R Z , mais pas au voisinage d’un relatif , ni au voisinage de +¥ et -¥.
La fonction cosinus est strictement positive au voisinage de 0, mais pas au voisinage de , ni au voisinage de + ¥ ou - ¥.
La fonction ln est localement bornée au voisinage de tout réel strictement positif, mais pas au voisinage de 0 ni au voisinage de +¥.

Remarquons enfin, et cela sera particuliÈrement utilisé dans les démonstrations à venir, que l’intersection de deux voisinages fondamentaux de a (plus généralement d’un nombre fini de ces voisinages) est encore un voisinage fondamental de a.

On notera V (a) l’ensemble de tous les voisinages fondamentaux de a.
On dira souvent voisinage en abréviation de voisinage fondamental.

3) Point adhérent.

Il s’agit donc d’une notion un peu plus tiÈde que la relation d’appartenance au sens strict.
En langage simplifié un point adhérent à un ensemble est un point que l’on ne peut ‘détacher’ de l’ensemble en question, qui est collé à l’ensemble sans nécessairement y appartenir, de mÊme qu’un individu peut adhérer pleinement aux idées d’un parti politique sans aller jusqu’à en prendre la carte. On note l’ensemble des points adhérents à I. La définition s’écrit alors :

aI V IV (a) V I ¹ Æ

_ Remarquons que le compactifié n’est autre que l’adhérence de R au sens de la définition précédente, ce qui assure la cohérence des notations posées.
_ L’adhérence de ]1,3] est [1,3], l’adhérence de R- est , l’adhérence de [2,4] est [2,4]
La notion d’adhérence permet de préciser les points oÙ un problÈme d’étude de limite est envisageable. En effet, selon la définition, si un élément a n’adhÈre pas à l’ensemble de définition I d’une fonction f, on pourra l’isoler de cet ensemble, c’est à dire trouver un voisinage V de a ayant une intersection vide avec I. Ainsi, localement, f ne sera pas définie au voisinage de ce point a et une étude de f au voisinage de a n’a donc aucune raison d’Être.

Tout est maintenant en place pour donner la définition générale de limite.

4) Limite d’une fonction numérique en un point a.

Soit f une fonction définie sur le sous-ensemble I de R, à valeurs réelles.
Considérons un élément a de adhérent à l’ensemble de définition I de f et un nombre l du compactifié

Notations. On écrit alors pour résumer : ou bien et on dit également que f(x) tend vers l lorsque x tend vers a.

Analysons le schéma de la définition. Il exprime bien de façon claire cette fois l’idée initiale :
Les images f(x) pourront toujours Être rendues suffisamment proche de l , c’est à dire entrer dans un voisinage V donné de l à condition d’agir en finesse sur x , c’est à dire de placer cette variable dans un voisinage convenable W du point d’étude.

_ Dans ce canevas, V est la contrainte de proximité imposée. Le but est d’obtenir f(x)IV.

_ Pour le réaliser, on cherche une zone suffisante autour de a, c’est à dire un voisinage W de ce point de façon que l’on ait bien : xII W Þ f(x)IV .


Il va de soit que W n’est pas universel, mais dépend au contraire du voisinage V imposé.
Il s’agit d’une course à la précision, à chaque contrainte de proximité sur les images on essaie de répondre de façon positive en s’approchant suffisamment prÈs de a, on cherche une zone de sécurité W réalisant la condition imposée.

Pour assimiler la définition, le lecteur pourra s’entrainer à transcrire celle ci dans des cas particuliers.

_ Ainsi pour établir que lim₁ f(x)=3, il faut montrer que quel que soit le réel e strictement positif donné, on peut toujours trouver un réel a>0 tel que (xII et

_ Pour montrer que lim₂ f(x)=-¥, il faudra prouver que pour tout réel M donné, on peut toujours trouver un réel a>0 tel que :

_ Pour prouver que la suite n a f(n) tend vers 5 lorsque n tend vers +¥ , il faudra montrer que pour tout réel e >0 donné, on peut toujours trouver un rang n₀ tel que :
nIN n ³n Þ

5) Unicité de la limite.

On verra plus loin qu’une fonction n’admet pas toujours une limite en un point a adhérent à son ensemble de définition I. Par contre on va montrer immédiatement que f ne peut admettre deux limites distinctes en un mÊme point.
La preuve est simple et repose sur la remarque suivante : si l₁ et l₂ désignent deux éléments distincts de , il est trÈs facile de les ‘séparer ’, c’est à dire de trouver deux voisinages respectifs V₁ et V₂ de chacun de ces points dont l’intersection est vide.
Si f admettait à la fois pour limite l₁ et l₂ au point a on pourrait donc, conformément à la définition, trouver un voisinage W₁ de a tel que f(I W₁)ÌV₁ et un voisinage W₂ de ce mÊme point a pour lequel f(I W₂ )ÌV₂. Considérons alors l’intersection W=W₁ W₂.

C’est encore un voisinage fondamental de a et par suite a une intersection non vide avec I puisque a adhÈre à cet ensemble de définition I. Par suite l’image par f de W I est non vide, ce qui est contradictoire avec le choix de V₁ et V₂ à cause de f(I W)ÌV₁ V₂=Æ.

6) Variantes de la définition générale.

a Limite à droite d’un réel a :
S’obtient en restreignant l’ensemble d’étude de la fonction aux valeurs strictement supérieures à a. Notations :
a Limite à gauche d’un réel a : MÊme principe, mais en restreignant l’étude aux nombres strictement inférieures à a. Notations similaire :
a Limite réelle par valeurs supérieures.
Si lim_a f(x)=l avec l réel et si il existe un voisinage W de a tel que : xII W Þ f(x) >l , on dira que f tend vers l par valeurs supérieures et on écrira pour résumer ceci : lim_a f =l⁺

a Limite réelle par valeurs inférieures.
Schéma analogue avec cette fois f de valeurs strictement inférieures à l au voisinage de l.
notation résumé : lim_a f =l^-

C) Transformations pratiques fondamentales.

Remarquons pour commencer qu’un voisinage fondamental quelconque ]a-a,a+a[ d’un réel donné a n’est autre que l’image du voisinage ]-a a[ de 0 par la translation h at(h)=h+a.

Selon le schéma de définition mÊme, dire que f admet pour limite l en a revient alors à dire que la composée g=ft admet pour limite l en 0, la fonction g étant définie sur l’image réciproque J=t^-1(I) de l’ensemble de définition I de f.

En effet on vérifie immédiatement que 0 adhÈre bien à J puisque I ]a-a,a+a[=t(J a a[)
Tout voisinage de 0 rencontre donc J si et seulement si tout voisinage de a rencontre I.

Ainsi toute étude de limite en un réel a pourra se ramener à une étude de limite en 0 grace au changement de variable x=a+h



Dans le mÊme esprit, notons que pour tout réel M>0 l’inégalité x >M équivaut à 0<
L’étude d’une limite éventuelle au voisinage de +¥ peut donc se ramener à l’étude d’une limite à droite en 0 grace au changement de variable . Plus précisément on montre facilement l’équivalence suivante, en revenant aux schémas de définition :



L’ensemble de définition J de la nouvelle fonction h ag(h)= est bien sÛr défini ici par
J=.

Enfin, pour renvoyer une étude au voisinage de -¥ à une étude au voisinage de 0, il suffira de poser avec la contrainte h >0. On montre aussi sans problÈmes l’équivalence suivante


Les changements de variable précédents peuvent Être utilisés aussi au niveau des images.

Par exemple, obtenir une image f(x) appartenant au voisinage ]l-e, l+e[ du réel l revient à faire entrer la différence f(x)-l dans le voisinage ]-e e[ de 0.
D’oÙ l’équivalence immédiate, toujours par examen des schémas de définition :

lim_{x aa} f(x)=l lim_{x aa} f(x)-l=0 .

On vérifie tout aussi facilement :

et

Tout problÈme d’étude de limite pourra donc toujours se ramener, par un emploi convenable des changements de variable décrits ci dessus, à une schéma standard de fonction de limite nulle en 0.

_ Ainsi :
_

Schéma classique de majoration pour les fonctions de limite nulle en 0.

Nous verrons par la suite que pour la plupart des fonctions usuelles, on peut établir que
lim₀ g(h)=0 en mettant en évidence au voisinage du point d’étude 0 une majoration du type avec K et m réels strictement positifs. Pour un réel e strictement positif donné, il suffit en effet de prendre pour réaliser la contrainte imposée : .
Plus généralement, si on dispose au voisinage de 0 d’une majoration du type
avec u de limite nulle en 0, la fonction g aura aussi pour limite 0 à l’origine.
En effet, pour réaliser pour un e donné, il suffira de rendre strictement inférieur à e, ce qui sera toujours possible vu l’hypothÈse sur u.

D) Limite d’une restriction.

Preuve. Soit V un voisinage donné de l. Par hypothÈse sur f on peut trouver un voisinage W de a tel que f(I W)ÌV.

J étant inclus dans I on en déduit immédiatement f(J W)ÌV, c’est à dire g(J W)ÌV.
g a donc bien aussi pour limite l au point a.

Ce résultat de démonstration particuliÈrement simple peut servir de base pour établir par l’absurde une preuve de non existence de limite en un point.

Supposons en effet que l’on puisse trouver pour une mÊme fonction f deux restrictions g₁ et g₂
à des sous ensembles respectifs J₁ et J₂ de I telles que lim_a g₁ ¹lim_a g_2.

Une telle fonction ne peut donc avoir de limite l au point a, car d’aprÈs le théorÈme ci-dessus et le principe d’unicité de la limite on aurait dans ce cas : lim_a g₁ =l=lim_a g_2.

Par exemple, pour établir que la fonction sinus n’admet pas de limite au voisinage de +¥, il suffit de considérer d’une part sa restriction g₁ à l’ensemble J₁= auquel +¥ adhÈre et pour laquelle de maniÈre évidente , et d’autre part la restriction g₂ à la partie J₂= admettant pour limite 1 en +¥.
La réciproque du théorÈme précédent est fausse. Il suffit de reconsidérer l’exemple ci dessus pour s’en persuader. La fonction sinus n’admet pas de limite en +¥, pourtant sa restriction à l’ensemble des multiples de p auquel +¥ adhÈre est identiquement nulle donc admet pour limite 0 en +¥.

Par contre, si on parvient à montrer que la restriction g de f à un sous ensemble du type J=I W₀ , avec pour W₀ un voisinage fondamental de a, admet une limite l au point a, on pourra conclure que f admet également pour limite l en a.

En effet, soit V un voisinage imposé de l. Par hypothÈse sur g il existe un voisinage W de a pour lequel g(W J)ÌV. Or W J=W I W₀ .
Il suffit alors de remarquer queW₁=W W₀ est encore un voisinage fondamental de a, en tant qu’intersection de deux voisinages de a, et que g(W J)= f(W₁ I)

On a donc bien réalisé la contrainte f(x)IV en plaçant x dans un bon voisinage de a. Ceci étant réalisable pour tout V on a bien prouvé lim_a f=l.

Ce résultat est appelé le principe de localité de l’étude d’une limite. On peut l’énoncer ainsi :

Nous noterons également le résultat suivant d’emploi fréquent, surtout pour l’étude des suites numériques et que nous appellerons principe de recouvrement :

Preuve. Soit V un voisinage donné de l. Par hypothÈse sur g₁ et g₂ il existe deux voisinages respectifs de a soient W₁ et W₂ , tels que g₁(J₁ W₁)ÌV et g₂(J₂ W₂)ÌV.
Considérons alors le voisinage fondamental W=W₁ W₂.

I étant réunion de J₁ avec J₂ (recouvrement), on a donc de maniÈre évidente :
f(W I)Ì g (J₁ W₁) g (J₂ W₂)ÌV, ce qui achÈve la démonstration.


2) TECHNIQUES USUELLES DE CALCUL DES LIMITES.

A) RÈgles opératoires

Soient deux fonctions numériques f et g que l’on a étudié au voisinage d’un élément a et pour lesquelles on a mis en évidence de limites respectives l et m en ce point. En rÈgle générale, la seule connaissance des valeurs l et m suffit pour en déduire le comportement limite de la somme, de la différence, du produit, du quotient de ces deux fonctions au voisinage de ce mÊme point a.
Les résultats essentiels sont consignés de maniÈre abrégée dans les tableaux suivants oÙ par convention les lettres l et m désignerons uniquement des valeurs réelles de limites. Les limites infinies seront notées en clair par les symboles +¥ ou -¥.
On notera des zones d’ombre correspondant aux cas d’exception dits d’indétermination et pour lesquels une étude plus fine du rapport de force entre f et g est nécessaire au voisinage du point d’étude. Cette impossibilité de conclure à l’aide d’une rÈgle générale sera représentée par un point d’interrogation ?.

Sommes.

Opposé.

Produits.

Inverse.

Différences, quotients.

On utilisera les tableaux ci-dessus et les décompositions suivantes :
f -g=(f)+(-g) ;


On aura donc une indétermination pour la différence lorsque les deux fonctions ont des limites infinies de mÊme signe et pour le quotient lorsque numérateur et dénominateur tendent simultanément vers 0 ou ont chacun une limite infinie.

Preuves.
La grande majorité des résultats précédents s’obtiennent de maniÈre pratiquement évidente en examinant le schéma de la définition générale de limite. C’est par exemple le cas pour les rÈgles concernant les opposés et les inverse.
Nous n’aborderons donc que les démonstrations moins évidentes, laissant au lecteur le soin de rédiger les preuves plus élémentaires, excellent exercice pour assimiler la définition de base.
Les fonctions abordées seront supposées définies sur un mÊme ensemble I auquel a adhÈre.

a) Cas d’une somme de deux fonctions de limite réelle.

On est ici dans une situation du type f(x)=l+u(x) et g(x)=m+v(x) avec lim_a u=lim_a v=0
On en déduit (f+g)(x)=l+m+(u+v)(x) .
Vérifier que f+g tend vers l+m au point a revient donc à prouver que la somme de deux fonctions de limite nulle en a, soient u et v, est encore de limite nulle en ce point.

Pour ceci considérons l’inégalité triangulaire
Elle montre que pour réaliser une contrainte du type avec e réel strictement positif imposé, il suffit d’assurer simultanément .
Or la premiÈre inégalité peut s’obtenir en plaçant x dans un certain voisinage W₁ de a, ceci puisque u tend vers 0 au point a. De mÊme puisque v a pour limite 0 en ce point, on pourra trouver un voisinage W₂ de a tel que sur I W₂ on ait
Il est maintenant clair que sur I W avec W=W₁ W₂ on a bien les deux majorations espérées. On a bien trouvé un voisinage W de a tel que xII W Þ .

b) Somme d’une fonction f de limite réelle l avec une fonction g tendant vers +¥
Pour vérifier que (f+g) tend vers +¥ au point a nous faut montrer que l’on pourra réaliser une contrainte quelconque du type f(x)+g(x) >M en plaçant x dans un voisinage convenable de a.

Utilisons d’abord le fait que f admette pour limite l en a.
]l-1, l+1[ étant un voisinage particulier de la limite, on peut déjà trouver un voisinage W₁ de a tel que : xII W₁ Þ f(x)I ]l-1, l+1[
Sur I W₁ on a donc la minoration : (f+g)(x)>g(x)+l-1.

Pour réaliser la minoration f(x)+g(x) >M, il suffit donc d’arriver à g(x)>M-l+1.
Or une telle minoration est toujours possible en restreignant x à un voisinage adéquat W₂ de a, ceci vu l’hypothÈse : g tend vers +¥ en a.

Si on considÈre le voisinage W=W₁ W₂, on a bien l’implication : xIW I Þ f(x)+g(x) >M




c) Produit de deux fonctions de limites réelles.

Utilisons les notations de la situation précédente a). On en déduit pour le produit :
(f.g)(x)=l.m+l.v(x)+m.u(x)+u(x)v(x).
Pour montrer que ce produit tend vers l.m en a, il nous faut donc montrer que la somme
l.v+m.u+u.v a pour limite 0 en a.

Pour cela remarquons d’abord que d’aprÈs l’inégalité triangulaire, on a la majoration évidente : avec pour K un réel choisi strictement supérieur à 1 et aux valeurs absolues de l et m.
Soit alors e un réel strictement positif donné.
_ Puisque u a pour limite 0 en a, il est possible de réaliser en plaçant x sur un voisinage convenable W₁ de a.
_ De mÊme, puisque v tend vers 0 en a il est possible de rendre la valeur absolue de v(x) strictement inférieure à 1 et à en restreignant x à un voisinage W₂ de a.

Pour xIW₁ W₂ I on obtient donc bien :

d) Inverse d’une fonction f de limite réelle l non nulle.

Toujours suivant les notations de a) nous pouvons écrire :

Puisque u tend vers 0 au point a et que l est non nul, il est toujours possible de trouver un voisinage W₁ de a pour lequel .
On en déduit alors
Sur un tel voisinage W₁ on a donc la majoration :
Si on nous impose une contrainte du type , il suffira donc de se placer d’abord sur W₁ , puis de réaliser .
Or cette derniÈre majoration peut devenir effective en restreignant x à un voisinage W₂ de a, ceci puisque u admet 0 pour limite en a.
En conclusion, xIW₁ W₂ I Þ
L’inverse de f tend bien vers l’inverse du nombre l au point d’étude a.

B) ThéorÈme de composition.

Considérons un schéma de composition classique mettant en jeu deux fonctions numériques :


Soit t₀ un point adhérent à I et x₀ adhérent à J.



La preuve s’obtient de maniÈre élémentaire en revenant à la définition initiale.
Soit en effet un voisinage fondamental donné V de l.

_ Puisque f tend vers l en x₀, il existe un voisinage U de x₀ tel que f(U J)Ì V

_ Comme j tend vers x₀ en t₀ , on pourra trouver un voisinage W de t₀ tel que j(W I)ÌU.

j étant à valeurs dans J, on peut donc écrire j(W I)ÌU J et par suite f(j(W I))ÌV

On a donc bien obtenu un voisinage de t₀ , soit W, dont l’image par la composée fj est incluse dans le voisinage imposé V de l. Ceci étant possible quelque soit V, on peut conclure suivant la définition générale que fj tend vers l en t₀.

Application à un constat de non existence de limite en un point.

Concernant cette situation on a vu précédemment une technique reposant sur l’étude des restrictions. Le théorÈme de composition établi ci dessus donne facilement une autre méthode pour établir la non existence d’une limite pour une fonction f en un point x₀ adhérent à son ensemble de définition J.

On procÈde encore par l’absurde. Supposons que f admette pour limite l en x₀
Pour toute suite n aa_n à valeurs dans J et telle que lim_{n a ¥} a_n=x₀ on aura donc nécessairement, grace au théorÈme de composition :

Il nous suffit donc, pour apporter une preuve d’une impossibilité de limite en x₀ , de trouver deux suites n aa_n et n ab_n , à valeurs dans J , tendant chacune vers x₀ pour n tendant vers +¥ et telles que

C) Limites des fonctions usuelles.

1) Polynômes et fractions rationnelles.
Examinons d’abord les cas élémentaires des fonctions constantes et de l’identité.

_ Il est clair qu’une fonction f prenant en tout point de R la mÊme valeur C admet pour limite cette constante C en tout point a de .En effet si V est un voisinage imposé de C, l’image f(W) d’un voisinage quelconque de a sera bien contenu de maniÈre triviale dans V puisque toute image coÃ�ncide exactement avec le point central C de V.
On est dans une situation de stabilité parfaite, les images stagnent sur la limite C.

_ Si f est la fonction identique sur R, on montre tout aussi facilement que f tend vers a en tout point a de . En effet pour tout voisinage V donné de a, l’image par f de ce mÊme V coÃ�ncide parfaitement avec V. L’identité clone chaque point et chaque voisinage d’un point donné. La réponse à une contrainte de proximité donnée est exactement la redite de cette contrainte.

Grace à ces deux premiers résultats et en utilisant les théorÈmes sur les produits et sommes de fonctions ayant des limites, on en déduit alors que pour un polynôme P quelconque, défini par P(X)=a₀+a₁X+….+a_nXⁿ, on aura en chaque réel x₀ :

On exprime cette régularité en disant que le polynôme P est continu sur R

En utilisant la rÈgle de limite d’un quotient, on montre ensuite facilement qu’une fonction rationnelle est continue en tout point de son ensemble de définition.
En effet si x₀ n’est pas racine du polynôme Q, on aura : .
Pour le comportement au voisinage de +¥ ou - ¥ il suffit pour P polynôme non constant d’effectuer la factorisation : pour en déduire en invoquant à nouveau les théorÈmes sur les sommes et produits que :

.

On démontre également que la limite d’une fraction rationnelle en une borne infinie est égale à la limite en cette mÊme borne du quotient du terme dominant de son numérateur par le terme dominant du dénominateur.

2) Racines n-iÈmes.

_ Pour tout entier n au moins égal à 2, on connait la formule de factorisation :

aⁿ-bⁿ=(a-b)(a^n-1+a^n-2b+…..+ab^n-2+b^n-1)

Si a et b sont des réels positifs, on en déduit en particulier :
Appliqué à avec x et x₀ réels strictement positifs, on en déduit la majoration :
On en conclÛt que l’écart entre peut Être rendu plus petit que tout e positif donné en réalisant . Ainsi et ceci pour tout x₀ >0.

_ Pour l’étude en 0 on utilise simplement l’équivalence :
La fonction racine d’ordre n a donc pour limite 0 en 0 ce qui assure avec l’étude précédente la continuité de cette fonction en tout point de [0,+¥[

_ Enfin, pour l’étude au voisinage de +¥ remarquons que pour tout M réel positif :
. On en déduit lim_+¥ =+¥

3) Fonctions trigonométriques.

Nous admettrons comme base de l’étude suivante l’encadrement : sin(h) £h £tan(h) .
supposé valable pour tout h de [0,[.
On peut s’en convaincre de maniÈre géométrique en examinant le cercle trigonométrique unité de centre O et en comparant l’aire d’un secteur élémentaire =(OAM) mesuré par h en radians avec les aires des triangles rectangles (OHM) et (OAT) respectivement contenu et contenant ce secteur, avec pour H la projection orthogonale de M sur l’axe (OA) des cosinus et T trace de la droite (OM) sur l’axe des tangentes.
Il apparait dont on déduit facilement l’encadrement en question. Pour une justification rigoureuse il est indispensable de passer par une définition analytique précise des fonctions trigonométriques de base sinus et tangente, mais ceci dépasse le cadre qui nous est accordé.

Ceci posé nous en déduirons d’abord les limites essentielles suivantes :

_ Pour la premiÈre, remarquons d’abord que l’encadrement 0£sin(h)£h valable sur [0, [ entraine immédiatement : . Pour la limite à gauche, la fonction sinus étant impaire, on pourra écrire grace au théorÈme de composition :

_ Pour la deuxiÈme, la formule de l’arc double nous donne cos(h)=1-2sin²().
Or, toujours grace au théorÈme de composition : .
Enfin, d’aprÈs les théorÈmes sur les produits et sommes, on conclÛt que lim₀ cos(h)=1.

_ Remarquons que l’encadrement initial peut s’écrire également sous la forme :
Sur [0,[ hcos(h) £sin(h) £ h. On en déduit que sur ]0,[ :

D’aprÈs la majoration : et vu que lim₀ cos(h)=1, on en déduit aussitôt :

Pour la limite à gauche on utilise à nouveau le caractÈre impair du sinus :

_ Enfin si on revient à la formule de l’arc double pour le cosinus,
On en conclÛt d’aprÈs l’étude précédente et les théorÈmes classiques :

_ Ces premiers résultats établis, on déduit facilement des formules d’addition la continuité de sinus et cosinus en tout réel a. Il suffit d’écrire, pour h voisin de 0 :

sin(a+h)=sin(a)cos(h)+sin(h)cos(a) et cos(a+h)=cos(a)cos(h)-sin(a)sin(h) puis d’utiliser les rÈgles opératoires concernant les limites.

4) Fonctions logarithme, exponentielle et puissances généralisées.

Elles sont également continues en tout point de leur ensemble de définition.
Pour ce qui concerne les limites aux bornes et les croissances comparées, les principaux résultats sont résumés dans le tableau suivant dans lequel a désigne un réel quelconque strictement positif.: 

Preuves.
Nous utiliserons ici aussi un encadrement de base portant sur la fonction logarithme Népérien, que l’on obtient facilement dans les diverses constructions rigoureuses de cette fonction. (Nous en évoquerons deux dans les chapitres à venir, l’une s’appuyant sur une convergence de suite de fonctions, l’autre sur la notion d’intégrale)

_ Admettons donc provisoirement l’encadrement pour tout x de [0,1]


Retenons simplement d’abord : sur [0, 1] : 0 £ ln(1+x) £ x.
On en déduit immédiatement

Pour l’étude de la limite à gauche utilisons les propriétés algébriques fondamentales des logarithmes. Pour tout x de [0,1[ :
Ainsi d’aprÈs le résultat précédent allié au théorÈme de composition.( tend vers 0 par valeurs supérieures à droite de 0)

Pour tout x₀ >0 on a alors : .
La fonction logarithme Népérien est donc continue sur tout ]0,+¥[.

_ En considérant les quotients par x>0, l’encadrement initial se traduit ,
puis , dont on déduit : .
Pour l’étude à gauche de 0 on écrira comme précédemment :

Ceci d’aprÈs la rÈgle du quotient, le théorÈme de composition et la rÈgle du produit.

_ Pour vérifier que ln tend vers +¥ en +¥, remarquons que pour assurer une contrainte du type ln(x)>M il suffit de prendre x strictement supérieur à 2ⁿ, l’entier n étant choisi de façon que n ³.
En effet, par croissance stricte de la fonction logarithme népérien et propriétés algébriques, il vient : x>2ⁿ Þ ln(x)>ln(2ⁿ)=nln(2). Donc x >2ⁿ Þ ln(x) >M

_ Grace au changement de variable x= , on en déduit le comportement de ln au voisinage de 0 :

_ Pour la continuité de l’exponentielle à l’origine, remarquons que pour e réel de ]0, 1[ donné, la contrainte e^xI e e[ sera réalisée si on prend x dans un voisinage de 0 inclus dans l’intervalle ]ln(1-e), ln(1+e)[. (Ceci par croissance stricte de l’exponentielle, réciproque de ln)

_ Pour x₀ réel quelconque on a alors :
L’exponentielle est bien continue en tout point.

_ Pour M>0 donné, e^x>M x>ln(M), ce qui assure

_

_ A partir de , grace au changement de variable x=e^t et la continuité de l’exponentielle à l’origine on en déduit : et par suite :

_ Pour l’étude des fonctions puissances d’exposant réel a quelconque, rappelons qu’elles sont définies sur ]0,+¥[ à partir du couple (ln, exp) par la formule

Ainsi pour a>0 , et



_ Pour les comparaisons avec les fonctions suivantes nous admettrons que l’inégalité de base :
ln(1+x) £x est valable sur ]0,+¥[.
On en déduit en particulier que pour tout x>1 et tout réel b : 0< ln(x^b)< x^b et que, par conséquence : 0< bln(x)< x^b.

Pour tout réel x>1 et tout couple de réels strictement positifs (a, b) on peut donc écrire l’encadrement : dont on déduit : .
Il suffit pour cela de choisir pour a>0 donné un réel b tel que 0<b<a.

_ Grace au changement de variable h= on déduit alors immédiatement :

_ De mÊme en posant x=e^t, conduit grace au théorÈme de composition, à :
, ou encore à : .
En passant à l’inverse puis en composant avec la fonction x a, on obtient la formule : . Comme la fonction a a relie bijectivement ]0, +¥[ à lui mÊme, on peut conclure que pour tout a strictement positif : .

D) Résultats liés à la relation d’ordre sur R

ThéorÈme d’encadrement.

La preuve est simple. Soit V un voisinage fondamental de x₀. Les fonctions g et h ayant pour limite l en x₀, on pourra trouver des voisinages respectifs W₁ et W₂ de ce point tels que :
g(W₁ I )ÌV et h(W₂ I)ÌV.
L’hypothÈse nous dit aussi qu’il existe un voisinage U de x₀ tel que sur U I, g(x)£ f(x)£ h(x).
Remarquons que tout voisinage fondamental V, que ce soit d’un réel ou de , possÈde la propriété de convexité, c’est à dire que si deux réels a et b appartiennent à V, le segment d’extrémités a et b est contenu intégralement dans V.

Si on considÈre le voisinage W=W₁ W₂ U de x₀, il est maintenant clair d’aprÈs ce qui précÈde, que : f(W I) ÌV.

Remarques. Si l est une limite infinie, il n’est pas nécessaire de disposer d’un encadrement complet de f mais seulement de la minoration f(x) ³g(x) dans le cas oÙ
et de la majoration seule f(x) £h(x) si on sait que
Les preuves de ces variantes sont évidentes, il suffit d’adapter la démonstration ci-dessus.

ThéorÈmes de limite monotone.

Avant d’énoncer ces résultats fondamentaux, rappelons et précisons certaines notions fondamentales concernant la comparaison des réels.

Majorant d’une partie J de R 

On appelle ainsi tout réel M supérieur ou égal à chacun des éléments de J.
On dit alors que J est majorée par M.

Borne supérieure d’une partie majorée non vide J de R
Dans toute construction rigoureuse du corps ordonné des nombres réels on établit que pour chaque partie non vide majoré J de R il existe un plus petit majorant de J appelé borne supérieure de l’ensemble J et que nous noterons dans tout ce qui suit : sup(J).

Nous considérerons ici cette propriété dite de la borne supérieure comme un axiome de base de l’Analyse sur R. Attention, il s’agit d’une affirmation d’existence d’un ‘meilleur’ majorant de J, au sens d’Être le plus petit possible, mais nous ne disposons ici d’aucune technique pratique pour le mettre en évidence.
Ainsi si on considÈre J=, il est clair que J est majorée par 6, mais la valeur exacte de sup(J) nous échappe.

Minorant d’une partie J de R 
On appelle ainsi tout réel m inférieur ou égal à chacun des éléments de J.
On dira aussi que J est minorée par m.

Borne inférieure d’une partie minorée non vide J de R
C’est le plus grand des minorants de l’ensemble J. On peut déduire facilement son existence de l’axiome de la borne supérieure, en appliquant celui ci à l’ensemble majoré –J formé par tous les opposés des éléments de J.
On vérifie en effet sans peine que inf(J)=-sup(-J)

On peut maintenant énoncer et établir le théorÈme dit de limite croissante :

Preuve.

Etudions la fonction f au voisinage de la borne supérieure b de I.

_ Supposons f(I) non majoré. Pour tout réel M donné, on pourra donc trouver un élément c de I tel que f(c) >M.

La fonction f étant supposée croissante sur I, on en déduit que c<x <b Þ f(x) ³ f(c) >M.
On peut donc rendre l’image de x par f plus grande que le réel imposé M en plaçant x suffisamment prÈs de b. Ceci assure

_ Supposons maintenant f(I) majoré et notons l sa borne supérieure.

Pour tout e >0 donné, l- e étant strictement inférieur au plus petit des majorants de f(I) ne sera pas un majorant de cet ensemble.
On pourra donc trouver un élément c de I pour lequel f(c) >l-e.
En jouant comme précédemment sur la croissance de f on établit donc : c<x<b Þ l-e< f(x)£l.

On peut donc rendre f(x) proche de l à n’importe quel e prÈs, à condition de placer x dans un voisinage convenable de b. On a donc bien établi que

On effectue un schéma de démonstration analogue au voisinage de la borne a.





Dans le cas d’une fonction décroissante sur I=]a,b[ on a un énoncé similaire :

La démonstration s’obtient facilement en appliquant le théorÈme précédent à la fonction g=-f.

La conjonction des deux énoncés est appelé simplement théorÈme de limite monotone.

3) THEORIE DES EQUIVALENTS.

Rien de nouveau dans ce paragraphe au point de vue résultats fondamentaux.
Nous allons simplement introduire deux notations commodes décrivant des situations classiques intervenant dans les problÈmes aux limites ( négligeabilité et équivalence), permettant d’énoncer de façon concise la plupart des résultats de base sur les fonctions usuelles et de les combiner de maniÈre quasi- algébrique, sous réserve de bien dominer les manipulations permises.

Cette démarche que nous développerons surtout dans les exercices accompagnant le chapitre est le premier jalon de la théorie des approximations locales que nous approfondirons aprÈs l’étude de la dérivation ( qui constitue aussi une de ses facettes) et dont le point final sera pour nous l’obtention des développements limités, approximations locales à l’aide de polynômes .

Dans tout ce qui suit les fonctions seront supposées définies sur le mÊme ensemble I de R et étudiées au voisinage d’un élément x₀ de , adhérent à I.

A) Négligeabilité.

1) Définition et notation :

On dira pour simplifier que g est un ‘petit o’ de f et on écrira g=o(f) au V(x₀) ou
ou encore g est un o(f) au V(x₀).

2) PremiÈres remarques.

Dire que signifie qu’il existe une fonction e de variable réelle et à valeurs réelles et un voisinage V de x₀ tels que : ( xII V g(x)= f(x)e(x) ) et (.)


_ Si la fonction f est à valeurs non nulles au voisinage de x₀ , c’est à dire s’il existe un voisinage U de ce point tel que sur I U f(x) ¹ e(x) coÃ�ncide alors nécessairement sur I V U avec le quotient .
On a dans ce cas l’équivalence :

_ Si la restriction de f à I- est à valeurs non nulles au voisinage de x₀ et que f(x₀)=g(x₀)=0, e coÃ�ncide encore sur (I-) U V avec le quotient de g par f et pourra Être prolongée en x₀ en posant e(x₀)=0. On a dans ce cas l’équivalence :

Les résultats classiques concernant le comportement relatif des puissances, logarithmes et exponentielles se traduisent alors :

3) RÈgles pratiques de simplification.
Grace aux théorÈmes de base concernant les fonctions de limite nulle on démontre facilement les propriétés suivantes :

_ La somme de deux fonctions négligeables devant f au voisinage de x₀ est aussi négligeable devant f au voisinage de cet x_0.

En effet si au V(x₀) on a
On en déduit au V(x₀) :

On pourra résumer cette rÈgle par la simplification :

_ Le produit d’une fonction négligeable devant u au V(x₀) par une fonction négligeable devant v au V(x₀) est négligeable devant le produit u.v au V(x₀)

En effet de g(x)=u(x)a(x) avec et h(x)=v(x)b(x) avec on déduit immédiatement (g.h)(x)=(u.v)(x).(a(x).b(x)) avec

Ici aussi on pourra résumer par :

_ Si g est négligeable devant f au V(x₀), son produit par une fonction quelconque j (définie au V(x₀) ) sera négligeable devant le produit j.f au voisinage de x₀.

De g(x)=f(x)a(x) avec on déduit en effet g(x)j(x)= f(x)j(x)a(x) avec .
On résumera cette rÈgle par :

_ Notons pour terminer la relation de transitivité : Si h est négligeable devant g au V(x₀) et g négligeable devant f au V(x₀), alors h est négligeable devant f au V(x₀)

En effet, par hypothÈse h(x)=g(x)a(x) et g(x)= f(x)b(x) avec
On en déduit h(x)=f(x)a(x)b(x) avec

Ecriture condensée :

B) Equivalence.

1) Définition et notation :

On écrira en abrégé : g f au V(x₀) ou encore
On pourra dire aussi : g équivaut à f en x₀.

2) Rapports avec la négligeabilité.

Dire qu’une fonction u tend vers 1 en x₀ revient à dire que u=1+e avec e fonction de limite nulle en x₀. Ainsi les fonctions équivalentes à f en x₀ sont celles définies au voisinage de ce point par une formule du type g(x)= f(x)(1+e(x))= f(x)+ f(x)e(x) avec
autrement dit les fonctions sommes de f avec une fonction négligeable devant f au V(x₀).

On écrira pour résumer cela : Au V(x₀) g f g=f+o(f) .

Ainsi tout polynôme non nul est équivalent au voisinage de +¥ ou - ¥ a son terme dominant, puisque somme de ce terme de degré maximal , soit a_nxⁿ, avec des monômes de degré strictement inférieur à n, donc négligeables devant a_nxⁿ.

_ Comme pour la négligeabilité, on obtient des définitions équivalentes simplifiées dans le cas oÙ f ne s’annule pas au voisinage de x₀ : g f , ainsi que dans le cas oÙ
la restriction de f à I- ne s’annule pas au V(x₀) et oÙ f et g s’annulent simultanément en x₀.
g f

Les études locales à l’origine effectuées sur les fonctions usuelles se traduisent en termes d’équivalents par les relations : Au V(0)

3) RÈgles usuelles d’emploi.

On vérifie trÈs facilement les rÈgles suivantes en utilisant les principaux résultats sur les limites ou les propriétés de la négligeabilité étudiées précédemment.

_ Réflexivité. Toute fonction équivaut à elle mÊme en tout point. f f .

_ Symétrie. Si g équivaut à f au V(x₀), alors f équivaut à g au V(x₀). f g Þ g f .

_ Transitivité. Si au V(x₀), h est équivalente à g et g équivalente à f, alors h équivaut à f en x₀

(h g et g f Þ h f .

_ Produits, inverses, quotients.

Si au voisinage de x₀ on sait que u v et f g, on peut alors en déduire, au voisinage de x₀ :

(a représentant un exposant réel fixe et sous réserve que les fonctions définies par les opérations ci dessus soient effectivement définies au voisinage de x₀)

_ Remplacement d’un terme par un équivalent dans une relation de négligeabilité.

Si au voisinage de x₀, g est négligeable devant f, tout équivalent u à g en ce point est négligeable devant tout équivalent v à f.

Si au V(x₀) : g=o(f) , g u et f v , alors on peut conclure u =o(v) en ce point x₀..


4) PiÈges à éviter.

En dehors des rÈgles évoquées précédemment, toute transformation portant sur une relation d’équivalence ou de négligeabilité doit Être justifiée par un recours rigoureux aux théorÈmes et définitions clefs sur les limites.
L’équivalence en un point x₀ de deux fonctions f et g ne signifie pas que l’on peut remplacer f par g dans une étude locale en x₀ oÙ interviennent des opérations quelconques mettant en jeu f.

Exemples :
_ Trouver un équivalent en +¥ de s(x)=
On a bien sÛr f(x)= au voisinage de +¥ d’aprÈs la rÈgle sur le quotient d’équivalents alliée à celle sur le comportement des polynômes à l’infini.

On peut Être tenté de remplacer alors f(x) par l’équivalent élémentaire x ce qui conduirait pour s(x) à l’équivalent : x+2-x=2 en +¥.
Or la réduction au mÊme dénominateur conduit de maniÈre rigoureuse à s(x)=
On ne peut donc en rÈgle générale trouver un équivalent d’une somme en remplaçant un de ses termes par un équivalent.

_ Partons de la relation élémentaire : x²+x x² au voisinage de +¥. On serait tenté d’en déduire que les exponentiels seront aussi équivalents en +¥.

Or d’oÙ l’on déduit que e^x est en fait négligeable devant en +¥

_ De mÊme x+p x en +¥ n’entraine pas sin(x+p)=-sin(x) sin(x) au voisinage de +¥.

_ De maniÈre générale u v au V(x₀) ne permet pas de déduire pour une fonction quelconque j , que ju jv au voisinage de ce mÊme point x₀.

_ Notons cependant un bon point pour le passage au logarithme, sous couvert d’une condition supplémentaire :

(On suppose bien sÛr les fonctions strictement positives au voisinage de x₀)

En effet, par hypothÈse, au voisinage de x₀ : u(x)=v(x)l(x) avec l de limite 1 en en x₀.
On en déduit, toujours au V(x₀), que : ln(u(x))=ln(v(x))+ln(l(x)).

v(x) tendant vers l ¹1 en x₀ , on est sÛr que ln(v(x)) sera non nul sur un voisinage de x₀, ce qui permettra d’écrire :

Or le numérateur ln(l(x)) tend vers ln(1)=0 en x₀ et le dénominateur tend vers ln(l)¹0 si l est un réel strictement positif distinct de 1, tend vers +¥ si l =+¥, et enfin vers -¥ si l=0.
Dans les trois cas le quotient tend vers 0 en x₀ .
On a donc bien ln(u) ln(v) en ce point.

Par contre si l=1 le passage au ln est illicite. Pour s’en convaincre considérer par exemple l’équivalence de et au voisinage de +¥, alors que le rapport des logarithmes du deuxiÈme au premier tend vers 10.

4) Changements de variable.

Si les compositions à gauche, c’est à dire les actions sur les images ne sont pas autorisées en général, par contre les compositions à droite traduisant un changement de variable sont tout à fait licites, ceci d’aprÈs le théorÈme de composition.

Par exemple si g est équivalente à f au voisinage de x₀ et si on effectue le changement de variable x=j(t) tel que on peut en déduire que g(j(t)) f j(t)) au V(t₀)
En effet par définition mÊme, au V(x₀) : g(x)= f(x)u(x) avec u de limite 1 en x₀
On en déduit aussitôt qu’au voisinage de t₀ : g(j(t))= f(j(t))u(j(t)) avec

On peut reproduire le mÊme schéma pour une relation de ‘petit o’.
Dans la pratique on renverra donc fréquemment les études locales proposées à une analyse à l’origine 0 oÙ sont donnés les développements des fonctions usuelles.

5) Fonctions équivalentes et fonctions de limites égales en un point.
Ces deux notions ont des liens mais sont loin d’Être synonymes !

Ainsi deux fonctions tendant vers +¥ en x₀ n’ont aucune raison de voir leur quotient tendre vers 1, de mÊme si ces deux fonctions sont de limite nulle au point d’étude.
Dans les situations envisagées nous sommes en effet dans les cas d’indétermination du quotient et les contre-exemples sont légion.

Par contre il est clair que si deux fonctions tendent vers une limite réelle l non nulle en x₀, chacune de ces fonctions sera équivalente à la constante l en x₀ et donc par transitivité ces fonctions seront bien équivalentes eau point considéré.

Notons pour finir le résultat évident montrant l’impact de la notion d’équivalent dans le calcul pratique des limites :

Si g f au V(x₀) et si f tend vers l en x₀ , alors on peut en déduire que g admet aussi l pour limite en x₀.

En effet, par hypothÈse, au V(x₀) : g(x)= f(x)u(x) avec u de limite 1 en x₀
Il suffit ensuite d’utiliser le théorÈme du produit.

Mais attention là encore, deux fonctions peuvent Être équivalentes au voisinage d’un point sans qu’aucune n’ait une limite en ce point.
Considérer par exemple l’équivalence au V(+¥) :
C) Domination.

1) Définition et notation.

On dira que g est un ‘grand O’ de f au voisinage de x₀ et on écrira en abrégé g=O(f) au V(x₀) ou également
Ici encore si f est à valeurs non nulles au voisinage de x₀ , on montre que la définition revient à dire que le quotient de g par f est borné au V(x₀), c’est à dire qu’il existe un réel M > 0 et un voisinage V de x₀ tel que xII V Þ
On établit alors sans difficultés les résultats suivants :

_ Si au V(x₀) g=o(f) ou g f, alors g =O(f)

_ Si f est bornée au voisinage de x₀, alors au V(x₀) : f=O(1)

_ Si au V(x₀) h est un o(g) et g un O(f), alors au V(x₀) h est un o(f).

_ Si au V(x₀) h est un O(g) et g un o(f), alors au V(x₀) h est un o(f)

_ Le produit d’un o(f) par un O(g) est un o(f.g).

_ Dans la pratique on utilisera surtout la remarque suivante :
Si b est bornée au voisinage de x₀, alors tout produit par b d’un o(f) est un o(f) et tout ‘petit o’ d’un produit par b de f est aussi un o(f).


Les démonstrations trÈs faciles sont laissées en exercices.

Exercices sur les limites.

En transformant convenablement les expressions proposées, résoudre les problÈmes aux limites suivants :
a) b) c)

En utilisant les propriétés algébriques classiques des logarithmes et exponentielles, résoudre les problÈmes aux limites suivants :
a) b) c)

En utilisant un changement de variable, étudier les problÈmes aux limites suivants :
a) b) c)

Déterminer les limites suivantes :
a) b) c)

Déterminer les limites suivantes :
a) b) c)
On utilisera entre autres les équivalents classiques en 0 : ln(1+x) x ; e^x-1 x ; 1-cos(x)

Déterminer en utilisant les théorÈmes liés à l’ordre sur R, les limites suivantes :
a) b) c)
( E(x) désignant la partie entiÈre du réel x )

Montrer que les fonctions définies par les formules suivantes n’ont pas de limites en + ¥ :

a) x(sin(x)+1) b) x⁴cos(x)+x³sin(x) c) x²-xE(x)

E(x) désignant la partie entiÈre du réel x, c’est à dire le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x, étudier les problÈmes aux limites suivants :
a) b) c)

On admet l’existence d’une limite réelle en 0 pour
a) En transformant convenablement f(2x), trouver la valeur de cette limite.
b) Utiliser le résultat précédent pour déterminer et

Simplifier en un seul o(x ^a) au voisinage proposé les expressions :

a) o(x³)+o(x²) au V(0) et V(+¥) b) o(x³)o(x+1) au V(-¥) c) o(ln(x)+x³) au V(+¥)
d) o(x²ln(x)) au V(0) e) au V(0) et V(+¥

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer un équivalent simple aux voisinages mentionnées :

a) ln(x)-3x au V(0) et V(+¥ b) x⁷-1 au V(0), V(+¥) et V(1).

c) au V(0 d) x+sin(x) au V(0) et V(+¥

MÊme exercice pour les expressions :

a) 3^x-2^x au V(+¥), V(-¥) et V(0  b) tan(2x)-1+cos(x) au V(0)
c) x⁴+sin(x)-tan(x) au V(0) et V(). d) x³ln(cos()) au V(+¥

Trouver un équivalent simple pour les expressions :
a) au V(+¥) , V(0⁺) et V(0^-) b) cos(sin(x))-e^x au V(0) et V(+¥)
c) 3^x-x³ au V(0), V(+¥) et V(3). d) au V(+¥) et V(0)

MÊme exercice pour les expressions :

a) au V(+¥) et V(0). b) au V(+¥) et V(0)
c) au V(+¥) et V(0). d) e^x+x¹⁰⁰-(ln(x))¹⁰⁰⁰ au V(+¥

MÊme exercice pour :

a) au V() b) au V(1)
c) au V(0) et V(+¥ d) au V(+¥) et V(0).

On considÈre f(x)=.

a) Trouver un équivalent simple de f(x) au voisinage de +¥ puis de f(x)-1 au V(0).
b) Montrer qu’au voisinage de +¥ ff(x)=1-

On considÈre f(x)=
a) Trouver un équivalent simple de f(x) au voisinage de +¥.

b) Montrer que f(x) ne peut admettre au voisinage de 0 aucun équivalent du type mx ^a avec m et a réels.

Choisir les réels a et b de façon qu’au voisinage de 0, f(x)= admette un équivalent du type mx³, avec m réel à préciser.

Déterminer des équivalents simples pour les expressions suivantes :
a) au voisinage de 0. b) au voisinage de + ¥

Etudier les problÈmes aux limites suivants :
a) b) lim ₀ sin(x)ln(1-cos(x)) c)

Exercices sur les limites. Solutions.

a) = car
b) =. Pour x <0
c) =

a) =
b) =
c) =
Or : tend vers lorsque x tend vers +¥. (ln(x) >0 au voisinage de +¥).
Par continuité de la fonction exponentielle, on obtient donc pour la limite étudiée.

a) On pose X= ce qui nous renvoie à l’étude de .
1 étant racine du numérateur et du dénominateur, on termine en factorisant :
=

b) En posant x=+h, il vient : tan(x)= et cos(2x)=-sin(2h). L’expression étudiée se simplifie alors en et tend vers 1 lorsque h tend vers 0. Ainsi =
c) En posant x= on obtient :
et .
Ainsi =
Or tend vers 0 lorsque h tend vers 0.
On obtient donc d’aprÈs les rÈgles sur les opérations usuelles := -

a) L’expression donnée se simplifie facilement avec les formules de trigonométrie élémentaire :
Elle admet donc pour limite en 0.

b)
La limite de l’expression précédente au point 3 est donc égale à
c) avec X=
Comme , il vient donc : =ln(3)

a)

Or

On sait que et que .
On en déduit d’abord par composition que , puis par la rÈgle du produit : = -

b)
On sait que .
On en déduit, d’aprÈs le théorÈme de composition, que : .
En écrivant l’expression étudiée sous la forme : , on en déduit d’aprÈs le théorÈme du produit que la limite en +¥ sera égale à –1.

c) (x+1)ln(x+1)-xln(x)=xln(+ln(x+1)=
Le premier terme de cette somme tend vers 1 lorsque x tend vers +¥ car ln(1+X) X en 0.
Le deuxiÈme terme tend vers +¥, autre résultat classique sur la fonction ln.
Ainsi : =+¥

a) Pour tout x réel on a évidemment cos(x) ³-1. On en déduit pour tout x réel positif la minoration : x(cos(x)+)³ . La fonction étudiée tend vers +¥ lorsque x tend vers +¥.

b) Pour x ³1 on sait que x ³. Sur le voisinage [1,+¥] de +¥ on aura donc la minoration :
Or sin²(x)+cos⁴(x)=sin²(x)+(1-sin²(x))²=sin⁴(x)-sin²(x)+1=(sin²(x)-)²+³
Ainsi =+¥ d’aprÈs la minoration : , valable sur [1,+¥[ et parce que lim=+¥.

c) D’aprÈs la définition mÊme de la partie entiÈre d’un réel quelconque x, on a l’encadrement classique : x-1 < E(x) £ x.

On en déduit pour tout x >0 : x²-x+3 < xE(x)+3 £ x²+3.

De l’encadrement élémentaire –1 £ sin(x) £ 1 on déduit pour tout x >1 : .



Ainsi, par produit, et pour tout réel x >1 on obtient l’encadrement :


Puisque et que
on en déduit, d’aprÈs le théorÈme d’encadrement, que : =1

a) Posons f(x)=x(sin(x)+1).

_ Pour a_n=2np avec n entier on obtient f(a_n)=a_n
_ Pour b_n=+2np avec toujours n entier on a ici f(b_n)=0.
On a donc mis en évidence deux suites de limite +¥ et telles que les suites des images par f admettent des limites différentes (lim_+¥ f(a_n)=+¥ et lim_+¥ f(b_n)=0)
f n’admet donc pas de limite en +¥.

b) Posons g(x)= x⁴cos(x)+x³sin(x). En utilisant les deux suites employées dans l’exercice précédent on obtient : g(a_n) =(a_n)⁴ et g(b_n)=-(b_n)³.
Ici encore les limites des suites images diffÈrent : lim_+¥g(a_n)=+¥ et lim_+¥g(b_n)=-¥
g n’admet donc pas non plus de limite en +¥.

c) Posons h(x)=x²-xE(x)=x(x-E(x))

_ Pour a_n=n avec n entier on obtient h(a_n)=0 , suite constante de limite nulle.
_ Pour b_n=n+avec n entier, il vient h(b_n)= , suite qui tend vers +¥.
h n’admet donc pas de limite en +¥

a)
De x-1 <E(x) £x on déduit aussitôt pour tout x >1.
On connait aussi l’encadrement classique 0 £ln(1+X) £X valable pour tout X ³0.
En combinant les deux remarques précédentes il vient naturellement : x > £ln( et par suite : 0 £
On conclut avec le théorÈme d’encadrement : =0.

b) Posons f(x)=
_ Pour a_n=n avec n entier, nous avons f(a_n)=a_n , suite divergent vers +¥.
_ Pour b_n=n+ avec n entier non nul, on obtient f(b_n)=b_ncos(=b_nsin(
Or b_n n au voisinage de +¥ et sin(x) x au voisinage de 0. Il s’ensuit d’aprÈs les rÈgles de composition et du produit, que f(b_n) n() au voisinage de +¥.
f(a_n) et f(b_n) n’ayant pas le mÊme comportement asymptotique en +¥, il s’ensuit que f n’admet pas de limite en +¥.

c) Posons g(x)= et x=E(x)+r(x) pour tout réel x.

On en déduit g(x)=xr(x)+E(x)cos²(p.r(x))³E(x)[r(x)+cos²(p.r(x))], car r(x) ³0.

En fait, r(x) excédent de x sur sa partie entiÈre, décrit l’intervalle [0,1[.
Il est facile de voir que sur cet intervalle, la fonction y ah(y)=y+cos²(py) est minorée par un réel strictement positif.
En effet si y I[0,] on a 0 £py £ et par suite h(y)³
Maintenant, si y I [,1[ il est évident que h(y)³
On a donc bien y I[0,1[ , h(y)³ et par suite x IR⁺ g(x)³
On en déduit lim_+¥g(x)=+¥ d’aprÈs la rÈgle de minoration, puisque lim_+¥E(x)=+¥

a) f(2x)=
On a donc établi que pour x non nul, f(2x)=
Notons l la limite supposée exister et réelle de f(x) en 0.
D’aprÈs le théorÈme de composition on aura donc aussi lim ₀ f(2x)=l.
On connait par ailleurs
En utilisant les rÈgles opératoires, les remarques ci dessus et l’équation fonctionnelle vérifiée par f, on en déduit la relation aux limites l=. La seule valeur possible pour la limite est donc l=-.
b) =
Or au voisinage de 0, sin(x) x et 1-cos(x) . Il s’ensuit
et par suite =l+

Ainsi =

a)_ Au voisinage de 0, x³ est un o(x²). Tout o(x³) est donc un o(o(x²)) donc aussi un o(x²)
Ainsi un o(x³)+o(x²) est une somme de deux fonctions négligeables devant x² donc est aussi un o(x²).
_ Au voisinage de +¥, x² est un o(x³), tout o(x²) sera un o(o(x³)) donc un o(x³) et une somme du type o(x²)+o(x³) peut Être considérée comme un o(x³)+ o(x³) et donc aussi un o(x³).

b) Au voisinage de -¥ on sait que x+1 x. Tout o(x+1) est donc un o(x) et un produit du type o(x+1)o(x³) sera un o(x). o(x³) et par suite un o(x⁴) d’aprÈs la rÈgle multiplicative.

c) Au voisinage de +¥, ln(x) est négligeable devant toute puissance positive de x.
Ainsi ln(x)+x³ x et tout o(ln(x)+x³) sera aussi un o(x³).

d) Au voisinage de 0, ln(x) est négligeable devant toute puissance x^a avec a<0.
Ainsi x²ln(x) est un o(x^2-a) et tout o(x²ln(x)) est aussi un o(x^2-a) quel que soit a <0.

e) _ Au voisinage de 0, ln(1+x) x. On en déduit . Tout o() est donc un o().En ce mÊme voisinage, 1 et par suite tout o() sera un o(1).
On en conclut que toute somme du type o()+o() est un o()+o() donc encore un o().

_ Au voisinage de +¥, ln(1+x) est équivalent à ln(x) donc est négligeable devant tout x^a avec a >0. Ainsi est un o() pour a >0. De mÊme x+ 1 x ce qui entraine que tout o() est un o(x^-1).
On en déduit que toute somme du type o()+o() sera aussi une somme du genre o()+o() donc un o().

a) Au voisinage de 0, 3x de limite nulle est négligeable devant ln(x) qui tend vers -¥.
On a donc ln(x)-3x du type ln(x)+o(ln(x)) équivalent à ln(x).

Au voisinage de +¥ on sait que ln(x) est négligeable devant x .
Ainsi ln(x)-3x est du type -3x +o(3x) -3x.

b)_ En 0, x⁷-1 tend vers le réel –1, donc est équivalent à cette limite réelle non nulle.

_ Au voisinage de +¥, x⁷-1 est du type x⁷+o(x⁷) x⁷

_ Au voisinage de 1, la factorisation x⁷-1=(x-1)(x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1) entraine l’équivalence : x⁷-1 7(x-1) car le facteur x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1 tend vers 7 au point 1.

c) . Le dénominateur ayant pour limite 2 lorsque x tend vers 0, on en déduit qu’au voisinage de 0 :
d)_ Au voisinage de 0 on sait que sin(x) x .On en déduit que sin(x) et donc que la somme x+ sin(x) est du type x++o() ou encore de la forme x+o(x)+o(o(x)) car est négligeable devant x en 0. Ainsi en 0, x+ sin(x) x

_ Au voisinage de +¥, est négligeable devant x, de mÊme que sin(x) puisque sinus est une fonction bornée. On a donc x+ sin(x) du type x+o(x) x

a) et .
On en déduit qu’au voisinage de +¥ , 3^x
et Donc, au voisinage de -¥, -2^x

_ Pour l’étude en 0, partons du développement classique : e^x=1+x+o(x)

On en déduit 3^x= ainsi que 2^x=
Ce qui nous donne : 3^x-2^x=x(ln(3)-ln(2))+o(x) x(ln(3)-ln(2))

b) On sait qu’au voisinage de 0, tan(x) x et 1-cos(x) . On en déduit le développement :
tan(2x)-1+cos(x)=2x+o(x)-+o(x²).
Or x² est négligeable devant x en 0, ce qui conduit à l’écriture tan(2x)-1+cos(x)=2x+o(x) 2x

c) sin(x)-tan(x)= équivaut au voisinage de 0 à - d’aprÈs les équivalents élémentaires et les rÈgles concernant les produits et quotients.
Ainsi, x⁴+sin(x)-tan(x)=x⁴-+o(x³) - car au voisinage de 0 , x⁴ est un o(x³).
Au voisinage de , x⁴ et sin(x) sont bornées, alors que
On en déduit immédiatement que x⁴+sin(x)-tan(x)=-tan(x)+o(tan(x)) -tan(x)

d) Partons du développement classique au voisinage de 0 : cos(X)=1-+o(X²)
On en déduit qu’au voisinage de +¥, .
Utilisons maintenant le développement au voisinage de 0 : ln(1+X)=X+o(X)
Grace au changement X=- on en déduit, au voisinage de +¥ , la relation :
ln()= -+o(-)=-+ -
Finalement x³ln() - au voisinage de +¥

a) Ecrivons =
De l’équivalence usuelle e^X-1 X , valable au voisinage de 0, on tire au voisinage cette fois de +¥. Comme on en déduit
_ , alors que tend vers 0.
On en déduit qu’au V(0⁺),
_ Lorsque x tend vers 0 par valeurs négatives, tend vers le réel non nul –e.
Donc au V(0^-), -ex

b) _ Au voisinage de 0, d’aprÈs les développements usuels, on peut écrire :
cos(sin(x))-e^x=cos(x+o(x))-1-x+o(x)=1--1-x+o(x)
AprÈs simplifications, il reste : cos(sin(x))-e^x= -x-+o(x)+o(x²) -x
_ Au voisinage de +¥, cos(sin(x)) est borné alors que e^x tend vers +¥.

Ainsi cos(sin(x))-e^x -e^x


c) _ lim₀ 3^x-x³=1 , réel non nul, donc 3^x-x³ 1 au V(0)

_ On sait qu’au V(+¥) , X ³ est négligeable devant e^X. On en déduit que x³=o() et que par suite, toujours au V(+¥) : 3^x-x³ 3^x.

_ Pour l’étude au voisinage de 3, posons x=3+h. On obtient la nouvelle forme :

3^x-x³=27(3^h)-(27+27h+9h²+h³)=27(3^h-1)-27h+o(h)

Or 3^h-1==hln(3)+o(h) au voisinage de 0.
On obtient donc finalement l’équivalence : 3^x-x³ 27(ln(3)-1)(x-3) au V(3)

d) _ Au voisinage de +¥, =
En effet tend vers 0 pour x tendant vers +¥ donc est négligeable devant cos(x)+2 qui est toujours supérieur ou égal à 1.
_ Au voisinage de 0, le numérateur de tend vers le réel non nul 3, d’oÙ l’on tire :

a) =

_ Au voisinage de +¥, ln(x) est négligeable devant x et toute puissance de x est négligeable devant e^x. On en déduit immédiatement que

_ Lorsque x tend vers 0, le numérateur de la mÊme fraction étudiée tend vers 1.
D’oÙ l’équivalence au voisinage de 0 :

b) Il s’agit d’un quotient, étudions donc séparément numérateur et dénominateur.

_ Au V(+¥), ln(x)+x=x+o(x) x . Et ln(e^x+1)-ln(2)=x+ln(1+e^-x)-ln(2) x

Le quotient est donc équivalent à 1 au voisinage de +¥.

_ Au V(0), ln(x)+x=ln(x)+o(ln(x)) ln(x).
ln(e^x+1)-ln(2)==
Ainsi le quotient équivaut au voisinage de 0 à 2


c) Pour x >0, =
Du développement usuel au voisinage de 0, on tire alors au voisinage de +¥ : et
On en déduit =x²(x ^-3-x ^–2+o(x ^–3)+o(x ^–2)) -1 car x ^–3 est un o(x ^–2) au voisinage de +¥.

_ Au voisinage de 0, x⁴+3x 3x, donc .
De plus il est clair que x .
On a donc car x est négligeable devant au V(0).

d) ln(x) est négligeable devant x au voisinage de +¥ et toute puissance de x est négligeable devant e^x toujours en V(+¥) .
On en déduit facilement qu’en ce mÊme voisinage: e^x+x¹⁰⁰-(ln(x))¹⁰⁰⁰ =e^x+o(e^x)+o(e^x) e^x

a) En posant x= on obtient : =

_ Le numérateur équivaut pour h voisin de 0 à -3h
_ Le dénominateur se développe au voisinage de 0 en et équivaut donc à .
D’aprÈs la rÈgle du quotient on a donc au V() : -
b) Pour l’étude au voisinage de 1 nous poserons x=1+h avec ici h <0 vu la racine.
Ainsi au voisinage de 0 : =
Et au voisinage de 1 :

c) =exp()
_ Au voisinage de 0, ln(e^x+x)=ln(1+x+o(x)+x) 2x.

Le quotient par x équivaut alors à 2 et tend vers ce réel pour x tendant vers 0. Par continuité de l’exponentielle la fonction étudiée a donc pour limite e² en 0 et équivaut donc à ce réel non nul au voisinage considéré.

_ Au voisinage de +¥ on peut écrire ln(e^x+x)=x+ln(1+xe^-x) x, car lim_+¥ ln(1+xe^-x)=0.
Le quotient par x équivaut donc à 1 et la fonction étudiée tend vers e¹ au voisinage de +¥, toujours par continuité de l’exponentielle, donc équivaut à ce réel non nul e.

d) =
_ Au voisinage de +¥ le numérateur précédent équivaut à x²e^x et le dénominateur à x.
Il s’ensuit que le quotient est équivalent à xe^x

_ Au voisinage de 0, le numérateur équivaut à x² et le dénominateur à ln(x), le quotient est donc équivalent à

a) _ Pour x >0, =x()
Utilisons le développement classique au voisinage de 0 :
On en déduit au V(+¥) : = et donc

_ Au voisinage de 0, on a directement
On en déduit que f(x)-1= -x+x⁴+o(x⁴) -x au voisinage de 0.

b) ff(x)=f(X) avec X= f(x) qui tend vers 0 lorsque x tend vers +¥ d’aprÈs le a)
On peut donc écrire f(X)=1-X+o(X) , ceci d’aprÈs l’équivalence en 0 de f(X)-1.
Or X=f(x)= +o(x^-3) pour x voisin de +¥.
Par composition on a donc finalement, toujours au voisinage de +¥ :
ff(x)=1-+=1-

a) De sin(X) X au voisinage de 0 on tire sin() au voisinage de +¥ et par suite
x² 3x et admet donc pour limite +¥ pour x tendant vers +¥.
1-cos(x) étant borné est négligeable devant toute fonction tendant vers l’infini, ce qui assure x²+1-cos(x) équivalent à 3x au V(+¥).
En prenant la racine, on en déduit f(x) au voisinage de +¥.


b) supposons qu’au voisinage de 0, f(x)=mx^a +o(x^a). On en déduit par élévation au carré et développement élémentaire de cos(x) une écriture du type :
x²+.
En divisant par x² il vient, toujours au V(0) : +
Or les deux membres de cette égalité sont incompatibles, le premier n’admettant pas de limite en 0, alors que le deuxiÈme tend vers 0 si a >1, vers +¥ si a<1 et vers m² si a=1.

On sait qu’au voisinage de 0, .
f(x)= ne peut donc admettre en 0 un équivalent du type mx³ que si a=. Etudions alors la différence d(x)=
Celle ci équivaut au voisinage de 0 à -, ce qui montre que la seule valeur possible pour le paramÈtre b est -.
Formons alors la différence f(x)=d(x)+
L’examen rapide du comportement des numérateurs et dénominateurs au voisinage de 0 nous montre que f(x) est bien équivalent à un multiple de x³.
Plus précisément, on obtient f(x) .

a) = au voisinage de 0.
Le développement usuel de cos au voisinage de 0 donne alors :
cos(x)=1- et .
On en déduit cos²(=1-x+o(x), puis cos(x)-cos²(=x+o(x) x , ceci toujours au V(0)
On conclut donc au voisinage de 0.

b)
A partir du développement élémentaire ln(1+X)=X+o(X) au voisinage de 0, on obtient donc avec ce qui précÈde, et au voisinage de +¥ :
Enfin, de l’équivalence élémentaire sin(X) X au voisinage de 0, on tire par composition avec la relation précédente : sin( au V(+¥

a) .
Posons x= pour se ramener à une étude au voisinage de 0.
.
Donc la fonction étudiée tend vers e⁰=1 lorsque x tend vers , par continuité de la fonction exponentielle.

b) Au voisinage de 0, sin(x)ln(1-cos(x)) xln( 2xln
Cette fonction est donc de limite nulle en 0.

c) Posons x=e+h pour se ramener à une étude à l’origine.
.
La fonction étudiée a donc pour limite en e.