DIFFRACTION DES ONDES SPHERIQUES (DIFFRACTION DE FRESNEL)

Diffraction des ondes sphériques (diffraction de Fresnel)

Soit la situation suivante:

Þ          une source lumineuse ponctuelle et monochromatique émet des ondes sphériques

Þ          sur le trajet de la lumiÈre on interpose un paravent, muni d'un petit orifice circulaire de rayon a sur lequel se produit la diffraction

Þ          le résultat de la diffraction est observé dans le point M, colinéaire avec la source S et le centre O de l'orifice

Þ          la longueur d'onde l de la lumiÈre est beaucoup plus petite que les distances r et r₀, ou le rayon a de l'orifice.

Considérons la surface d'onde sphérique S, tangente au bord de l'orifice. L'expression de l'intensité du champ électrique de l'onde lumineuse (ou du vecteur lumineux) dans les points de la surface S est

On divise la surface S dans les surfaces élémentaires S S S ,, en traçant des sphÈres centrés dans le point d'observation M, dont les rayons augmentent successivement par une demi-longueur d'onde. Selon le principe d'Huygens, ces surfaces élémentaires (nommées zones de Fresnel) émettent des ondes cohérentes, dont les amplitudes sont proportionnelles avec les aires S_k des zones. De plus, on va considérer que l'amplitude de l'onde secondaire dépend d'un facteur f_k(q_k , qui, à son tour, décroit lentement en fonction de l'angle q_k formé par le rayon vecteur de la zone de Fresnel par rapport à la source S et son rayon vecteur par rapport au point d'observation M. Ce facteur s'annule pour q . D'aprÈs ces affirmations, on écrit

L'onde secondaire se propage comme onde sphérique, ainsi que pour le point M est valable la relation

ou

Le vecteur lumineux du point M est le résultat de la superposition des toutes les ondes secondaires y incidentes. Conformément au théorÈme de superposition de l'intensité du champ électrique, le vecteur lumineux est donné par la somme:

On observe que selon la définition des zones de Fresnel on peut écrire

ou

Il résulte

Calculons la surface d'une zone de Fresnel. On observe facilement que celle-ci est environ l'aire d'une couronne circulaire, de largeur h_k-h_k-1

Mais,

ou

considérant l, x_k << r, r₀, h_k il résulte

Alors

L'aire de la zone de Fresnel est

c'est-à-dire l'aire de la surface des zones de Fresnel est constante, dépendant seulement de la longueur d'onde de la lumiÈre et des distances entre la source lumineuse et le point d'observation.

Avec ce résultat, l'expression du vecteur lumineux en M devient

Par l'approximation , il reste

ou

L'intensité lumineuse dans le point d'observation est proportionnelle au carré de l'amplitude du vecteur lumineux

Les conclusions sont les suivantes:

Þ          l'intensité lumineuse est proportionnelle à l'inverse de la distance entre la source et le point d'observation, la situation semblant à une onde sphérique propagée sans obstacle entre S et M.

Þ          l'intensité lumineuse dépend du facteur

oÙ f_k,1=f_k/f₁=f(q_k)/ f(q

Puisque, mÊme dans l'absence de la fente, r_k ne peut pas dépasser la valeur r_{n max}, et les points situés en dehors de la surface d'onde S ne contribuent pas à l'intensité lumineuse de M, il résulte

n < n_max = fini

fn_max, 1

D'autre part, parce que les facteurs f_k varient lentement, on peut faire l'approximation

Dans ces conditions et dans l'absence de la fente

ou

Il résulte que le facteur F1, n_max est environ moitié de la contribution de la premiÈre zone de Fresnel.

Notant par I_0M l'intensité lumineuse du point M dans l'absence de la fente, il résulte

ou

Mais,

ou

Par analogie

Comme , on peut écrire

ou

En fonction du nombre de zones de Fresnel dont l'orifice est divisé, la luminosité du point M varie, ayant des maxima quand le nombre de zones est impair et minima dans le cas d'un nombre pair de zones.

La plus grande intensité lumineuse s'obtient si n = 1 (c'est-à-dire l'orifice a une ouverture égale à la premiÈre zone de Fresnel) : I_M1 = 4I_0M. La plus petite intensité lumineuse s'obtient si n = 2, quand I_M2

Dans le plan perpendiculaire à l'axe SM, la luminosité passe aussi par des maxima ou minima. On obtient ainsi une figure d'interférence à franges circulaires, concentriques. Si le nombre de zones de Fresnel est impair, dans le centre de la figure se forme un maximum, et si le nombre de zones de Fresnel est pair, dans le centre se forme un minimum.

Quand le point M parcourt l'axe SM, s'éloignant de la source S, le nombre de zones de Fresnel comprises par l'orifice varie, ainsi que l'intensité lumineuse varie, passant par des maxima et minima. Par conséquent, l'orifice se comporte comme une lentille à plusieurs foyers. La position d'un 'foyer' peut Être déterminée de la condition que le rayon de l'orifice doit correspondre à un nombre impair de zones de Fresnel

Ces considérations nous permettent de mieux comprendre la notion de 'rayon de lumiÈre'. Comme nous avons déjà montré, l'intensité lumineuse possÈde la mÊme valeur dans le point M aussi bien quand il n'y a pas d'obstacle sur le trajet de la lumiÈre que si l'orifice du paravent a une aire égale à moitié de la premiÈre zone de Fresnel. Dans ce dernier cas, le diamÈtre de l'orifice est

Prenant r = r₀ = 1m ºi l = 562,5 nm (de la lumiÈre verte), il résulte

cette valeur peut Être considérée comme 'le diamÈtre du rayon lumineux', c'est-à-dire le diamÈtre du 'canal' le long duquel l'énergie lumineuse est transportée de la source au point d'observation.

L'analyse faite à la 'diffraction de Fresnel' suggÈre une possibilité trÈs intéressante de concentrer la lumiÈre dans un point, sans faire recours aux lentilles classiques. Ainsi, si sur le trajet de la lumiÈre émise par la source on interpose un paravent opaque pour les zones impaires de Fresnel et transparent pour les zones paires (ou vice-versa), alors, le facteur de diffraction devient

F = (1 + f_3,1 + f_5,1 +)

ainsi que F² >> 1. Dans ce cas: I_M >> I₀, c'est-à-dire l'intensité lumineuse dans le point d'observation est beaucoup plus grande que dans l'absence du paravent. Ce dispositif optique a le rôle d'une lentille convergente et s'appelle lentille de Fresnel. On utilise des lentilles de Fresnel comme des lentilles convergentes de grandes dimensions, celles-ci étant confectionnées plus facilement (et donc étant moins chÈres). En pratique, on emploie des lentilles de Fresnel dans la construction de feux d'automobiles ou des rétroprojecteurs.