Distribution de courant électrique et de puissance dans une couche conductrice sphérique

Distribution de courant électrique et de puissance dans une couche conductrice sphérique

Soit une couche sphérique, conductrice, homogÈne, de conductivité s

On applique une tension électrique constante U entre les faces intérieure et extérieure de la couche. Vu que la tension U est constante, le courant électrique engendré sera stationnaire. La conséquence est que l’intensité du courant à travers n’importe quelle surface fermée est nulle

Soit maintenant la surface qui enferme le volume délimité par l’angle solide dW, entre les sphÈres de rayons r₁ et r. Par raisons de symétrie, la densité de courant doit Être dirigée en direction radiale. Le flux de la densité de courant à travers cette surface est nul

j n ds₁ + j nds= 0

ou

-j₁ds₁ + jds = 0

Exprimant la grandeur de l’aire de l’élément de surface en fonction de l’angle solide, il résulte

Dans tout point de la surface S₁, ou de la surface S, la densité de courant est constante (j peut dépendre seulement du rayon r de la surface).

Par l’intégration de la relation, on obtient

On obtient

I = I₁

ce qui signifie que l’intensité du courant est constante dans l’entiÈre couche sphérique.

Une autre conclusion est que

c’est-à-dire la densité de courant décroit inversement proportionnel au carré de la distance jusqu’au centre de la sphÈre, étant dirigée dans la direction radiale.

L’intensité du champ électrique à l’intérieur de la couche sphérique est

et la densité de puissance est

La puissance totale dissipée à l’intérieur de la couche sphérique peut Être calculée par l’intégration. La puissance délivrée dans une mince couche, de rayon intérieur r et épaisseur dr, est écrite sous la forme

La puissance totale s’exprime comme le résultat de l’intégrale

La tension électrique U se calcule en connaissant l’expression de l’intensité du champ électrique et suivant un chemin d’intégration radial

Selon la loi d’Ohm, la résistance électrique de la couche sphérique est

On observe que la puissance fournie par la couche sphérique peut Être écrite comme

P = RI