FLUX DE L'INTENSITE DU CHAMP ELECTRIQUE, THEOREME DE GAUSS POUR LES MILIEUX HOMOGENES

Flux de l'intensité du champ électrique, théorÈme de Gauss pour les milieux homogÈnes

Envisageons le champ électrique représenté par des lignes de champ et deux surfaces S et S' de la figure ci-jointe. Qu'est-ce qu'il y a du commun entre les deux surfaces?

Il est facile d'observer que ni les grandeurs des surfaces, ni leurs orientations ne sont pas ressemblantes, mais, en échange, elles sont traversées par le mÊme nombre de lignes de champ. On dit dans ce cas que le flux de l'intensité du champ électrique à travers les deux surfaces est le mÊme. La représentation intuitive du flux de l'intensité du champ électrique est donnée par le nombre des lignes de champ qui pénÈtrent dans la surface. Evidemment, ce nombre croit si:

O le nombre de lignes de champ dans le voisinage de la surface croit (c'est-à-dire au fur et à la mesure que l'intensité du champ électrique augmente)

O l'aire de la surface croit

O la surface est orientée de telle maniÈre que les lignes de champ interceptées par la surface sont plus nombreuses

On peut synthétiser ces observations dans la formule mathématique

dY = E ds cos(a

oÙ

O dY est le flux de l'intensité du champ électrique à travers la surface élémentaire ds, surface suffisamment petite pour considérer que l'intensité du champ garde sa valeur et le mÊme angle avec la normale dans tout point

O ds est l'aire de la surface élémentaire

O a est l'angle entre le vecteur intensité et la normale

D'une maniÈre plus compacte, on peut écrire

dY = E ds

c'est-à-dire le flux de l'intensité du champ électrique à travers une surface élémentaire est égal au produit scalaire entre le vecteur intensité et le vecteur surface.

Pour calculer le flux de l'intensité du champ électrique à travers une surface quelconque il suffit de la diviser en petites surfaces élémentaires, calculer les flux individuels et les sommer:

Supposons ensuite qu'on dispose d'une charge ponctuelle et d'une surface fermée.

Si on place la charge q à l'intérieur de la surface, on constate que toutes les lignes de champ pénÈtrent la surface, chacune dans un seul point, ressortant puis en extérieur. Par conséquent, le flux de l'intensité du champ électrique est représenté par l'ensemble des lignes de champ engendrées par la charge q. De plus, si on prend en considération une autre surface S ' qui entoure tant la charge q que la surface S, le flux à travers S ' sera égal au flux à travers S. On résulte ainsi que le flux de l'intensité du champ électrique créé par une charge électrique à travers la surface fermée qui l'entoure ne dépend ni de la forme, ni de la grandeur de la surface.

Si la charge q est portée à l'extérieur de la surface fermée, on constate que les lignes de champ soit ne pénÈtrent pas la surface, soit la pénÈtrent deux fois - d'abord à l'entrée et puis à la sortie. Faisant la convention que la ligne de champ qui pénÈtre la surface de l'intérieur vers l'extérieur engendre un flux positif, et que dans le cas contraire le flux est négatif, il résulte que dans notre cas le flux total est nul.

On tirera une seule conclusion des deux situations précédentes: le flux de l'intensité du champ électrique à travers une surface fermée dépend seulement de la quantité d'électricité renfermée à l'intérieur la surface, étant indépendante de la forme géométrique et des dimensions de la surface. Cette conclusion représente le contenu du théorÈme de Gauss.

Plus bas, on va démontrer mathématiquement le théorÈme de Gauss.

Soit une charge q à l'intérieur de la surface fermée S. On a

Vue que, par définition, l'angle solide élémentaire est donné par

on peut écrire

Intégrant, il vient

Soit maintenant une charge q placée à l'extérieur de la surface fermée S. On a

ou, tenant compte que dans la définition de l'angle solide élémentaire intervient le supplément de l'angle a

Envisageons maintenant une distribution de charges discrÈtes q₁, q₂,q_n. Selon le théorÈme de superposition,

Dans ce cas, la formule du flux de l'intensité du champ électrique dans la surface élémentaire est

Intégrant sur une surface fermée, on obtient

Puisque Y_i = q_i/e quand la charge est enfermée à l'intérieur de la surface et Y_i = 0 quand la charge est placée à l'extérieur, il résulte

On a obtenu ainsi l'expression mathématique du théorÈme du Gauss.

Pour une distribution continue de charge, on peut exprimer la charge contenue à l'intérieur de la surface par une intégrale

En attribuant à la densité volumique de charge une valeur nulle à l'extérieur du volume du corps électrisé, on peut étendre l'intégration sur l'entier volume délimité par la surface S

En utilisant aussi la relation de définition du flux de l'intensité du champ électrique, on peut réécrire le théorÈme de Gauss sous une forme intégrale

À l'aide du théorÈme de Gauss-Ostrogradski (dit aussi 'la relation flux-divergence'), on écrit

En substituant dans l'expression du théorÈme de Gauss, il vient

ou

Cette relation représente l'expression mathématique du théorÈme de Gauss sous la forme locale. L'énoncé est: la divergence du vecteur intensité du champ électrique est proportionnelle à la densité volumique de charge.