INVARIANCE DES EQUATIONS DE MAXWELL AUX TRANSFORMATIONS DE COORDONNEES DE LORENTZ-EINSTEIN

Invariance des équations de Maxwell aux transformations de coordonnées de Lorentz-Einstein

Soit deux systÈmes de référence, S et S', ainsi que S' se déplace avec la vitesse constante u le long d'une direction parallÈle aux axes Ox et Ox'.

Les transformations de coordonnées de Lorentz-Einstein peuvent Être écrites comme ça

avec

et c = la vitesse de la lumiÈre dans le vide.

On peut calculer les opérateurs suivants

On observe que l'opérateur se transforme de mÊme façon que dt, et l'opérateur se transforme de mÊme façon que dx. On sait que le carré de l'élément de longueur en quatre dimensions

est un invariant relativiste

En tenant compte des propriétés des opérateurs et , il résulte que ceux-ci se transforment de mÊme que l'expression dx²-c²dt². Comment

car dy=dy' et dz=dz', il résulte

Puisque , on peut écrire finalement la transformation de l'opérateur de d'Alembert

ce qui signifie que l'équation des ondes électromagnétiques en vide reste invariante aux transformations de coordonnées de Lorentz-Einstein. La plus importante conséquence est que la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques en vide a la mÊme valeur, égale à la vitesse de la lumiÈre, pour tout observateur inertiel.

Discutons ci-dessous les équations de Maxwell en vide, dans la présence des courants électriques

Le fait que la divergence de l'induction magnétique est nulle montre que le vecteur B peut Être écrit comme le roteur d'un potentiel vecteur

Introduisant l'expression de B dans la troisiÈme équation de Maxwell, il résulte

Cette équation est remplie quand la quantité est le gradient d'un potentiel scalaire

ou

Introduisant les expressions des vecteurs E et B dans les deux autres équations de Maxwell, on obtient

ou

Le potentiel scalaire V et le potentiel vecteur A peuvent Être étalonnés en imposant la condition

Cet étalonnage s'appelle étalonnage radiatif ou étalonnage de Lorenz.

Utilisant l'étalonnage radiatif, on obtient

Avec la notation , la condition d'étalonnage et les deux équations des potentiels deviennent

Introduisant les variables

et les grandeurs

oÙ , on peut transcrire les équations de Maxwell sous la forme relativiste

Avec les notations relativistes, l'équation de continuité

devient

La grandeur physique F F F F F ) s'appelle quadrivecteur potentiel, et la grandeur physique J(J₁, J₂, J₃, J₄) s'appelle quadrivecteur courant. Les quadrivecteurs jouent dans l'espace à quatre dimensions le mÊme rôle que les vecteurs dans l'espace tridimensionnel (par exemple, le module d'un quadrivecteur est invariant à la transformation des coordonnées).

La théorie de la relativité restreinte est basée sur le principe de la relativité, qui affirme que les lois de la physique ont la mÊme forme dans tout systÈme de référence inertiel. Par exemple, la relation devient en autre systÈme inertiel (s'est-à-dire la quadridivergence du quadrivecteur potentiel est nulle dans tout systÈme de référence inertiel). Les composantes d'un quadrivecteur se transforment selon certaines rÈgles quand on change de systÈme de référence. Déterminons maintenant la modalité de transformation des composantes du quadripotentiel. On part de

Puisque

il résulte

ou

Par la comparaison avec

et tenant compte que le module d'un quadrivecteur est invariant

on obtient les relations de transformation des composantes du quadripotentiel

Les relations de transformation des composantes du quadricourant sont

En revenant aux notations non-relativistes (le potentiel vecteur et le potentiel scalaire, respectivement la densité de charge et la densité de courant), on obtient

et

Pour déterminer la modalité de transformation des composantes de l'intensité du champ électrique et de l'induction du champ magnétique on va procéder comme ça:

- on calcule l'expression

- on observe que

On obtient les relations de transformation des composantes du champ électrique

- soit maintenant l'expression

Des calculs similaires conduisent aux relations de transformation des composantes du champ magnétique

Soit la densité totale d'énergie d'une onde électromagnétique

Calculant la dérivée partielle par rapport au temps de la densité totale d'énergie et utilisant les équations de Maxwell, on obtient

Comment

ou

ou

il résulte

Utilisant le vecteur de Poynting, Y = E H , on obtient

On peut définir le quadrivecteur densité du courant d'énergie par les relations

et on obtient l'équation de propagation de l'énergie de l'onde électromagnétique sous la forme relativiste

c'est-à-dire la quadridivergence de la densité du courant d'énergie est nulle. La relation exprime la conservation de l'énergie de l'onde électromagnétique.

Les transformations des composantes de ce quadrivecteur sont