Induction du champ magnétique à potentiel vecteur à symétrie axiale

Induction du champ magnétique à potentiel vecteur à symétrie axiale

Le premier cas du potentiel vecteur à symétrie axiale, dont les lignes de champ sont circulaires et perpendiculaires sur l'axe Oz, est décrit par l'équation suivante

oÙ

et

L'induction magnétique correspondante est

Vu que A(r) ne dépend pas de z, on peut remplacer l'opérateur z par 0

Par la dérivation, on obtient:

Il résulte que l'induction magnétique est parallÈle à l'axe Oz.

Pour un solénoÃ�de trÈs long, parallÈle à l'axe Oy, on a

B_s mnIk

Il résulte une équation différentielle non-homogÈne

L'équation homogÈne correspondante est

La solution générale de cette équation est

c étant une constante d'intégration. Une solution particuliÈre de l'équation non-homogÈne est

ainsi que la solution générale de l'équation non-homogÈne a la forme suivante

On peut choisir une valeur numérique pour la constante c, opération qui s'appelle étalonnage. Pour la mÊme valeur de l'induction magnétique B, il y a plusieurs étalonnages. Quand on choisit c = 0, il résulte:

parce qu'à l'extérieur du solénoÃ�de il n'y a pas de champ magnétique. On peut remarquer que tant la valeur de l'induction magnétique que celle du potentiel vecteur ne sont pas des fonctions continues à la surface du solénoÃ�de.

Le deuxiÈme cas du potentiel vecteur à symétrie axiale est caractérise par ses lignes de champ radiales

Dans ce cas,

ou

ou

Un tel type de potentiel n'a pas comme résultat un champ magnétique. Ca signifie que pour un champ magnétique d'induction B donnée, le potentiel vecteur correspondant n'est pas parfaitement déterminé (c'est-à-dire, on peut ajouter à sa valeur A, la quantité A'(r r r, sans modifier l'induction magnétique B).

Finalement, le troisiÈme type de potentiel vecteur à symétrie axiale, avec des lignes de champ parallÈles à l'axe Oz, est décrit par l'équation

Dans ce cas,

ou

ou

Dans ce cas, la ligne de champ de l'induction magnétique est un cercle centré sur l'axe Oz, contenu dans un plan perpendiculaire sur l'axe.

C'est aussi le cas de l'induction magnétique décrite par la loi de Biot-Savart, en résultant

Cette relation nous permet de déterminer le potentiel vecteur d'un fil conducteur trÈs long, parcouru par un courant électrique stationnaire

oÙ R est le rayon du fil conducteur.