Induction du champ magnétique sur l'axe de symétrie d'un tronçon de spire

Induction du champ magnétique sur l'axe de symétrie d'un tronçon de spire

On envisage un tronçon de spire circulaire, de rayon R, parcourue par un courant électrique d'intensité I.

On choisit un systÈme d'axes de coordonnées ainsi que:

O       l'origine est placée dans le centre de la spire

O       l'axe Oz est l'axe de symétrie de la spire

O       l'axe Oy divise la spire en deux tronçons égaux

On va considérer un point d'observation M, sur l'axe Oz. Son rayon vecteur est

r = kz  (k fiind versorul axei Oz)

On choisit un volume élémentaire dV = Sdl de la spire.

Conformément à la loi de Biot-Savart-Laplace, l'induction magnétique dans le point M aura l'expression

On observe que:

O       dans tout point de la spire

ainsi que, puisque j (r₀ - r), il résulte

O       la composante de l'induction magnétique parallÈle à l'axe Oz est

O       l'angle a a la mÊme valeur dans tout point de la spire, en résultant par l'intégration

O       le sinus de l'angle a s'exprime comme

et

l = Rj

oÙ j est l'angle au centre qui délimite le tronçon de spire. Finalement on obtient

O       la composante perpendiculaire sur l'axe Oz est

et a, à son tour, les composantes

O       vu que dl = Rdj, il résulte par l'intégration

Donc le champ magnétique est symétriquement dirigé par rapport au tronçon de spire, ayant dans son centre (z = 0) une direction parallÈle à l'axe Oz. Quand la spire est un cercle complet, l'angle j est égal à 2p, en résultant

B_x = B_y = 0

Dans le centre de la spire, l'induction du champ magnétique est

Si le champ magnétique est engendré par une charge électrique q en mouvement de rotation de période T, sur un cercle de rayon R, alors l'intensité du courant électrique équivalent est

et l'induction magnétique dans le centre de rotation a la valeur

oÙ n est la fréquence de rotation.