LIAISON ENTRE LE VECTEUR INTENSITE DU CHAMP ELECTRIQUE ET LE POTENTIEL ELECTRIQUE, PROBLEME GENERAL DE L'ELECTROSTATIQUE

Liaison entre le vecteur intensité du champ électrique et le potentiel électrique, problÈme général de l'électrostatique

Le potentiel électrique V est utilis pour décrire le champ électrique, aussi bien que le vecteur intensité du champ électrique E. Evidemment, les deux grandeurs physiques ne peuvent pas Être indépendantes, car elles concernent le mÊme phénomÈne physique.

Nous avons déjà montré que

Cette équation s'appelle la relation intégrale de liaison entre l'intensité du champ électrique et le potentiel électrique

D'autre part, on peut encore observer que:

O       puisque les forces électrostatiques conservent l'énergie, le potentiel électrique est du point de vue des mathématiques une fonction qui admet différentielle totale exacte

avec

O       le gradient du potentiel est défini par la relation

O       le produit scalaire entre le gradient du potentiel et la différentielle du rayon vecteur a l'expression

O       dans ces conditions, on peut écrire

O       à l'aide de la relation intégrale entre l'intensité du champ électrique et le potentiel, il résulte

ou

Cette formule s'appelle la relation différentielle ou locale de liaison entre l'intensité du champ électrique et le potentiel. On peut donner l'énoncé le vecteur l'intensité du champ électrique est égal au gradient du potentiel électrique, pris avec le signe contraire

En conclusion: si on connait l'expression de l'intensité du champ électrique, on peut trouver en l'intégrant la différence de potentiel entre n'importe quels deux points du champ, et si on connait l'expression du potentiel électrique on peut, en calculant son gradient, trouver l'intensité du champ électrique.

Comme nous avons déjà montré dans ce qui précÈde, la loi de Coulomb a deux caractéristiques principales:

La force d'interaction entre deux charges ponctuelles est proportionnelle à l'inverse de la distance entre elles

La force d'interaction est dirigée le long de la droite qui unie les les charges

Les conséquences de ces deux propriétés sont:

Le flux de l'intensité du champ électrique à travers une surface fermée est proportionnel à la quantité d'électricité enfermée à l'intérieur de la surface

Les forces électriques conservent l'énergie (le champ électrique a du caractÈre potentiel)

Si on substitue dans la premiÈre équation l'intensité du champ par le gradient du potentiel, on obtient

ou

En utilisant la notation

on obtient

Cette équation s'appelle l'équation de Poisson et représente une conséquence du couple de propriétés de la force de Coulomb.

Calculant le rotor de l'intensité du champ électrique, on obtient

ou

(les dérivées mixtes de deuxiÈme ordre ont des valeurs égales sans tenir compte de l'ordre de dérivation, car le potentiel électrique admet la différentielle totale exacte).

Il résulte que le couple de propriétés de la force de Coulomb se retrouve dans un couple d'équations différentielles à dérivées partielles de premier ordre, à l'égard du vecteur l'intensité du champ électrique

ou dans une seule équation à dérivées partielle de deuxiÈme ordre, vérifiée par le potentiel électrique

Pour obtenir la solution du problÈme général de l'électrostatique il faut résoudre soit les deux premiÈres équations, soit la troisiÈme, à la condition qu'on connaisse la répartition de la charge électrique dans le domaine d'intégration et les valeurs du champ électrique ou du potentiel avec leurs premiÈres dérivées sur la frontiÈre du domaine. Les mathématiques nous assurent que cette solution existe et que celle-ci est unique.