LOI DE BIOT-SAVART-LAPLACE

Loi de Biot-Savart-Laplace

On va comparer deux situations physiques différentes, qui, toutefois, sont décrites par des formules mathématiques ressemblantes:

O       dans le cas d'un trÈs long conducteur, parcouru par un courant stationnaire d'intensité I, l'induction du champ magnétique B engendré par celui-ci à la distance h a l'expression

O       dans le cas d'un trÈs long conducteur, électrisé avec la densité linéaire de charge l, l'intensité du champ électrique E à la distance h a l'expression

Les figures ci-jointes suggÈrent quelques associations:

I l (la source du champ)

m e (les caractéristi-

ques du milieu)

h h

On connait déjà que, dans le cas du champ électrique, la valeur de l'intensité est obtenue en sommant les contributions des tous petits tronçons de conducteur, considérés comme des charges ponctuelles. La contribution d'un tel élément de conducteur au champ électrique total est

oÙ dl est la longueur du tronçon considéré, r est le rayon vecteur du point d'observation par rapport à l'élément de volume et a est l'angle entre le conducteur et le rayon vecteur.

Puisque le champ magnétique est aussi la résultante des contributions des petits tronçons de conducteur, on peut faire l'hypothÈse que, conformément au tableau d'associations, l'induction élémentaire a l'expression

Exprimant l'intensité du courant en fonction de la densité de courant

I = jS

oÙ S est l'aire de la section transversale du conducteur, il résulte

On observe que:

O       le produit Sdl est le volume du tronçon considéré: dV = Sdl

O       le vecteur induction magnétique dépend de deux grandeurs vectorielles: j, r

O       la quantité jrsina représente le module du produit vectoriel j r ou r j

O       le vecteur dB a le mÊme sens que le vecteur j r

Par conséquent, on peut écrire

On peut généraliser ce résultat pour un conducteur quelconque, parcouru par un courant électrique. Soit, dans ce cas, un élément de volume dV , ayant le rayon vecteur r, et le point d'observation M, ayant le rayon vecteur r₀. Il résulte

Sommant les contributions de tous volumes élémentaires, on obtient l'induction du champ magnétique dans le point M:

Cette formule est l'expression mathématique de la loi de Biot-Savart-Laplace, qui permet, en principe, de déterminer l'induction du champ magnétique de n'importe quelle distribution de courants électriques.