LOI DE LA REFLEXION ET LOI DE LA REFRACTION - CONSEQUENCES DU PRINCIPE DE FERMAT

Loi de la réflexion et loi de la réfraction - conséquences du principe de Fermat

On va considérer deux milieux optiques, d'indice de réfraction n₁, respectivement n₂. Les deux milieux sont séparés par une surface plane.

On considÈre aussi un systÈme d'axes de coordonnées, l'axe Oz étant perpendiculaire sur le plan de séparation.

Un rayon lumineux part du point A, placé sur l'axe Oz, et arrive dans le point B, placé dans le deuxiÈme milieu (z_B<

La vitesse de propagation de la lumiÈre dans le premier milieu est v₁, et dans le deuxiÈme milieu elle est v₂.

Soit AIB et AI'B deux routes différentes que le rayon lumineux pourrait les parcourir entre les deux points. Puisque les deux milieux optiques sont isotropes et homogÈnes, les trajectoires AI, AI', IB et I'B sont rectilignes. La marche réelle AIB du rayon lumineux doit correspondre, selon le principe de Fermat, à la durée minimum de propagation.

Notons par T la durée de propagation sur la trajectoire AIB et par T* le temps nécessaire pour parcourir la route AI'B. Selon le principe de Fermat,

Mais,

et

En considérant dx dy << x, y, z_A, z_B, on peut faire les approximations suivantes

Analogiquement

Donc

ou

Vu que les grandeurs dx et dy sont arbitraires (donc indépendantes), on obtient

Cela signifie que le point d'incidence doit se trouver dans le plan yOz, résultant ainsi la premiÈre loi de la réfraction: le rayon incident, le rayon réfracté et la normale sur le plan de séparation sont situés dans le mÊme plan.

On obtient aussi

Quand x = 0, on a

Il résulte

c'est-à-dire le rapport entre le sinus de l'angle d'incidence et le sinus de l'angle de réfraction est une constante qui caractérise la paire de milieux optiques.

Par comparaison avec la loi expérimentale de la réfraction, il résulte

donc l'indice de réfraction relatif d'un milieu optique par rapport à autre milieu optique est numériquement égal au rapport entre la vitesse de propagation de la lumiÈre dans le premier milieu et la vitesse de propagation dans le deuxiÈme milieu.

Conformément à cette loi, il résulte que l'indice de réfraction absolu a l'expression

c'est-à-dire l'indice de réfraction absolu d'un milieu optique est le nombre qui montre combien de fois la vitesse de propagation de la lumiÈre dans le vide est plus grande que celle du milieu considéré. De la il résulte que le phénomÈne de dispersion est dÛ à la dépendance de la vitesse de propagation de la lumiÈre dans un certain milieu de sa couleur.

On peut démontrer les lois de la réflexion d'une maniÈre tout à fait similaire.