Milieux anisotropes, polarisation par double réfraction

Milieux anisotropes, polarisation par double réfraction

Les substances à structure cristalline ne sont pas, en général, isotropes. Cela signifie que leurs propriétés électriques ou magnétiques ne sont pas les mÊme dans toutes les directions. Dans ces cas, la permittivité électrique ou la perméabilité magnétique sont des grandeurs physiques tensorielles. Quand l'absorption est négligée, les tenseurs permittivité ou perméabilité sont symétriques. On peut écrire

ou

Dans la plupart des cas, du point de vue des propriétés magnétiques, les milieux transparents cristallins peuvent Être considérés isotropes, ainsi que le tenseur de la perméabilité magnétique a la forme

Ce type de tenseur s'appelle tenseur diagonal.

Dans ces conditions, le tenseur de la permittivité électrique peut Être diagonalisée par des transformations de rotation des axes de coordonnées. Ainsi, si on considÈre une rotation d'angle j_z autour l'axe Oy, on obtient

ou

La transformation inverse a la forme

Analogiquement, on peut écrire

L'expression

devient

ou

Il résulte

Dans le plus général cas, on peut faire des rotations autour tous les trois axes de coordonnées, caractérisées par les matrices

Par le choix convenable des angles de rotation j_x j_y et j_z, on peut annuler trois éléments de matrice du tenseur permittivité. Notant par x h et z les coordonnées finales, on écrit

Dans ces conditions, le tenseur permittivité devient un tenseur diagonal

Il résulte qu'à l'intérieur du cristal il y a trois directions principales, ainsi que la composante respective de l'induction électrique est proportionnelle seulement à la composante correspondante de l'intensité du champ électrique. Si on écrit les équations de Maxwell et on tient compte que le milieu est isotrope du point de vue des propriétés magnétiques, on obtient dans l'absence des charges électriques libres et des courants électriques les expressions suivantes

Utilisant ces équations, il résulte

Considérant la composante parallÈle à l'axe Ox, on a

ou

Analogiquement, pour les deux autres axes

Si on considÈre une onde plane qui se propage dans la direction Oz

des trois équations resteront seulement deux

Ces deux équations montrent que l'onde au plan de polarisation xOz se propage avec une vitesse différente de celle de l'onde au plan de polarisation hOz

Les solutions stationnaires de ces équations peuvent Être écrites comme

ou

Soit une onde électromagnétique dont son vecteur lumineux dans le point de coordonnée z = 0 est E₀ et forme avec l'axe Ox l'angle a . L'onde se propage selon la direction Oz. Le vecteur lumineux E₀ peut Être décomposé selon les axes Ox et Oh

Dans le point de coordonnée z ¹ 0 les composantes de l'intensité du champ électrique ont les expressions

Éliminant le temps entre les deux équations, on obtient

et

Cette équation montre que l'extrémité du vecteur E parcourt une ellipse, tournant avec la vitesse angulaire w dans le plan xOh, autour l'axe Oz (ce qui signifie que le plan de polarisation tourne continÛment dans chaque point de l'axe Oz). Les axes de l'ellipse font l'angle j avec les axes de coordonnées. On peut montrer que

et que les demi-axes de l'ellipse ont les valeurs

Le rapport des grandeurs des deux demi-axes

s'annule si

ou

Dans ces points le plan de polarisation est constant dans le temps.

On va considérer désormais le cas e_x e_h ¹ e_z. Dans cette situation, les vitesses de phase des ondes polarisées selon les axes Ox et Oh, qui se propagent le long le l'axe Oz, sont égales. On dit dans ce cas que Oz est l'axe optique du matériau (dans le cas e_x ¹ e_h ¹ e_z, il y a deux axes optiques, qui ne correspondent plus aux axes principaux). Symbolisant par le premier indice la direction de polarisation et par le deuxiÈme la direction de propagation de l'onde électromagnétique, on peut écrire

c_zh = c_zx = c_e

c_xz = c_hz = c_xh = c_hx = c₀

Considérons plus bas un rayon de lumiÈre perpendiculaire à la surface de séparation entre un milieu isotrope (l'air) et un cristal uniaxe. Le plan des axes Ox et Oh forme un angle diÈdre a avec la surface de séparation, le mÊme que l'angle entre l'axe optique et la direction du rayon incident. L'axe Ox est compris dans la surface de séparation.

Selon la loi de Gauss, le flux de l'induction électrique à travers une surface fermée, qui ne contient pas à l'intérieur des charges libres, est nul. On rencontre une telle situation dans le cas d'un cylindre droit, de hauteur h 0, dont les bases sont parallÈles à la surface de séparation. Puisque le premier milieu est isotrope, le vecteur l'induction électrique est parallÈle au vecteur l'intensité du champ électrique, et tous les deux sont perpendiculaires au vecteur surface S₀

D S₀ = 0

Il résulte que le flux d'induction électrique dans la base supérieure du cylindre est nul. Comme le flux dans la surface latérale est négligeable quand h 0, il résulte que le flux dans la base inférieure est aussi nul. Le vecteur induction magnétique a dans le cristal l'expression suivante

La composante D_x = D_II est perpendiculaire au vecteur S₀, créant un flux d'induction électrique nul. La signification de ce fait est que l'onde électromagnétique polarisée selon la direction Ox continue sa propagation dans une direction perpendiculaire à Ox, c'est-à-dire dans la direction de l'onde incidente. Donc le rayon lumineux polarisé selon la direction Ox, qui tombe perpendiculairement sur la surface de séparation, continuera sa marche sans Être dévié. Ce comportement est en accord avec la loi de la réfraction, raison pour laquelle ce rayon est nommé rayon ordinaire. Les deux autres composantes de l'induction électrique D_h et D_z doivent avoir une résultante perpendiculaire au vecteur surface S₀ pour que leur flux soit aussi nul. Il résulte

ou

La résultante des composantes E_h et E_z est le vecteur E , c'est-à-dire le vecteur lumineux correspondant à l'onde émergente polarisée perpendiculairement à la direction Ox. La direction de propagation de cette onde électromagnétique est perpendiculaire au vecteur E . Notant par r_e l'angle entre la direction de l'onde incidente et la direction de l'onde émergente, il résulte

Alors

ou

Donc la direction de propagation du rayon émergent, polarisé perpendiculairement à l'axe Ox, n'est pas la mÊme que celle du rayon incident, mÊme si la derniÈre est perpendiculaire est perpendiculaire à la surface de séparation! Ce comportement vient en contradiction avec la loi de la réfraction, raison pour laquelle ce rayon a reçu le nom de rayon extraordinaire.

En conclusion, un rayon de lumiÈre naturelle incident à la surface de séparation avec un cristal uniaxe et ayant le vecteur lumineux E₀ parallÈle à la surface de séparation, se scinde aprÈs la réfraction en deux rayons émergents (le rayon ordinaire et le rayon extraordinaire), entiÈrement polarisés, qui se propagent dans des directions différentes. Ce phénomÈne a été nommé polarisation par double réfraction.

La pénétration d'un rayon de lumiÈre dans un prisme taillé en cristal non-isotrope a comme effet la formation de deux rayons de lumiÈre émergents totalement polarisés. Puisque la séparation spatiale des rayons émergents est petite, pour obtenir de la lumiÈre polarisée on utilise un dispositif optique nommé prisme de Nicol. Celui-ci est construit par deux prismes taillés dans un cristal de spath d'Islande, et collés avec un matériel optique nommé baume de Canada. L'indice de réfraction du baume de Canada (n = 1,550) est compris entre l'indice de réfraction limite du rayon ordinaire (n_o = 1,658) et celui du rayon extraordinaire (n_e = 1,486). Par le choix convenable des angles des prismes et de l'angle d'incidence, on peut obtenir la réflexion totale du rayon ordinaire à la surface de séparation entre le premier prisme et la couche de baume de Canada. Par conséquent, seulement le rayon extraordinaire pénétrera dans le deuxiÈme prisme et, puis, sortira du systÈme. On obtient ainsi, à la sortie du prisme de Nicol, un rayon de lumiÈre totalement polarisée, dont le plan de polarisation est parallÈle au plan d'incidence au prisme.

Les prismes de Nicol peuvent Être utilisés tant pour polariser la lumiÈre naturelle que pour l'analyse du plan de polarisation d'un rayon de lumiÈre déjà polarisée. Quand un rayon de lumiÈre polarisée tombe sur un prisme de Nicol ainsi que son plan de polarisation est parallÈle au plan d'incidence, celui-ci sera transmis à travers le prisme sans la diminution de l'intensité lumineuse. Par contre, si son plan de polarisation est perpendiculaire au plan d'incidence, le rayon subira la réflexion totale sur la couche de baume de Canada et ne sortira jamais du prisme.