THEORIE ELECTRONIQUE DE LA CONDUCTION EN METAUX, FORMES LOCALES DES LOIS D’OHM ET DE JOULE, INTERPRETATION ENERGETIQUE POUR LA LOI D’OHM DU CIRCUIT SIMPLE

Théorie électronique de la conduction en métaux, formes locales des lois d’Ohm et de Joule, interprétation énergétique pour la loi d’Ohm du circuit simple

On peut considérer que, à l’intérieur d’un conducteur parcouru par un courant électrique, les électrons de conduction se déplacent dans un champ électrique uniforme E.

La force électrostatique qui s’exerce sur un électron a l’expression

f_e = -eE

Sous l’action de cette force, les électrons aumentent leurs vitesses. En mÊme temps, les mouvements des électrons sont empÊchés par les collisions plastiques avec les ions placés dans les noeuds du réseau cristallin. Par suite d’une collision plastique, l’électron s’arrÊte, puis il est accéléré de nouveau par le champ, subit une autre collision, etc. Les pertes d’énergie par suite de ces processus peuvent Être assimilées à celles produites par l’action d’une force constante de résistance f_r, proportionnelle à la vitesse de drift des électrons et dirigée dans le sens opposé. Le mouvement des électrons deviendra stationnaire au moment oÙ la force de résistance annulera la force électrostatique

f_e + f_r = 0  Þ -eE - cv_d = 0

résultant

oÙ m s’appelle mobilité et dépend de la masse de l’électron et de la distance moyenne parcouru par celui-ci entre deux collisions consécutives.

Vu que la vitesse de drift dépend de la densité de courant

r_c étant la densite volumique de charge de conduction, et

r_c = -n_ee

oÙ n_e est le nombre d’électrons de conduction du volume unitaire du matériel, il résulte

j = en_emE

ou

j sE

c’est-à-dire la densité de courant électrique dans n’importe quel point d’un conducteur est proportionnelle à l’intensité locale du champ électrique.

La constante s, nommée conductivité électrique, dépend tant des propriétés physiques de l’électron, masse ou charge, que des propriétés structurelles du conducteur, étant donc une constante de matériel.

Cette expression se constitue dans la forme locale de la loi d’Ohm, comment on peut aisément prouver dans ce qui suit

O       on envisage un tronçon d’un conducteur électrique linéaire

O       on écrit la tension électrique aux bornes en fonction de l’intensité du champ électrique uniforme de l’intérieur du tronçon

O       on écrit l’intensité du courant électrique en fonction de la densité de courant

O       on substitue les expressions de la densité de courant et de l’intensité du champ électrique dans la forme locale de la loi d’Ohm, obtenant ainsi son expression intégrale

L’énergie délivrée sous la forme de chaleur par le travail de la force de résistance qui s’exerce sur un électron est

dW_e = f_rdh = cv_ddh

Mais,

dh = v_ddt

résultant

La chaleur totale obtenue par le freinage de dN électrons est

Il résulte

Observant que

et que le terme   signifie la quantité de chaleur délivrée dans l’unité de temps et dans l’unité de volume du conducteur, étant donc une densité de puissance p, on obtient

p sE = j E

ce est-à-dire la densité de puissance dissipée lorsque le courant électrique parcourt un conducteur est proportionnelle au carré de l’intensité locale du champ électrique. Cette formule constitue l’expression locale de la loi de Joule.

Examinons maintenant le déplacement d’un électron sur un contour fermé, dans un circuit électrique simple. L’électron se déplace du pôle négatif de la source (A) vers le pôle positif (B), en passant par le point M. Le long de ce trajet, tant la force électrostatique f_e, que la force de résistance f_r dépensent du travail. Puisque la vitesse de l’électron est constante, il résulte

L_eAMB L_rAMB

Pour passer du point B au point A l’électron a besoin d’un “aide”, car tant la force électrostatique que la force de résistance s’opposent au déplacement. “L’aide” consiste d’une force de nature non-électrostatique, f_i, nommée force imprimée, qui actionne dans le sens du déplacement. Le bilan du travail est

L_iBA L_eBA L_rBA

Sommant les deux relations, on obtient

L_eAMB L_eBA L_rAMB L_rBA L_iBA

La somme (L_eAMB L_eBA) représente le travail des forces électrostatiques le long d’une courbe fermée, étant nul dÛ à la conservation d’énergie dans un champ électrostatique. Les termes (L_rAMB L_rBA), pris avec le signe moins, représentent la chaleur moyenne, délivrée par l’action des forces résistantes au déplacement d’un électron sur la courbe fermé: -(W_oAMB + W_oBA). Dans ces conditions, on réécrira ainsi la relation précédente

L_iBA = W_oAMB + W_oBA

Sommant pour tous les électrons entrainés par courant, on obtiendra

L_BA = W_AMB + W_BA

Exprimant les deux quantités de chaleur selon la loi de Joule, il résulte

L_BA = I²Rt + I²rt

oÙ: I est l’intensité du courant, R est la résistance électrique du circuit extérieur, r est la résistance intérieure de la source, et t est la durée de passage du courant électrique.

Observant que It = q_c, oÙ q_c est la charge totale de conduction transportée pendant le temps t à travers une section quelconque du circuit, il résulte

Du point dimensionnel de vue, le rapport L_BA/q_c a la signification d’une tension électrique, n’étant pas vraiment une tension de nature électrostatique. C’est la raison pourquoi celui-ci s’appelle tension imprimée ou tension électromotrice, étant symbolisé par E

Il résulte

E = I (R + r)

c’est-à-dire justement la loi d’Ohm pour un circuit simple.

En conclusion, la loi d’Ohm pour un circuit simple s’explique par la loi de conservation de l’énergie, montrant que l’énergie dépensée par la source pour entretenir le mouvement des charges se retrouve dans la chaleur délivrée dans l’entier circuit, conséquent au passage du courant.

La généralisation de cette remarque fait l’objet du deuxiÈme théorÈme de Kirchhoff, qui soutient que le long de tout tronçon fermé de circuit électrique, la somme algébrique des tensions électromotrices est égale à la somme algébrique des chutes de tension.

On peut aussi montrer que

Le rapport f_i/e a la signification d’une intensité d’un champ électrique non-électrostatique, nommé champ imprimé, ainsi qu’on peut écrire

c’est-à-dire la tension électromotrice d’une source de courant électrique est numériquement égale à la circulation de l’intensité du champ électrique imprimé entre les bornes de la source.