Trajectoire d'une particule électrisée dans un champ magnétique uniforme

Trajectoire d'une particule électrisée dans un champ magnétique uniforme

Soit une particule électrisée, de masse m et charge q, qui entre avec une vitesse v dans un champ magnétique d'induction B.

La force de Lorentz qui agit sur la particule est

f = q v B

On choisira un systÈme d'axes de coordonnées ainsi que l'induction magnétique sera dirigée parallÈlement à l'axe Oz. Il résulte

Vu que

il résulte

La premiÈre conclusion est que v_z a une valeur constante, donc le mouvement de la particule le long de l'axe Oy est uniforme. On peut réécrire les deux autres équations comme il suit

Les deux équations ont la forme bien connue de l'équation différentielle d'un oscillatoire harmonique. La solution est

oÙ C₁ et C₂ sont deux constantes d'intégration. À l'aide de l'expression de v_x, on va déterminer aussi l'expression de v_y

On observe que

ce qui signifie que le module de la projection de la vitesse sur le plan perpendiculaire à l'induction magnétique est aussi constante.

Par l'intégration des composantes de la vitesse, en attribuant des valeurs nulles aux nouvelles constantes d'intégration, on trouve:

et

ou

ce qui signifie que a trajectoire est un cercle de rayon

En conclusion:

O       la vitesse de la particule est constante

O       l'énergie cinétique est aussi constante, c'est-à-dire la force de Lorentz ne dépense pas du travail

O       le long de la direction des lignes de champ, le mouvement est uniforme

O       dans le plan perpendiculaire sur les lignes de champ, le mouvement est uniforme et circulaire, ayant le rayon

O       la période de la rotation est

ayant la propriété qu'elle ne dépend pas de la vitesse de la particule

O       la trajectoire est une hélicoÃ�de, ayant le pas